相信做硬件的朋友對模擬濾波器設計并不陌生，給出一個規格指標，都可以依據濾波器設計軟件就可以設計出符合設計要求的濾波器。但是模擬濾波器參數是如何確定的？假設我們要一個線性衰減的濾波器該如何設計？假如我們要實現一個濾波器設計軟件應該掌握哪些知識？

前言

本期目標是設計一個模擬無源濾波器綜合和仿真軟件，并且集成在小程序中。

除了常用濾波器外，最終目標是實現特定形狀的頻率響應曲線，如線性衰減補償曲線，并且可以使用實際元器件實現。另外一旦掌握了濾波器設計方法，那么我們可以更進一步，將實際器件模型考慮進去，從而可以自動設計更為接近實際頻率響應的濾波器。

要實現上述目標是有挑戰的，其中之一就是如何依據頻率響應來求復數域的傳輸曲線，然后由傳輸函數求取特定網絡的具體數值。

所以這里將此事情分為如下步驟進行：

1. 掌握階梯網絡綜合方法
2. 實現濾波器電路仿真(mini js無源電路仿真引擎)
3. 實現巴特沃斯濾波器設計(由傳輸函數得到實際元器件值)
4. 搭建起小程序基本程序框架(發布第一實用版本)
5. 實現切比雪夫，貝塞爾，橢圓濾波器設計
6. 實現不同衰減類型的濾波器設計(LPF,BPF,HPF,BRF)
7. 實現線性衰減補償濾波器設計
8. 實際電路參數設計和優化
9. 全通濾波器，移相網絡實現

模擬無源濾波器發展史

濾波器的歷史最早可以追溯到1890年代，當時有線電話被發明并廣泛應用，遠距離空中架設通訊線纜的需求非常迫切，但是人們發現當電話線纜長度增加后線路損耗迅速增加，導致語音出現嚴重失真。解決辦法正是“Pupin線圈/加載線圈”發明人普平(Mihajlo Pupin, 1858.10-1935.3)于1899年所提出的增加線路電感的辦法，即每隔一段距離增加一個電感從而改善電話傳輸質量。

若站在上帝視角看待當時的問題就是傳輸語音信號的雙絞線寄生電容太大，阻抗非常低，導致驅動電話線驅動能力不足，整個電路相當于一個巨大的RC濾波器，信號迅速衰減，當在線纜中插入Pupin線圈，情況就不同了，整個網絡阻抗變高，源可以很容易的驅動整個網絡，帶寬變高，通話質量得到大幅改善，據文獻介紹性能可提升6000倍。這項技術也因此讓Pupin名利雙收 。

赫維賽德(Oliver Heaviside,1850.3-1925.2),對，就是那個將20多個麥克斯韋的方程組改為4個方程組的神人，1876年他提出并推導了電報方程(也就是將傳輸線劃分為小段的RLC梯形網絡結構 )，并且使用了微分算子用來計算電路，通過計算提出了需要在傳輸線上加電感來減小失真，但是這個增加電感的想法由于種種原因并沒有得到實施，也沒有申請專利，他在傳輸線上增加電感這一騷操作要比普平的早7年，這也為后續AT&T關于加載電感的專利之爭埋下了伏筆。赫維賽德可能脾氣比較古怪，AT&T公司本來給他拋出橄欖枝要收了他的專利并且給他一大筆錢，但是被他拒絕了，赫維賽德一生貧窮，即使在晚年他還需要靠親戚的救濟來維持生活。

坎貝爾(George Ashley Campbell, 1870.11-1954.11)在AT&T工作，并繼續研究Pupin線，并且一直挑戰Pupin的專利(要知道AT&T是購買了pupin的專利權，但是由于赫維賽德的文章是在Pupin申請之前所發表，所以按美國專利法實際Pupin的專利是無效的，關于加載電感是有一段權利之爭的，詳見 )，并且完善Pupin線的理論，在工作中他發現Pupin線有一個非常陡峭的截止頻率，并且可以用這個特性來濾除信號的諧波，這里他已經將加載線當成了濾波器來使用了。但是一個問題是到底每隔多少距離就插入一個多大的電感能讓傳輸距離達到最遠。1910年坎貝爾就發明了鏡像法來計算濾波器參數的方法，并且在商業上取得了成功。這個時期的研究拉開了濾波器設計的序幕，并且很多概念到現在還在使用，比如使用了梯形網絡(ladder network)，不同的濾波器類型：低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器 。

坎貝爾的濾波器設計方法也叫定k濾波器(Constant k filter)，這種濾波器也是最簡單的濾波器，濾波器就是一個傳輸線的等效，是由相同的T型或PI型節組成，其中的k表示傳輸線的特征阻抗，定k表示組成這個濾波器節處的阻抗處處相等 。

佐貝爾(Otto Julius Zobel, 1887.10-1970.1)發展了濾波器的設計方法，他也是在AT&T工作，1920年發現了坎貝爾的濾波器具有恒定阻抗特性 ，并且發明了m推演型濾波器(m-derived filter)，這種濾波器和定k濾波器一樣可以使用了鏡像法分析 ，這個濾波器引入了一個參數m，不同參數濾波器特性會不同，在1923年佐貝爾對之前結果進行了系統理論分析，這種分析方法是從中間節點(mid-shunt)的阻抗和定k阻抗相同的方式來進行推導，故后人將此方法叫做m推演型濾波器 。

前面濾波器分析和設計都是基于傳輸線來設計，即假設濾波器階數為無窮，然后分析一個濾波器節(L節或PI節或T節)的性質來進行設計，其中的訣竅就是保證每個節前后阻抗匹配(鏡像阻抗匹配)，這樣m推演型濾波器(截止特性不好，過渡帶好)就可以和定k濾波器(截止特性好，過渡帶不好)隨意組合而不會出現失配，從而豐富了濾波器的設計 。

但是鏡像法設計濾波器缺陷也是非常明顯：

1. 濾波器的推導都是在匹配狀態下進行的，實際情況可能更加復雜，源和負載阻抗可能不匹配，這種情況下鏡像法設計將會失效;
2. 由于推導過程也假設了阻抗在整個頻段內是不變的，即阻抗不會隨頻率變化而變化，但是實際上阻抗會隨著頻率變化而變化，尤其是接近過渡帶的地方，反射嚴重，頻響的peaking會比較大;
3. 通帶內的紋波也沒有得到很好的描述，只有一個傳播常數(propagation constant)來描述插損，在鏡像法設計中始終假設濾波器通帶是平坦的，實際設計中非常關心通帶紋波的情況;

達林頓(Sidney Darlington, 1906.7-1997.10)，沒錯就是那個發明達林頓管的達林頓發展了電路網絡理論，并且對濾波器分析理論進一步發展。1939年提出了鏡像參數分析法的概念，并提出了使用插入損耗法來分析濾波器電路的新方法 ，這一分析方法開啟了嶄新的現代網絡綜合理論。

巴特沃斯(Stephen Butterworth, 1885.8-1958.10)是英國物理學家，發明了巴特沃斯濾波器，相關文章1930年發表于《無線電工程》雜志上 。他定義了一個多項式 ，工作的目的是使用電路去逼近這個多項式，巴特沃斯僅僅給出了2階和4階的計算，高階實現方式是使用多級，中間插入放大器來隔離前后級，從而可以很巧妙的避免使用復雜的計算，設計出符合最平坦響應濾波器，最后他還給出了各種不同類型的濾波器設計表格，巴特沃斯的工作可謂是開創性的，同時也是第一個設計有源濾波器的人。

卡爾(Wilhelm Cauer, 1900.6-1945.4)是德國數學家和科學家，濾波器界扛把子的存在，之前的濾波器設計工作如果說是慣性制導，卡爾的工作可以說是做到了濾波器精確打擊的效果，他用其扎實的數學功底解決了濾波器綜合中的種種難題。卡爾在1926年的博士論文中就提出了網絡綜合的相關問題，做了很多鋪墊性的工作，其中他提出了網絡綜合的三個主要任務：

• 傳遞函數的可實現性(realizability)
• 找到實現所需響應的近似(approximation)
• 網絡函數的實現與等價(realization and equivalence)

這些工作都是圍繞著單端口阻抗進行，這是由于卡爾找到了由阻抗函數直接導出電路的方法，也就是我們現在一直在使用的連分式展開法將阻抗表達式和梯形網絡元器件值聯系在一起。他擯棄了之前鏡像設計，系統性的解決了濾波器的設計，他首先提出使用切比雪夫來進行近似(1930-1931)，后來又使用橢圓函數來進行近似(1933)，這樣既可以控制通帶紋波又可以控制阻帶紋波，現在我們通常所說的切比雪夫濾波器和橢圓濾波器實際上都是卡爾發明的，有的地方將橢圓濾波器也叫卡爾濾波器。由于歷史原因卡爾的命運卻是悲慘的，他在二戰柏林淪陷期間被蘇聯士兵所殺害，年僅45歲。

本文主要研究無源濾波器，其他關于有源濾波器的部分見參考文獻 .

濾波器設計發展時間線

濾波器設計發展時間線和重大歷史事件對比：

階梯網絡綜合方法

階梯網絡綜合的方法是由傳遞函數H(w)得到和功率的關系，功率和反射有關系，反射和輸入阻抗有關系，輸入阻抗和階梯結構有關系，最后得到H(w)和階梯結構的關系 。

以上是對階梯網絡的總結，后續會對其中的原理進行推導分析。

PS: 封面圖給出了復平面巴特沃斯濾波器極點分布情況：