為了當(dāng)干貨，本文不浪費(fèi)篇幅闡述FFT的原理和算法，這些信息非常多，我們假定客戶們已經(jīng)知曉，有了一些基礎(chǔ)。不過說實(shí)話，工程師并不一定需要懂原理和會算法，我們大概知道它的意思就行，畢竟會用才是最關(guān)鍵的。

我們先提煉出幾個重要的問題點(diǎn)，一般的工程師們只要了解這幾點(diǎn)就夠用了。

問題1：我們可以用示波器看到某個信號的時域波形，為什么還要用FFT看這個信號的頻域波形？

答案是，現(xiàn)實(shí)中很多信號的波形看起來長得很 復(fù)雜，用數(shù)學(xué)描述它極其困難，甚至人直觀的描述它都做不到，那就更談不上分析它和處理它了。這時候，我們只能換一個思路和方法，在頻域上拆解它，就更容易分析處理了。

舉個例子：

上面這張圖，左側(cè)是時域波形，右側(cè)是它的頻域FFT波形。從時域波形來看，很簡單，就是一個幅值100，頻率3赫茲的正弦波。這種情況下，根本沒有必要做FFT變換看頻域波形。任何關(guān)于這個信號的描述和表達(dá)都很清晰明了，有明確而簡單的數(shù)學(xué)公式來表示這個信號，要對這個信號做任何分析和處理都有一大堆經(jīng)典公式和大量的經(jīng)驗方法。

那么來看下面這個圖：

現(xiàn)實(shí)中，你可能遇到的是這樣的一個信號，這是它的時域波形，時域波形也就是時間領(lǐng)域波形的意思，就是橫坐標(biāo)是時間的推移，跟我們的現(xiàn)實(shí)直覺認(rèn)知相符合。那么對面這樣一個時域波形，誰能描述清楚它的特征，用簡單的數(shù)學(xué)公式近似表述它，怎么分析和處理它？

這時候就要用到FFT的頻域分析，經(jīng)過分析，我們可以知道，其實(shí)它就是三個正弦波疊加而成的：

這樣我們就能簡單準(zhǔn)確的表述，分析和處理這個信號。

再看一個類似的例子：

問題2：用FFT做頻譜分析具有普適性嗎？什么樣的信號才能用FFT分析？

答案是肯定的，工程上，我們可以對你采集顯示的任何波形進(jìn)行FFT分析。

通過上面的例子，可能有人會有疑問，雖然上面看到復(fù)雜的波形其實(shí)是由三個標(biāo)準(zhǔn)的正弦波疊加起來產(chǎn)生的，這是不是故意找的特例？現(xiàn)實(shí)中的波形大部分不是這樣由三個標(biāo)準(zhǔn)正弦波疊加出來的怎么辦呢？

是的，上面的例子的確是找的特例，雖然是特例，但是能很直觀的說明問題。那么現(xiàn)實(shí)中其他的隨機(jī)的復(fù)雜波形怎么辦？沒關(guān)系，F(xiàn)FT厲害的地方就在這里，理論上，任意波形都可以通過FFT拆解成一系列幅值頻率相位不同的標(biāo)準(zhǔn)正弦波疊加而成。

這就類似于一束白光，其實(shí)可以拆解成頻率不同的色光疊加而成的。時域信號就是那束白光，棱鏡就是FFT，拆解出來的不同顏色的光，就是頻域波形的不同頻率點(diǎn)上的譜線。

我們用LOTO虛擬USB示波器的OSCA02為例，先測一個標(biāo)準(zhǔn)正弦波的FFT頻譜，將時域波形與它對應(yīng)的頻域波形對比看看。

可以看出，一個標(biāo)準(zhǔn)的正弦波，它的FFT頻譜就是在對應(yīng)的頻率上的一個高度為正弦波幅值的豎線。

然后我們再測一下一個方波信號對應(yīng)的FFT頻譜的波形：

可以看出方波信號可以拆解成一系列正弦波的疊加，這些正弦波就是頻譜波形上的那些小豎線。頻率與方波頻率相同的正弦波分量我們一般稱為基波，頻率為3倍的正弦波分量稱為3次諧波，然后5次，7次諧波等等一直到無限。

理論上，這個方波是由無限個正弦波分量疊加而成的。工程上，我們其實(shí)不需要去處理無限多個分量，因為這樣工作量太大且沒有必要，一般只是取前多少個分量進(jìn)行分析處理就可以近似達(dá)成目標(biāo)了。下圖所示，一個方波，取前多少個正弦波分量疊加以后變成的不同的方波。可以看到，取的分量數(shù)（n）越多越接近原始方波，其他現(xiàn)實(shí)波形的道理是一樣的。

關(guān)于LOTO示波器使用FFT功能的視頻演示如下：

https://www.bilibili.com/video/BV11k4y1z7KA

問題3：FFT頻譜分析有什么用？

典型的應(yīng)用場景有很多。

比如說，當(dāng)你的信號上被噪聲干擾了，你想去掉這個噪聲。在時域波形上看，只能看出是一個密集的上躥下跳的噪聲，完全看不出其他有助于解決掉噪聲的信息。這時候用FFT分析，可以得知噪聲分布的頻率范圍，可以針對一些主要的噪聲頻點(diǎn)進(jìn)行有針對性的濾波處理。

再比如，音頻應(yīng)用中，通過人耳朵很難客觀和標(biāo)準(zhǔn)化分辨出來一些音頻處理單元的頻率范圍。使用FFT對音頻處理單元的信號進(jìn)行掃頻和分析，可以定量的得出音頻響應(yīng)的頻譜范圍，從而快速確定音頻單元是否合格。

關(guān)于FFT使用時候的誤差與頻譜泄漏：

工程中最容易出現(xiàn)的FFT誤差，是由于參與FFT計算的采樣點(diǎn)數(shù)相對于這些采樣點(diǎn)數(shù)覆蓋的信號信息量太少了。舉個簡化的例子：

上圖中的假如一個正弦波（上方）被采集到，如果在做FFT分析的時候由于參與FFT點(diǎn)數(shù)的設(shè)置，可能只取了黃色區(qū)域的局部波形數(shù)據(jù)進(jìn)行FFT計算。那么在FFT算法看來，它會認(rèn)為FFT針對的信號是黃色部分的周期性延宕，如圖中下方的波形所示。

顯而易見，這樣進(jìn)行FFT計算得出的結(jié)果肯定是錯誤的。而且可以推理，使用的FFT點(diǎn)數(shù)越少，錯誤越嚴(yán)重。

我們實(shí)測一下來看：

還有一種情況是，上面提到的FFT取點(diǎn)數(shù)的時候，點(diǎn)數(shù)足夠大，但是并沒有取到剛好整周期上，稍微偏差一點(diǎn)，這樣進(jìn)行FFT分析并不會產(chǎn)生錯誤，但是會有些誤差，這些誤差正是由于這些小偏差引起的，這是難以避免的，專業(yè)術(shù)語叫做頻譜泄漏，如下圖所示。

在頻譜泄漏在頻譜上的表現(xiàn)為在正確的主頻譜旁邊出現(xiàn)不該出現(xiàn)的短小的頻譜。

我們用USB虛擬示波器實(shí)測一下頻譜泄漏：

上圖是實(shí)測的1K頻率的正弦波的時域波形和FFT幅頻曲線。理論上，F(xiàn)FT曲線應(yīng)該是在1K頻率分量上的一根豎線，如A點(diǎn)所示，但是實(shí)際FFT結(jié)果并不是理想的在A處的一根豎直線，而會在臨近的B點(diǎn)和C點(diǎn)還有一定的頻譜值。B和C點(diǎn)不陡降到0是頻率泄漏導(dǎo)致的。

解決頻譜泄漏的最常見的方法是加窗函數(shù)：

我們一般默認(rèn)用的是矩形窗，不同的窗函數(shù)能不同程度的改善譜線的圓潤程度。以上面的頻譜泄漏圖為例，由于突然截斷造成周期延拓時兩個周期相鄰處出現(xiàn)了信號突變，這種突變，代表的是信號包含了高次諧波。加上合適的窗函數(shù)，可以把這個突變變得圓滑一些，從而抑制高次諧波。

但是，我們也可以這樣想，頻譜泄漏圖中的下方信號就是真實(shí)信號，那么，加上這樣的窗函數(shù)反而得到了錯誤的結(jié)果。

上圖為不同窗函數(shù)的圓潤效果，坦白講，一般是不太用窗函數(shù)的，除非非常了解自己的應(yīng)用情況，使用窗函數(shù)的時候計算負(fù)擔(dān)比較重也是我不太常用它們的原因之一。