布爾代數(shù),布爾代數(shù)是什么意思

布爾代數(shù)最初是作為對邏輯思維法則的研究出現(xiàn)的。英國哲學(xué)家George Boole于1847年的論文“邏輯之?dāng)?shù)學(xué)分析”及“思維法則之研究”中引入了布爾代數(shù)。本世紀(jì)30年代C.E. Shannon發(fā)表了“繼電器和開關(guān)電路的符號分析”一文，為布爾代數(shù)在工藝技術(shù)中的應(yīng)用開創(chuàng)了道路。50年代蘇聯(lián)科學(xué)家把布爾代數(shù)發(fā)展成為接點網(wǎng)絡(luò)實用中的通用理論，從而使布爾代數(shù)成為計算機科學(xué)中的重要基礎(chǔ)理論。

從邏輯上講，布爾代數(shù)是一個命題演算系統(tǒng);

從抽象代數(shù)觀點講，布爾代數(shù)是一個代數(shù)系統(tǒng);

從集合的觀點講，它是一個集合代數(shù);

從工程技術(shù)的觀點講，布爾代數(shù)是電路代數(shù)，電子線路的設(shè)計離不開它;

布爾代數(shù)的基本定義和性質(zhì)：

反演規(guī)則是反演律的推廣，運用它可以簡便地求出一個函數(shù)的反函數(shù)。

運用反演規(guī)則時應(yīng)注意兩點：

①不能破壞原式的運算順序——先算括號里的，然后按“先與后或”的原則運算。

②不屬于單變量上的非號應(yīng)保留不變.

對偶原理:

在布爾代數(shù)中，若P是某個已經(jīng)得到證明的定理，將定理中的條件和結(jié)論(1) ⊕與⊙互換; (2) 0與1 互換則由此而得的新定理仍然成立.

布爾代數(shù)的原子表示:

推論 有限布爾代數(shù)的基數(shù)一定為2的冪次;

布爾表達(dá)式及其范式定理:

定義1 設(shè)< S，⊕，⊙，′，0，1>為布爾代數(shù)，則S中的元素稱為布爾常元; 取值于S中的變元稱為布爾變量(Boole Variable)。

定義2 設(shè)< S，⊕，⊙，′，0，1>為布爾代數(shù)，x1，x2，…，xn為布爾變元，則由這n個布爾變元產(chǎn)生的布爾表達(dá)式(Boole Expression)可遞歸定義如下:

1)S中的任何元素和變元為一個布爾表達(dá)式;

2)若F和G都是布爾式，則F′，F(xiàn)⊕G，F(xiàn)⊙G也是布爾式;

3)只有有限次使用1)或2)構(gòu)造而成的符號串才是一個布爾式;

(a)為了簡便起見，規(guī)定⊕的運算優(yōu)先級低于⊙

(b) 任一n元布爾式都可定義為是一個從Sn到S的一個函數(shù);

(c)兩個布爾式相等:

布爾表達(dá)式f(x1，x2，…，xn)的值是將S中的元素作為xi（i=1，2，…，n）的值代入表達(dá)式以后計算出來的表達(dá)式的值;

若對n個布爾變元的任意指派(即給每個變元取上S中的元素)，兩個布爾表達(dá)式的值均相等，則稱這兩個布爾表達(dá)式是相等或等價的。

2) 任何兩個不同小項的布爾積(⊙)為0，任何兩個不同大項的布爾和(⊕)為1; 所有不同小項的布爾和為1;所有不同大項的布爾積為0;

3) 大項(小項)的補是一個小項(大項);

定理(范式定理)在布爾代數(shù)< S，⊕，⊙，′，0，1>中每個n元布爾表達(dá)均可表示成:

f(x1，x2，…，xn)= ⊕k (ck⊙mk) 其中k=δ1δ2…δn

f(x1，x2，…，xn)= ⊙l (dl⊕Ml) 其中l(wèi)=σ1σ2…σn

其中ck= f(δ1，δ2，…，δn)，dl= f(σ1，σ2，…，σn)

定義5 在布爾代數(shù)< S，⊕，⊙，′，0，1>中，一個S上的n元函數(shù)，如果能表示成n元布爾表達(dá)式，則稱之為布爾函數(shù)。

特別地當(dāng)S={0，1}時，即二值布爾代數(shù)S上的n元布爾式均是布爾函數(shù)。其中二值布爾式的主析(合)取范式就是小(大)項的布爾和(積)。

如何求一個二值布爾式的主析取范式和主合取范式:

1)列表法

注：同一布爾式的主合取范式中大項的項數(shù)和主析取范式中小項的項數(shù)之和等于2n。

2) 布爾代數(shù)性質(zhì)法

注:若f的主析取范式為g，則f′的主析取范式就是2n個小項中不在g中出現(xiàn)的小項的布爾和h，且h′就是f的主合取范式;反之，若f的主合取范式為g，則f′的主合取范式就是2n個大項中不在g中出現(xiàn)的大項的布爾積h，且h′就是f的主析取范式;

布爾式的范式定理與布爾式的簡化在電子線路中的應(yīng)用:

二值布爾代數(shù)可用于邏輯電路的設(shè)計。具有若干輸入和某種邏輯功能的組合線路可以用一個定義在電路代數(shù)上的電路函數(shù)表示，而一個電路函數(shù)則可以用二值布爾式來表示。但是，表示同一種邏輯功能的電路函數(shù)可以有許多種，那么用其中最簡單的電路函數(shù)來設(shè)計組合線路，是一個經(jīng)濟(jì)、可靠、簡便的方法。

另外，布爾代數(shù)的應(yīng)用極為廣泛，其中最明顯的是在計算機技術(shù)中分析、綜合、設(shè)計邏輯電路中的應(yīng)用。

我們將若干個開關(guān)的串聯(lián)與并聯(lián)構(gòu)成的電路稱為開關(guān)電路。整個開關(guān)電路從功能上可看作是一個開關(guān)，把電路接通記為1，把電路斷開記為0。

一個具有n個獨立開關(guān)組成的開關(guān)電路稱為n元開關(guān)電路，可以寫成一個二值n元布爾式。開關(guān)是一種具有一個輸入和一個輸出的器件。對于多輸入單輸出的情形則可以用邏輯門電路來實現(xiàn)。邏輯門電路可以用來作與、或、非等邏輯運算，一個邏輯門的輸出可以用為另一個邏輯門的輸入。這樣得到的邏輯電路可以用一個布爾式表示。通過對邏輯電路所對應(yīng)的布爾式進(jìn)行化簡，我們就能分析電路有功能，并簡化電路，既降低成本又提高可靠性。