數(shù)的機器碼表示,數(shù)的機器碼表示原理圖解

　　
　　在計算機中對數(shù)據(jù)進行運算操作時，符號位如何表示呢？是否也同數(shù)值位一道參加運算操作呢？為了妥善的處理好這些問題，就產(chǎn)生了把符號位和數(shù)字位一起編碼來表示相應的數(shù)的各種表示方法，如原碼、補碼、反碼、移碼等。為了區(qū)別一般書寫表示的數(shù)和機器中這些編碼表示的數(shù)，通常將前者稱為真值，后者稱為機器數(shù)或機器碼。
　　
　　1.原碼表示法
　　
　　若定點小數(shù)的原碼形式為ｘ₀ｘ₁ｘ₂…ｘ_n，則原碼表示的定義是
　　
　　? (2.7)
　　
　　式中[ｘ]_原是機器數(shù)，ｘ是真值
　　
　　例如，ｘ＝+0.1001，則[ｘ]_原＝0.1001
　　
　　ｘ＝-0.1001，則[ｘ]_原＝1.1001
　　
　　對于0，原碼機器中往往有“+0”、“-0”之分，故有兩種形式：
　　
　　[+0]_原=0.000...0
　　
　　[-0]_原=1.000...0
　　
　　若定點整數(shù)的原碼形式為ｘ₀ｘ₁ｘ₂…ｘ_n，則原碼表示的定義是
　　
　　? (2.8)
　　
　　采用原碼表示法簡單易懂，但它的最大缺點是加法運算復雜。這是因為，當兩數(shù)相加時，如果是同號則數(shù)值相加；如果是異號，則要進行減法。而在進行減法時還要比較絕對值的大小，然后大數(shù)減去小數(shù)，最后還要給結(jié)果選擇符號。為了解決這些矛盾，人們找到了補碼表示法。

2.補碼表示法
　　
　　我們先以鐘表對時為例說明補碼的概念。假設現(xiàn)在的標準時間為4點正； 而有一只表已經(jīng)7點了，為了校準時間，可以采用兩種方法：一是將時針退 7-4=3 格；一是將時針向前撥12-3=9格。這兩種方法都能對準到4點，由此可以看出，減3和加9是等價的，就是說9是(-3)對12的補碼，可以用數(shù)學公式表示
　　
　　-3＝+9（mod12）
　　
　　mod12的意思就是12模數(shù)，這個“?！北硎颈粊G掉的數(shù)值。上式在數(shù)學上稱為同余式。
　　
　　上例中其所以7-3和7+9(mod12)等價，原因就是表指針超過12時，將12自動丟掉，最后得到16-12=4。從這里可以得到一個啟示，就是負數(shù)用補碼表示時，可以把減法轉(zhuǎn)化為加法。這樣，在計算機中實現(xiàn)起來就比較方便。
　　
　　若定點小數(shù)補碼形式為ｘ₀.ｘ₁ｘ₂…ｘ_n，則補碼表示的定義是
　　
　　? (2.9)
　　
　　例如，ｘ＝+0.1011，則[ｘ]_補＝0.1011
　　
　　ｘ＝-0.1011，則[ｘ]_補＝10+ｘ＝10.0000-0.1011＝1.0101
　　
　　對于0，[＋0]_補＝[－0]_補＝0.0000??????????????? 　(mod 2)
　　
　　注意，0的補碼表示只有一種形式。
　　
　　采用補碼表示法進行減法運算就比原碼方便得多了。因為不論數(shù)是正還是負，機器總是做加法，減法運算可變?yōu)榧臃ㄟ\算。但根據(jù)補碼定義，求負數(shù)的補碼要從2減去|ｘ|。為了用加法代替減法，結(jié)果還得在求補碼時作一次減法，這顯然是不方便的。下面介紹的反碼表示法可以解決負數(shù)的求補問題。
　　
　　對定點整數(shù)，補碼表示的定義是
　　
　　? (2.10)

?3.反碼表示法
　　
　　所謂反碼，就是二進制的各位數(shù)碼0變?yōu)?，1變?yōu)?。也就是說，若ｘ_i=1，則反碼為ｘ_i=0；若ｘ_i=0，則反碼ｘ_i=1。數(shù)值上面的一橫表示反碼的意思。在計算機中用觸發(fā)器寄存數(shù)碼，若觸發(fā)器Q端輸出表示原碼，則其Q端輸出就是反碼。由此可知，反碼是容易得到的。
　　
　　對定點小數(shù)，反碼表示的定義為
　　
??? ? (2.11)
　　
　　其中n代表數(shù)的位數(shù)。
　　
　　在一些文獻中，這種以2為基數(shù)的反碼又稱為1的補碼。
　　
　　一般情況下，對于正數(shù) ｘ＝＋0.ｘ₁ｘ₂…ｘ_n， 則
　　
　　[ｘ]_反＝0.ｘ₁ｘ₂…ｘ_n
　　
　　對于負數(shù)ｘ＝－0.ｘ₁ｘ₂…ｘ_n ，則有
　　
　　[ｘ]_反＝1.ｘ₁ｘ₂…ｘ_n
　　
　　對于0，有[＋0]_反和[－0]_反之分:
　　
　　[＋0]_反＝0.00...0
　　
　　[－0]_反＝1.11...1
　　
　　我們比較反碼與補碼的公式
　　
　　[ｘ]_反＝(2－2^－n)＋ｘ
　　
　　[ｘ]_補＝2＋ｘ
　　
　　可得到
　　
　　? (2.12)
　　
　　這就是通過反碼求補碼的重要公式。這個公式告訴我們，若要一個負數(shù)變補碼，其方法是符號位置1，其余各位0變1，1變0，然后在最末位(2^-n)上加1。
　　
　　對定點整數(shù)，反碼表示的定義為
　　
　　? (2.13)

?4.移碼表示法
　　
　　移碼通常用于表示浮點數(shù)的階碼。由于階碼是個n位的整數(shù)，假定定點整數(shù)移碼形式為ｘ₀ｘ₁ｘ₂…ｘ_n時，對定點整數(shù)，移碼的傳統(tǒng)定義是真值加上一個固定常數(shù)2ⁿ
　　
??? ? (2.14)
　　
　　若階碼數(shù)值部分為7位，以ｘ表示真值，則
　　
　　[ｘ]_移＝27＋ｘ= 128 +ｘ?? 　　　128 ＞ｘ≥－128
　　
　　例如，當正數(shù)ｘ＝＋1010101 時，[ｘ]_移＝1,1010101 ；
　　
　　當負數(shù)ｘ＝－10101 01時，[ｘ]_移＝2⁷＋ｘ＝2⁷－1010101＝10000000 - 1010101 = 0,0101011。
　　
　　移碼中的逗號不是小數(shù)點，而是表示左邊一位是符號位。顯然，移碼中符號位ｘ₀表示的規(guī)律與原碼、補碼、反碼相反。
　　
　　小結(jié)：上面的數(shù)據(jù)四種機器表示法中，移碼表示法主要用于表示浮點數(shù)的階碼。由于補碼表示對加減法運算十分方便，因此目前機器中廣泛采用補碼表示法。在這類機器中，數(shù)用補碼表示，補碼存儲，補碼運算。也有些機器，數(shù)用原碼進行存儲和傳送，運算時改用補碼。還有些機器在做加減法時用補碼運算，在做乘除法時用原碼運算。
　　
　　[例3]以定點整數(shù)為例，用數(shù)軸形式說明原碼、反碼、補碼表示范圍和可能的數(shù)碼組合情況。
　　
　　[解:]
　　
　　原碼、反碼、補碼表示分別示于下圖。與原碼、反碼不同，在補碼表示中“0”只有一種形式，且用補碼表示負數(shù)時范圍可到－2ⁿ 。
　　　　

　　[例4]將十進制真值(－127，－1，0，＋1，＋127)列表表示成二進制數(shù)及原碼、反碼、補碼、移碼值。
　　
　　[解:]
　　
　　二進制真值ｘ及其諸碼值列于下表，其中0在[ｘ]_原[ｘ]_反中有兩種表示。由表中數(shù)據(jù)可知，補碼值與移碼值差別僅在于符號位不同。
　　

[例5]設機器字長16位，定點表示，尾數(shù)15位，數(shù)符1位，問：
　　
　　(1)定點原碼整數(shù)表示時，最大正數(shù)是多少?最小負數(shù)是多少?
　　
　　(2)定點原碼小數(shù)表示時，最大正數(shù)是多少?最小負數(shù)是多少?
　　
　　[解:]

　　[例6]假設由S，E，M三個域組成的一個32位二進制字所表示的非零規(guī)格化浮點數(shù)ｘ，真值表示為：
　　
　　ｘ＝(－1)^s×(1.M)×2^E－128
　　
　　問：它所表示的規(guī)格化的最大正數(shù)、最小正數(shù)、最大負數(shù)、最小負數(shù)是多少？
　　
　　[解:]