分組碼,分組碼 是什么意思

分組碼是一組固定長度的碼組，可表示為（n , k），通常它用于前向糾錯。在分組碼中，監督位被加到信息位之后，形成新的碼。在編碼時，k個信息位被編為n位碼組長度，而n-k個監督位的作用就是實現檢錯與糾錯。當分組碼的信息碼元與監督碼元之間的關系為線性關系時，這種分組碼就稱為線性分組碼。

對于長度為n的二進制線性分組碼，它有種可能的碼組，從種碼組中，可以選擇M= 個碼組（k個碼組構成的碼集中選出來的，這樣剩下的碼組就可以對這個分組碼進行檢錯或糾錯。

線性分組碼是建立在代數群論基礎之上的，各許用碼的集合構成了代數學中的群，它們的主要性質如下：

（1）任意兩許用碼之和（對于二進制碼這個和的含義是模二和）仍為一許用碼，也就是說，線性分組碼具有封閉性；

（2）碼組間的最小碼距等于非零碼的最小碼重。

在8.2.1節中介紹的奇偶監督碼，就是一種最簡單的線性分組碼，由于只有一位監督位通常可以表示為（n,n-1），式（1）表示采用偶校驗時的監督關系。在接收端解碼時，實際上就是在計算：

（2）

其中， …表示接收到的信息位，表示接收到的監督位，若S＝0，就認為無錯；若S＝1就認為有錯。式（2）被稱為監督關系式，S是校正子。由于校正子S的取值只有“0”和“1”兩種狀態，因此，它只能表示有錯和無錯這兩種信息，而不能指出錯碼的位置。

設想如果監督位增加一位，即變成兩位，則能增加一個類似于式（2）的監督關系式，計算出兩個校正子和， 而共有4種組合：00，01，10，11，可以表示4種不同的信息。除了用00表示無錯以外，其余3種狀態就可用于指示3種不同的誤碼圖樣。

同理，由r個監督方程式計算得到的校正子有r位，可以用來指示 -1種誤碼圖樣。對于一位誤碼來說，就可以指示 -1個誤碼位置。對于碼組長度為n、信息碼元為k位、監督碼元為r＝n - k位的分組碼（常記作（n，k）碼），如果希望用r個監督位構造出r個監督關系式來指示一位錯碼的n種可能，則要求：

（3)

下面通過一個例子來說明線性分組碼是如何構造的。設分組碼（n , k）中k = 4，為了能夠糾正一位錯誤，由式（3）可以看到，要求r ≥ 3，若取r = 3，則n = k+r = 7。因此，可以用表示這7個碼元，用、、表示利用三個監督方程，通過計算得到的校正子，并且假設、、 三位校正字碼組與誤碼位置的關系如表1（當然，也可以規定成另一種對應關系，這并不影響討論的一般性）：

由表中規定可已看到，僅當一錯碼位置在時，校正子為1；否則為0。這就意味著 四個碼元構成偶數監督關系：

(4a）

同理，構成偶數監督關系：

（4b）

表1校正字與誤碼位置

以及構成有數監督關系：

（4c）

在發送端編碼時是信息碼元，它們的值取決于輸入信號，因此是隨機的。是監督碼元，它們的取值由監督關系來確定，即監督位應使式（4）的三個表達式中的、 和的值為零（表示編成的碼組中應無錯碼），這樣式（4）的三個表達式可以表示成下面的方程組形式：

（5）

由上式經移項運算，接出監督位

（6）

根據上面兩個線性關系，可以得到16個許用碼組如表2所示：

表2許用碼組

接收端收到每個碼組后，計算出、和，如不全為0，則可按表8-4確定誤碼的位置，然后予以糾正。例如，接收碼組為0000011，可算出 ＝011，由表8-4可知在 位置上有一誤碼。

不難看出，上述（7，4）碼的最小碼距，因此，它能糾正一個誤碼或檢測兩個誤碼。如超出糾錯能力，則反而會因“亂糾”而增加新的誤碼。

監督矩陣H和生成矩陣G

式（5）所述（7，4）碼的三個監督方程式可以重新改寫為如下形式：

（7）

對于式（7）可以用矩陣形式來表示：

（8）

上式可以記作：或 ，其中

（9a）

（9b）

（9c）

通常H稱為監督矩陣，A稱為信道編碼得到的碼字。在這個例子中H為r×n階矩陣，P為r×k階矩陣，Ir為r×r階單位矩陣，具有這種特性的H矩陣稱為典型監督矩陣，這是一種較為簡單的信道編譯碼方式。典型形式的監督矩陣各行是線性無關的，非典型形式的監督矩陣可以經過行或列的運算化為典型形式。

對于式（6）也可以用矩陣形式來表示：

或者

（10）

比較式（9a）和式（10）可以看到 ，如果在Q矩陣的左邊在加上一個k×k的單位矩陣，就形成了一個新矩陣G:

（11）

這里G稱為生成矩陣，利用它可以產生整個碼組

（12）

由式（11）表示的生成矩陣形式稱為典型生成矩陣，利用式（12）產生的分組碼必為系統碼，也就是信息碼元保持不變，監督碼元附加在其后。

校驗子S

在發送端信息碼元M利用式（12），實現信道編碼，產生線性分組碼A；在傳輸過程中有可能出現誤碼，設接收到的碼組為B。則收發碼組之差為：

（13）

這里，，表示i位有錯，，表示i位無錯。基于這樣的原則接收端利用接收到的碼組B計算校正子：

（14）

因此，校正子僅與E有關，即錯誤圖樣與校正子之間有確定的關系。

對于上述（7，4）碼，校正子S與錯誤圖樣的對應關系可由式（14）求得，其計算結果見表3所示。在接收端的譯碼器中有專門的校正子計算電路，從而實現檢錯和糾錯。

表3（7，4）碼校正子與錯誤圖樣的對應關系

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