單周控制DC/DC變換器的交流小信號(hào)模型與設(shè)計(jì)??

摘要：以單周控制理論為基礎(chǔ)，介紹了基本拓?fù)?a target="_blank">DC/DC變換器——Buck、Boost、 Buck?Boost在單周控制方式下的工作原理；建立了統(tǒng)一的控制方程；建立了這三種變換器在單周控制下的交流小信號(hào)模型，并給出了規(guī)范化的統(tǒng)一模型；以統(tǒng)一模型為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)了一個(gè)Buck變換器。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)沃芸刂疲蛔儞Q器；模型；設(shè)計(jì)

AC Small Signal Model and Design of One-cycle Controlled DC/DC Converters

DU Xiong,XIE Pin-fang,SU Xiang-feng

Abstract:Based on the one-cycle control theory the operation principle of one-cycle controlled basic toplolgy DC/DC converters——Buck、Boost、Buck-Boost is introduced, and the canonical control equations are proposed, too. The AC small signal models of the three converters are constructed, and the canonical model is also presented. A Buck converter is designed based on the canonical model.

Keywords:One-cycle control;Converter;Model;Design

1? 引言

??? DC/DC變換器是一種非線性的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。傳統(tǒng)PWM變換器[1]控制系統(tǒng)是通過(guò)對(duì)占空比的線性化調(diào)節(jié)來(lái)減小輸出誤差。這種控制方式對(duì)輸入電源電壓的擾動(dòng)，特別是其大幅值的升降變化，往往不能瞬時(shí)跟蹤調(diào)節(jié)占空比來(lái)抑制輸出誤差。因此，瞬態(tài)過(guò)沖總是存在于這種傳統(tǒng)控制方式中，其持續(xù)時(shí)間由回路增益和帶寬決定，通常要經(jīng)過(guò)幾個(gè)開關(guān)周期才能重新達(dá)到穩(wěn)態(tài)。在電流控制模式[1]中，通過(guò)加入人工斜坡來(lái)消除占空比大于等于0.5時(shí)產(chǎn)生的振蕩。從理論上講，如果人工斜坡的斜率選擇得恰好和電感電流的下降斜率相等，可以在一個(gè)開關(guān)周期內(nèi)消除電源電壓擾動(dòng)產(chǎn)生的影響。實(shí)際上，通常電感電流的下降斜率是幾個(gè)狀態(tài)變量的函數(shù)，人工斜坡的斜率不可能在任何時(shí)刻與電感電流下降斜率相等。因此，電流控制模式也不可能在一個(gè)開關(guān)周期內(nèi)消除電源電壓擾動(dòng)產(chǎn)生的影響。滑模控制[1]與模擬信號(hào)離散時(shí)間區(qū)間變換器（ASDTIC）[1]在固定頻率下的一個(gè)開關(guān)周期中也不能消除電源電壓擾動(dòng)產(chǎn)生的影響。而一種新的控制方式——單周控制[1,2]通過(guò)保持受控量的平均值恰好等于或正比于控制參考信號(hào)，能在一個(gè)開關(guān)周期內(nèi)，有效地抑制電源側(cè)的擾動(dòng)。單周控制為恒頻控制。該控制方式可廣泛運(yùn)用于非線性系統(tǒng)。本文介紹了單周控制的工作原理及單周控制DC/DC變換器的工作原理，建立了單周控制DC/DC變換器的交流小信號(hào)模型。

2? 單周控制DC/DC變換器的工作原理?

2.1? 單周控制的工作原理

???? 單周控制的基本思想是在每一個(gè)開關(guān)周期內(nèi)使受控量的平均值恰好等于或正比于控制參考信號(hào)。其原理圖如圖1所示。

圖1? 單 周 控 制 原 理 圖

??? 在每一個(gè)開關(guān)周期中，假定Uref恒定。t=0時(shí)開關(guān)S1閉合，S2斷開，對(duì)受控量進(jìn)行積分；當(dāng)t=DTs(Ts為時(shí)鐘周期)時(shí)，比較器輸出發(fā)生變化，使S1斷開，S2閉合，積分器復(fù)位。開關(guān)函數(shù)為：

這樣就使得在每個(gè)時(shí)鐘周期中，參考量與輸入量滿足以下關(guān)系:

Uref=x(t)dt

由開關(guān)函數(shù)可以知道參考量與輸出量的關(guān)系：

Uref=y(t)dt

??? 圖2給出了輸入量x(t)、輸出量y(t)、積分器輸出量uint、參考量Uref的示意圖。輸出量uint和參考量Uref在圖2的最下面，Uref為一直線。從圖2中可以看出，輸入信號(hào)x(t)被開關(guān)斬波形成輸出信號(hào)y(t)。輸出信號(hào)y(t)的頻率和脈寬是與開關(guān)函數(shù)一致的；而輸出信號(hào)y(t)的包絡(luò)線與輸入信號(hào)x(t)一致。占空比D為模擬控制參考信號(hào)Uref所調(diào)制。從而，達(dá)到了對(duì)控制變量平均值進(jìn)行控制的目的。

圖2? 單 周 控 制 波 形

2.2? 單周控制DC/DC變換器的工作原理

??? 以單周控制理論為基礎(chǔ)，將其應(yīng)用到DC/DC變換器中。下面將對(duì)三種基本拓?fù)渥儞Q器——Buck、Boost、 Buck?Boost變換器在單周控制連續(xù)模式下的工作原理進(jìn)行分析。

??? 三種變換器的輸入－輸出關(guān)系分別為：

??? Buck型：U=D·Ug

??? Boost型：U=Ug/(1－D)，將其整理得到U－Ug=D·U

??? Buck-Boost型：U=－〔D/(1－D)〕Ug,將其整理得到U=D(U－Ug)

??? 式中Ug表示輸入電壓，U表示輸出電壓，D表示占空比。從上面的輸入－輸出關(guān)系中，可以看出，如果將等式左邊的項(xiàng)當(dāng)作單周控制方式中的參考量Uref,將等式右邊的項(xiàng)當(dāng)作受控量的周期平均值，則剛好與單周控制方式的控制方程相吻合。表1列出了這三種DC/DC變換器單周控制下的關(guān)系。

3? 單周控制DC/DC變換器的交流小信號(hào)模型

??? 分步建立單周控制DC/DC變換器的交流小信號(hào)模型,首先建立主電路部分的交流小信號(hào)模型,并且給出規(guī)范化的模型;然后建立單周控制部分的交流小信號(hào)模型,同樣也給出規(guī)范化的模型;最后給出整體的規(guī)范化交流小信號(hào)模型。

3.1? 主電路的交流小信號(hào)模型

??? 以Buck變換器為例，如圖3所示。對(duì)于所討論的物理量，進(jìn)行去除開關(guān)紋波的處理。其基本思想是用一個(gè)開關(guān)周期內(nèi)的平均值代替瞬時(shí)值。即

u（t）≈〈u(t)〉Ts=u(τ）dτ

式中：Ts——開關(guān)周期；

????? u（t）——任一物理量。

圖 3? 單 周 控 制 Buck變 換 器 原 理 圖

表1? 三種DC/DC變換器單周控制關(guān)系

	Buck	Boost	Buck?Boost
參考量	U	U-Ug	U
受控量	Ug	U	U-Ug
控制方程	U=Ugdt	U-Ug=Udt	U=(U-Ug)dt

??? 對(duì) 所 討 論 的 物 理 量 作 小 信 號(hào) 近 似 ： 假 設(shè) 電 感 電 流i(t)、 電 容 電 壓u(t)、 占 空 比d(t)、 電 源 電 壓ug(t)、 電 源 輸 出 電 流ig(t)等 物 理 量 的 交 流 分 量 幅 值 遠(yuǎn) 小 于 其 恒 定 分 量 。 去 除 開 關(guān) 紋 波 分 量 后 的 各 量 可 表 示 為 下面5個(gè)方程，記為方程Ⅰ。

〈i(t)〉Ts=I＋(t)???? I》(t)

式中：I為恒定分量，(t)為交流分量；

〈u(t)〉Ts=U＋(t)??? U》(t)

式中：U為恒定分量，(t)為交流分量；

d(t)=D＋(t)??? D》(t)

式中：D為恒定分量，(t)為交流分量；

〈ug(t)〉Ts=Ug＋(t)???? Ug》(t)

式中：Ug為恒定分量，(t)為交流分量；

〈ig(t)〉Ts=Ig＋(t)? Ig》(t)

式中：Ig為恒定分量，(t)為交流分量。

??? 圖3中當(dāng)開關(guān)倒向1時(shí)：

??? L〔di（t）/dt〕=ug(t)－u(t)

??? C〔du(t)/dt〕=i(t)－u(t)/R

??? ig(t)=i(t)

??? 當(dāng)開關(guān)倒向2時(shí):

??? L〔di（t）/dt〕=－u(t)

??? C〔du(t)/dt〕=i(t)－u(t)/R

??? ig(t)=0

??? 對(duì)上面方程中的各物理量取周期平均，得到如下三個(gè)方程，記為方程Ⅱ。

??? L〔d〈i(t)〉Ts/dt〕

????? =d（t）[〈ug(t)〉Ts－〈u(t)〉Ts]ug(t)－

?????? d′ (t)〈u(t)〉Ts

式中：d′(t)=1－d(t)

????? C〔d〈u(t)〉Ts/dt〕=〈i(t)〉Ts－〈u(t)/R〉Ts

???? 〈ig(t)〉Ts=d（t）〈i(t)〉Ts

??? 將方程Ⅰ代入方程Ⅱ，略去直流分量和二階分量，得到主電路部分的交流小信號(hào)模型。

??? L〔d(t)/dt〕=D(t)＋ug(t)－(t)

??? C〔d(t)/dt〕=D(t)＋I(xiàn)(t)－(t)/R

???? (t)=D(t)＋I(xiàn)(t)

??? 圖4為其等效電路圖。對(duì)圖4中的電壓源U(t)進(jìn)行電源轉(zhuǎn)移，移到變壓器的左邊。同時(shí)將時(shí)域的小信號(hào)模型轉(zhuǎn)換到復(fù)頻域，并且考慮負(fù)載側(cè)電流load(s)的變化對(duì)系統(tǒng)的影響，形成規(guī)范形式的主電路交流小信號(hào)模型。如圖5所示。

圖4? Buck變 換 器 主 電 路 的 交 流 小 信 號(hào) 模 型

圖5? DC/DC變 換 器 的 規(guī) 范 化 交 流 小 信 號(hào) 模 型

圖中：M(D)=D；

????? Le=L；

????? e(s)=U/D2；

????? j(s)=I=U/R。

??? 對(duì)Boost、 Buck-Boost型變換器可以采用同樣的方法，得到圖5中的規(guī)范化交流小信號(hào)模型。其參數(shù)如表2所示。

表2? 規(guī)范化交流小信號(hào)模型參數(shù)

由圖5中的規(guī)范化模型，可以寫出主電路部分的傳遞函數(shù)

Gud（s）=

Gug（s）=

Zout（s）=

3.2? 單周控制電路的交流小信號(hào)模型

??? 為了更好地穩(wěn)定輸出電壓，提高變換器的穩(wěn)定性。引入了參考電位，與輸出電壓比較后得到的誤差信號(hào)經(jīng)過(guò)補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)，作為反映輸出電壓的信號(hào)，進(jìn)入后面的控制環(huán)節(jié)。輸出電壓取樣值與參考電位比較得到的誤差信號(hào)經(jīng)過(guò)補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)后得到信號(hào)uc(t)，用它代替輸出電壓信號(hào)u(t)。同樣采用小信號(hào)近似。

??? uc(t)≈〈uc(t)〉Ts=Uc＋(t)??? Uc》(t)

??? 對(duì)于Buck變換器，其控制方程為：

??? d(t)·〈ug(t)〉Ts=〈uc(t)〉Ts

??? 進(jìn)行小信號(hào)擾動(dòng)，并線性化處理，得到：

??? D(t)＋Ug(t)=(t)

??? 對(duì)上式整理得到：

??? (t)=－·(t)＋·(t)

??????? =FG·(t)＋FC·(t)

式中：FG=－D/Ug；FC=1/Ug。

??? 對(duì)于Boost變換器，其控制方程為：

??? d(t)·〈uc(t)〉Ts=〈uc(t)〉Ts－〈ug(t)〉Ts

??? 同樣進(jìn)行小信號(hào)擾動(dòng)，并且線性化處理，可以得到：

??? (t)=FG·(t)＋FC·(t)

式中：FG=－1/Uc；FC=(1－D)/Uc。

??? 對(duì)于Buck-Boost變換器，其控制方程為：

??? 〈uc(t)〉Ts=d(t)·〔〈uc(t)〉Ts－〈ug(t)〉Ts〕

??? 同樣進(jìn)行小信號(hào)擾動(dòng)，并線性化處理，可以得到：

??? (t)=FG·(t)＋FC·(t)

式中：FG=D/(Uc－Ug)；FC=(1－D)/(Uc－Ug)。

??? 綜上所述，單周控制部分的規(guī)范化交流小信號(hào)模型為：

??? (t)=FG·(t)＋FC·(t)，其中FG、FC的參數(shù)如表3所示。

表3? 三種變換器型式的FG與FC

3.3? 整體的規(guī)范化交流小信號(hào)模型

??? 根據(jù)前述分析可以建立整個(gè)系統(tǒng)的模型，其框圖如圖6所示。由整體模型框圖，可以寫出系統(tǒng)的閉環(huán)輸入輸出關(guān)系。

圖6? 單 周 控 制DC/DC變 換 器 的整 體 規(guī) 范 化 交 流 小 信 號(hào) 模 型

??? 令開環(huán)傳遞函數(shù)

??? T(s)=H·Gc(s)·FC·Gud(s)

??? 則閉環(huán)輸入輸出關(guān)系為:

???? (s)=··(s)＋

????????? ·(s)－·(s)

4? 設(shè)計(jì)與仿真結(jié)果

??? 以Buck變換器為例，下面給出了單周控制DC/DC變換器的設(shè)計(jì)過(guò)程。主電路參數(shù)分別為C=500μF，L=50μH，fs=100kHz，Ug=28V，U=15V。由前面的交流小信號(hào)模型，可以得出變換器的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

??? Ts=Gc(s)/3〔1＋(s/Q0ω0)＋(s/ω0)2〕

??? 當(dāng)補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)為1時(shí)，Q0=9.5，f0=ω0/2π=1kHz，相角裕量接近于0。

??? 為了提高變換器的穩(wěn)定性，需要增大轉(zhuǎn)折頻率和相角裕量。在兼顧超調(diào)量的同時(shí)，把相角裕量增大到52°；轉(zhuǎn)折頻率提高為開關(guān)頻率的1/20，即5kHz。設(shè)計(jì)的補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)為

??? Gc(s)=(1＋ωzs)/(1＋ωps)

式中：fz=ωz/2π=1.7kHz；fp=ωp/2π=14.5kHz。

??? 根據(jù)上面的設(shè)計(jì)，圖7給出了仿真波形。為了考察變換器的穩(wěn)定性，輸入電壓加入了交流擾動(dòng)分量，如圖7中最上面的波形所示。負(fù)載也從6Ω變化到3Ω，圖7中間的波形為負(fù)載電流變化的情況，下面的波形為輸出電壓的波形。

圖7? 仿 真 波 形

??? 從仿真波形可以看出，根據(jù)單周控制變換器的統(tǒng)一模型設(shè)計(jì)的Buck變換器具有很強(qiáng)的抗輸入側(cè)電壓干擾和負(fù)載變化的能力，穩(wěn)定性好，響應(yīng)速度快，輸出電壓紋波小。

5? 結(jié)論

??? 文中推導(dǎo)了單周控制DC/DC變換器的規(guī)范化控制方程，建立了單周控制DC/DC變換器的規(guī)范化交流小信號(hào)模型。為單周控制DC/DC變換器的設(shè)計(jì)提供了理論基礎(chǔ)。設(shè)計(jì)實(shí)例和仿真結(jié)果證明了該模型的正確性與實(shí)用性。

參考文獻(xiàn)

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