二進制數值數據的編碼與運算算法

一、原碼、反碼、補碼的定義

1、原碼的定義

2、補碼的定義

3、反碼的定義

4.移碼：移碼只用于表示浮點數的階碼，所以只用于整數。

①移碼的定義：設由1位符號位和n位數值位組成的階碼，則 [X] 移 =2^ n + X ????-2^ n ≤X ≤ 2^ n
例如： X=＋1011 [X] 移 =11011 符號位“1”表示正號
X=－1011 [X] 移 =00101 符號位“0”表示負號

②移碼與補碼的關系： [X]移與[X]補的關系是符號位互為反碼，
例如： X=＋1011 [X] 移 =11011 [X] 補 =01011
X=－1011 [X] 移 =00101 [X] 補 =10101

③移碼運算應注意的問題：
◎對移碼運算的結果需要加以修正，修正量為2^n ，即對結果的符號位取反后才是移碼形式的正確結果。
◎移碼表示中，0有唯一的編碼——1000…00，當出現000…00時（表示－2^n ），屬于浮點數下溢。

二、補碼加、減運算規則

1、運算規則

[X＋Y] 補 = [X] 補 ＋ [Y] 補
[X－Y] 補 = [X] 補 ＋ [－Y] 補

若已知[Y] 補 ，求[－Y] 補 的方法是：將[Y] 補 的各位（包括符號位）逐位取反再在最低位加1即可。
例如：[Y] 補 = 101101 [－Y] 補 = 010011

2、溢出判斷，一般用雙符號位進行判斷：

符號位00 表示正數 11 表示負數
結果的符號位為01時，稱為上溢；為10時，稱為下溢

例題：設x=0.1101，y=－0.0111，符號位為雙符號位
用補碼求x+y，x－y
[x]補+[y]補=00 1101+11 1001=00 0110
[x－y]補=[x]補+[－y]補=00 1101+00 0111=01 0100
結果錯誤，正溢出

三、原碼一位乘的實現：

設X=0.1101，Y=－0. 1011，求X*Y
解：符號位單獨處理， x 符 ＋ y 符
數值部分用原碼進行一位乘，如下圖所示：

四、原碼一位除的實現：一般用不恢復余數法（加減交替法）

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§2.5 浮點運算與浮點運算器

一、浮點數的運算規則

1、浮點加減法的運算步驟

設兩個浮點數 X=Mx※2Ex Y=My※2Ey
實現X±Y要用如下5步完成：
①對階操作：小階向大階看齊
②進行尾數加減運算
③規格化處理：尾數進行運算的結果必須變成規格化的浮點數，對于雙符號位的補碼尾數來說，就必須是
001×××…×× 或110×××…××的形式
若不符合上述形式要進行左規或右規處理。

④舍入操作：在執行對階或右規操作時常用“0”舍“1”入法將右移出去的尾數數值進行舍入，以確保精度。
⑤判結果的正確性：即檢查階碼是否溢出
若階碼下溢（移碼表示是00…0），要置結果為機器0；
若階碼上溢（超過了階碼表示的最大值）置溢出標志。

例題：假定X=0 .0110011*2^11 ，Y=0.1101101*2^-10 （此處的數均為二進制） ?? 計算X+Y；
解：[X] 浮 ： 0 1 010 1100110
[Y] 浮 ： 0 0 110 1101101
符號位 階碼 尾數

第一步：求階差： │ΔE│=|1010-0110|=0100
第二步：對階：Y的階碼小， Y的尾數右移4位
[Y] 浮 變為 0 1 010 0000110 1101暫時保存
第三步：尾數相加，采用雙符號位的補碼運算
00 1100110
+00 0000110
00 1101100
第四步規格化：滿足規格化要求
第五步：舍入處理，采用0舍1入法處理
故最終運算結果的浮點數格式為： 0 1 010 1101101，
即X+Y=+0. 1101101*2^10

2、浮點乘除法的運算步驟

①階碼運算：階碼求和（乘法）或階碼求差（除法）
即 [Ex+Ey]移= [Ex]移+ [Ey]補
[Ex－Ey]移= [Ex]移+ [－Ey]補

②浮點數的尾數處理：浮點數中尾數乘除法運算結果要進行舍入處理
例題：X=0 .0110011*2^11 ，Y=0.1101101*2^-10
求X※Y
解：[X] 浮 ： 0 1 010 1100110
[Y] 浮 ： 0 0 110 1101101
第一步：階碼相加
[Ex+Ey]移=[Ex]移+[Ey]補=1 010+1 110=1 000
1 000為移碼表示的0
第二步：原碼尾數相乘的結果為：
0 10101101101110
第三步：規格化處理：已滿足規格化要求，不需左規，尾數不變，階碼不變。
第四步：舍入處理：按舍入規則，加1進行修正
所以 X※Y= 0.1010111※2^+000