?在前面兩篇文章中我們已經簡單介紹了卡曼濾波以及所涉及的數學基礎，今天讓我們通過幾個例子來進一步認識卡曼濾波器。

示例1：黃金稱重

????現在我們準備好了第一個簡單的例子，在本例中，我們估計靜態系統的狀態，靜態系統是一個在合理時間段內不會改變其狀態的系統，例如，一座塔可以是靜態系統，狀態可以是它的高度。

????在這個例子中，我們來估計金條的重量，假設我們的天平秤是無偏差的，即重量的測量沒有系統誤差，但測量可能包含隨機噪聲。

?

????在這個例子中，系統是金條，系統的狀態是金條的重量，系統的動態模型是不變的，因為我們假設重量在短時間內不會改變。

為了估計系統的狀態（即重量），我們可以進行多次測量并取其平均值

?

在第n時刻，估計

將是所有先前測量的平均值：

Example Notation:

?

注意: 變量上的插入符號（或帽子）表示估計值。

?

在本例中，因為系統是恒定不變的，所以

=

????盡管上面的等式在數學上是正確的，但在現實中并不適用，為了估計

，我們需要記住所有的歷史測量值；因此，我們需要一個大內存，如果我們想在每次新的測量后更新估計值，我們還需要重復計算平均值，因此，我們需要一個更強大的CPU。

????實際的做法是：僅保留最后的估計值（

?

） 并在每次獲取新測量值后進行更新，我們可以用一個小小的數學技巧做到這一點：

?

是在n-1時刻對于x的估計，并且基于n-1時刻的測量值。

讓我們基于

（對于x在時間n?1的估計)找到

（對于x在時間n的預測值），換句話說，我們想根據

推斷得到時間n的狀態。

由于本例中的動態模型是靜態的，即金條的重量不會隨時間變化，因此x的預測狀態等于x的估計狀態：

=

基于上述，當前狀態

的估計值可以寫為：

上述方程是五個卡爾曼濾波方程之一，它被稱為狀態更新方程。這意味著：

????因子1/n只適用于該示例，稍后我將討論這個因素的重要作用，但現在，我先透漏個消息：在卡爾曼濾波器中，這個因素被稱為卡爾曼增益，用Kn表示，下標n意味著卡爾曼增益可以隨每次迭代而變化。

Kn的發現是魯道夫·卡爾曼的重要貢獻之一。

在我們深入卡爾曼濾波器之前，我們使用希臘字母αn代替Kn，因此，狀態更新方程如下所示：

（Zn-Xn,n-1）項 代表“測量殘差”，也稱為革新，這項革新包含了新的信息。

????在本例中，1/n隨著n的增加而減小，一開始，關于當前狀態，我們沒有足夠的的信息；因此，第一次估計很大程度上是基于第一次測量

，隨著我們繼續，由于1/n減小，后續每個測量值在估計過程中的權重越來越小，在某個時刻，新測量的貢獻將變得微不足道。

????讓我們繼續這個例子，在我們進行第一次測量之前，我們可以通過閱讀金條上的印記來猜測（或粗略估計）金條的重量，這被稱為初始猜測，這是我們的第一次估計。

這可能非常粗糙，但沒關系，卡爾曼濾波器需要初始猜測作為預設。

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