本文將嘗試用非數學方法解釋∑-Δ轉換器，并涵蓋噪聲整形和過采樣等基本概念，并結合一些示例來進行說明。這些概念與數字抽取濾波器隨后結合在一起，以揭開∑-Δ轉換器的神秘面紗。本文還包括一階和二階∑-Δ模數轉換器的基本知識以及∑-Δ調制器的階數如何影響模數轉換器的性能。

引言

目前，有許多應用經常要求模數轉換器具有高分辨率，而不是高精度，從而出現了對∑-Δ模數轉換器的需求。為了了解∑-Δ轉換器，人們必須深入了解頻域中所涉及的復雜數學計算來鉆研控制環路理論。但本文將讓您了解一些非常重要的概念，如噪聲整形、過采樣和∑-Δ調制器背后使其區別于其它轉換器架構的所有魔幻性能，盡可能避免數學復雜性，使您能夠可視化感受事物的移動。

要了解∑-Δ模數轉換器，首先需要了解噪聲整形和過采樣等基本概念。噪聲整形可通過兩種模擬來闡釋。

什么是“噪聲整形”？通用示例如下

比如說，某個商品的價格是9.9盧比，您購買該商品已有10天。下圖是店主讓您支付此商品的價格圖。

不管是0.1或0.5，每天都會產生一些誤差，但在10天結束后，商品的價格最終確實為9.9盧比。這種平均誤差被稱為噪聲整形。

但是只有店主每天都跟蹤誤差，才會發生這種情況。因此為了跟蹤誤差，系統應有一個存儲器。

表1：商品的每日價格

Day： 天數；Price： 價格

通過數模轉換器解釋的噪聲整形

如果我們的普通數模轉換器包括噪聲整形，將會怎樣？我們允許數模轉換器整形噪聲。我們讓它不只給出一個數字，而是兩個或三個數字，使平均值接近理想狀態。

圖 1：時域中普通數模轉換器與噪聲整形數模轉換器的比較（Ideal： 理想狀態；Regular DAC： 普通數模轉換器；Noise shaped： 噪聲整形）

圖 2：頻域中噪聲整形與普通數模轉換器的比較（Noise Shaped： 噪聲整形；DAC： 數模轉換器）

如圖1所示，如果我們真地遵循綠色模式，我們就會將數值上下移動一點。看起來似乎很糟糕，因為我們已經為此數模轉換器增加了噪聲。它甚至沒有使數值保持穩定。我們沒有引入任何新級別，它們早已存在于普通的數模轉換器中。

現在，看看圖2中兩個系統的傅立葉分析。令人驚喜的是，我們原以為會有損性能的綠色的東西，實際上卻使數模轉換器運行地更好。與普通數模轉換器相比，噪聲整形數模轉換器中噪聲低于1KHz的區域更小，因而能夠更好地代表1KHz信號。

過采樣概述

無論何時通過頻率Fs對信號采樣時，都假設誤差過程的隨機變量與量化噪聲相關（與信號不相關）；誤差是一個白噪聲過程，而且量化噪聲功率（q/√12，其中q 為1 LSB）統一最大為Fs/2。

圖 3：過采樣效應（Quantization noise： 量化噪聲；Frequency： 頻率；Oversampling by a factor of K： 按K因子的過采樣）

當按K因子進行過采樣時，相同的量化噪聲功率均勻地分布，最高達KFs/2，因此量化噪聲功率在Fs/2區域中會降低。

∑-Δ轉換器的魔幻性能

從下面曲線中您可以確定什么？

圖 4：∑-Δ（左側）與頻域中普通/噪聲整形數模轉換器（右側）的比較

在圖4中，左側遠遠超過右側中兩種噪聲水平中的任何一個。只要此系統在左側，它所表示的1 KHz信號都會比右側其它兩個的信號要好。

此系統是什么？

圖 5：∑-Δ調制器的時域信號（a）和普通近似正弦波（b）

這里甚至不是數模轉換器！它只是一個系統，提供在+/-全范圍的信號，但在與它關聯的信號頻率附近，底噪仍會更低。我們如何把握它？

圖5b是普通數模轉換器的輸出，我們至少可以視其為正弦波。但圖5a呢？它如何才能更好地代表1KHz信號呢？

這里就是此∑-Δ轉換器的魔幻性能。

增量調制基礎知識中就包含了答案。那么增量調制是什么？

增量調制（DM或Δ-調制）是模數或數模信號轉換技術，用于傳輸對質量要求不高的語音信息。DM是差分脈沖編碼調制 （DPCM）最簡單的形式，其中連續樣本之間的差異被編碼成n比特數據流。在DM中，將所傳輸的數據減少到1比特數據流。

它采用預測算法運行。以簡單情況為例，它預計當前的采樣與之前的采樣相同。 然后比較這兩次采樣，如果輸入較大，則發送a +Δ，如果輸入較小，則發送a –Δ；在接收器端也類似，保持跟蹤+/- Δ，這樣系統能夠很好地辨別信號值何時增加、何時降低，從而可重建信號。雖然有兩個相關問題，即斜率過載和粒度，但我們不會深入鉆研，從而能夠更多地關注發送誤差值而非實際值這一個重要方面，如果是正弦波，仍會重組輸入信號。

以店主為例，如果他第一天收取9盧比，第二天收取9.5盧比，第三天收取8盧比，而第四天則收取11盧比，但是即使這樣安排，10天后，您仍會為此商品支付9.9盧比，從而把您搞糊涂。隨機誤差只將噪聲轉換到更高頻率，在目標帶寬中產生良好的信噪比。

∑-Δ模數轉換器：噪聲整形 + 過采樣

我們已經了解了噪聲整形和過采樣的基本概念。現在讓我們了解∑-Δ調制器如何利用這些概念，提供比其他轉換器更好的動態性能（高信噪比）。

圖 6：過采樣和噪聲整形（NYQUIST OPERATION： NYQUIST定理運算；QUANTIZATION NOISE： 量化噪聲；OVERSAMPLING： 過采樣；DIGITAL FILTER： 數字濾波器；DECIMATION： 抽取；REMOVED NOISE： 移除的噪聲；NOISE SHAPING： 噪聲整形）

圖A：量化噪聲均勻分布，最高達Fs/2

圖B：讓我們按K因子進行過采樣，這會產生什么影響？相同的噪聲分布，最高達KFs/2，導致噪聲較低，最高達Fs/2。

圖C：在此，我們所涉及的噪聲整形會將噪聲轉換到更高頻率，從而進一步降低相關頻段內的噪聲。

因此∑-Δ轉換器采用上圖6所示的噪聲整形和過采樣技術，從根本上降低了目標帶寬中的噪聲。

數字抽取濾波器

圖 7：數字抽取濾波器（1 Bit stream:1比特流；Multi bit data： 多比特數據；Output data： 輸出數據；Analog input： 模擬輸入；Sigma delta modulator：∑-Δ調制器；Digital low pass filter： 數字低通濾波器；Decimation filter： 抽取濾波器）

∑-Δ調制器的單比特流輸出到數字抽取濾波器，平均值降低，然后降低采樣數，從而以目標采樣率Fs生成N位采樣。數字濾波器是求平均值的低通濾波器。它衰減量化噪聲，并刪除目標頻段的別名。一般來說，Sinc傳輸函數可用作低通濾波器。

對輸入信號進行過采樣，以便降低量化噪聲，因此可在引入失真的情況下消除冗余數據。抽取過程僅降低了輸出采樣率，同時保留必要的信息。帶Sinc傳輸函數的FIR濾波器可通過抽取進行數字濾波。

一階和二階∑-Δ模數轉換器

首先，讓我們來看看一階∑-Δ模數轉換器的基本功能。

圖 8：一階∑-Δ模數轉換器（Integrator： 積分器；Comparator comparing to 0： 比較器（與0進行比較）；Digital filter： 數字濾波器；1 Bit DAC： 1位數模轉換器）

在圖9中，A表示固定輸入3VDC。B、C、D和E為信號路徑中的各點。數模轉換器的基準電壓為8V。

最初，B、C、D和E都為0。在每步中，積分器累積輸入信號和反饋信號之間的誤差，然后饋送到與0進行比較的比較器。在比較過程中，比較器在每步中都引入量化噪聲。比較器的輸出傳輸到將數字信號轉換為模擬電壓的1比特數模轉換器。由于數模轉換器的基準電壓為8V，因此“1”表示8V，而“0”表示0V。數模轉換器的輸出再次與輸入信號進行比較。

表2：一階∑-Δ模數轉換器

Less randomized error： 更少的隨機誤差

3 1‘s representation of 3V： 3個1表示3V

經過8個步驟之后，此模式重演。因此，我們可以看到，反饋機制強制反饋信號等于輸入電壓信號。在此環路中，積分器可作為噪聲整形濾波器，而比較器/量化器可引入量化噪聲。

從表3中我們可以看到，3個1在此表示3V信號。輸入信號的值越高，1的數量就越多。

二階∑-Δ模數轉換器

二階∑-Δ模數轉換器與一階的類似，只是增加了一個積分器。

讓我們看看二階∑-Δ調制器，了解一階和二階之間的基本區別。

從表3可以看出，二階∑-Δ模數轉換器的工作機制幾乎與一階的類似，但它有更多的隨機誤差。在這種情況下，6個1表示16個步驟中的3V，即每8個步驟中有3個1。

圖 9：二階∑-Δ模數轉換器（Integrator： 積分器；Quantizer： 量化器；Digital filter： 數字濾波器；1 Bit DAC： 1比特數模轉換器）

表3：二階∑-Δ調制器

More randomized error： 更多的隨機誤差

6 1’s representation of 3V： 6個1表示3V

一階和二階有何差別？

從根本上說，由于隨機誤差更多，因此二階系統將輸出噪聲轉換為更高的頻率，從而在目標帶寬產生低噪聲，但代價是需要更多硬件。

因此階數越高，隨機誤差就越多，而目標帶寬中噪聲則越低，但所有這些都以增加硬件為代價。

圖 10：一階和二階∑-Δ模數轉換器的輸出噪聲（Output noise： 輸出噪聲；Second order： 二階；First order： 一階；frequency： 頻率）

小結

本文涵蓋了∑-Δ模數轉換器的基本原理。它特別專注于了解關鍵概念，如過采樣、噪聲整形、抽取等，不涉及數學問題，旨在更好地了解更高階的∑-Δ模數轉換器。

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