第 3 節(jié) 戴維南定理和諾頓定理

一、戴維南定理

出發(fā)點(diǎn)：對于一個復(fù)雜的含有獨(dú)立源的電路，如果只要計(jì)算某條支路上的電壓和電流，那么就可以把電路分解成兩個部分，把該條支路作為一個部分，把電路的其余部分作為另一個部分，并用一個含源二端網(wǎng)絡(luò) Ns 來表示。試圖找到一個簡化的等效電路去替換 Ns ，則該支路上的電壓和電流的計(jì)算就會簡單得多。

1 、戴維南定理

圖 4.3-1 （ a ）中， Ns 是含源二端網(wǎng)絡(luò)，欲計(jì)算電阻 R 的端電壓 u 和端電流 i 。

 

根據(jù)替代定理，可以用一個電流為 i 的理想電流源去替代外電路，如圖 4.3-1 （ b ）所示，替代之后，電路中其他支路上的電壓和電流則保持不變。

 

用疊加定理計(jì)算 a 、 b 端鈕的電壓 u 。

當(dāng)含源二端網(wǎng)絡(luò) Ns 中的獨(dú)立源單獨(dú)作用時(shí)，外部的電流源 i 應(yīng)視為開路，這時(shí)的電路如圖 4.3-1 （ c ）所示。顯然，這時(shí)的端鈕電壓就是含源二端網(wǎng)絡(luò) Ns 的開路電壓 。

當(dāng)外部的電流源 i 單獨(dú)作用時(shí)，把含源二端網(wǎng)絡(luò) Ns 中的所有獨(dú)立源都視為 0 ，這時(shí) Ns 中只剩下線性電阻和線性受控源等元件，沒有獨(dú)立源，成為一個無源二端網(wǎng)絡(luò)，用 N 表示，其電路如圖 4.3-1 （ d ）所示。顯然，無源二端網(wǎng)絡(luò) N 可以等效為一個電阻，這個電阻稱為含源二端網(wǎng)絡(luò) Ns 的等效內(nèi)阻用 Ro 表示。這時(shí)電阻的端電壓為 。

根據(jù)疊加定理，得圖 4.3-1 （ a ）電路中電阻的端電壓為

戴維南定理（Thevenin's theorem ）：對于一個線性的含源二端網(wǎng)絡(luò)，對外電路而言，它可以用一個理想電壓源和一個內(nèi)阻相串聯(lián)的支路來等效，這條支路稱為戴維南等效支路，又稱戴維南模型。其中，等效電壓源的電壓為該含源二端網(wǎng)絡(luò)的開路電壓 ，等效內(nèi)阻為該含源二端網(wǎng)絡(luò)中所有獨(dú)立源都取 0 時(shí)的等效電阻 。

2 、戴維南模型參數(shù)的計(jì)算

1 、電壓 的計(jì)算

先畫出含源二端網(wǎng)絡(luò) Ns 開路時(shí)的電路，然后再計(jì)算開路電壓 。

2 、等效內(nèi)阻 的計(jì)算

（ 1 ）如果無源二端網(wǎng)絡(luò) N 中沒有受控源，可以用電阻網(wǎng)絡(luò)的等效方法，如電阻的串、并聯(lián)方法等。

（ 2 ）外加電壓法。電路如圖 4.3-2 （ a ）所示，

（ 3 ）短路電流法。如圖 4.3-2 （ b ）所示，

 

3 、應(yīng)用戴維南定理時(shí)應(yīng)注意的問題

1 、戴維南定理只適用于線性電路，也就是說，含源二端網(wǎng)絡(luò) Ns 必須是線性電路。但是，含源二端網(wǎng)絡(luò) Ns 以外的電路則沒有限制，可以是線性電路，也可以是非線性電路。

2 、戴維南等效支路的“等效”是針對外電路而言的，即保證端鈕處的電壓、電流不變，而對端鈕以內(nèi)的電路并不等效。

3 、如果電路中含有受控源，對電路作分解時(shí)，不要把受控源和其控制量分開，否則無法求解。求含源二端網(wǎng)絡(luò) Ns 的等效內(nèi)阻時(shí)，不能把受控源當(dāng)獨(dú)立源看待，即其他獨(dú)立源都取 0 時(shí)，受控源應(yīng)保留在電路中。

例 4.3-1 電路如圖 4.3-3 （ a ）所示，試用戴維南定理求電流 I 。

 

解：為計(jì)算 4.5 Ω電阻上的電流 I ，可將電路分解成兩個部分，如圖 4.3-3 （ b ）所示。利用戴維南定理求 a 、 b 兩端左側(cè)電路的等效電路。

 

1 ．計(jì)算開路電壓

電路中 2V 電壓源和 2A 電流源共同激勵產(chǎn)生開路電壓 ，由于是線性電路，可以采用疊加定理來計(jì)算。

 

當(dāng) 2V 電壓源單獨(dú)激勵時(shí)，電流源視為開路，這時(shí)產(chǎn)生的開路電壓為 ，如圖 4.3-3 （ c ）所示。這里應(yīng)注意，因?yàn)?a 、 b 端鈕已開路，所以 1 Ω電阻上無電流通過，當(dāng)然也就無電壓。由分壓公式得

又當(dāng) 2A 電流源單獨(dú)激勵時(shí)，電壓源視為短路，這時(shí)產(chǎn)生的開路電壓為 ，如圖 4.3-3 （ d ）所示。

Uoc''=2 × (1+3 ∥ 3)=5V

所以，當(dāng) 2V 電壓源和 2A 電流源共同激勵時(shí)，由疊加定理得，開路電壓為

2 ．計(jì)算等效內(nèi)阻

計(jì)算等效內(nèi)阻 時(shí)，把二端網(wǎng)絡(luò)中的 2V 電壓源和 2A 電流源都取 0 ，電路如圖 4.3-3 （ e ）所示。顯然，

Ro=1+3 ∥ 3=2.5 Ω

3 ．用戴維南等效支路替換圖 4.3-3 （ b ）中左側(cè)的含源二端網(wǎng)絡(luò)，到了圖 4.3-3 （ f ）所示的等效電路。所以，由全歐姆定律得電流

 

例 4.3-2 電路如圖 4.3-4 （ a ）所示，試用戴維南定理求 1V 電壓源的功率。

 

解：欲求 1V 電壓源的功率，只要求出該電壓源支路的電流即可。現(xiàn)求 a 、 b 端鈕左側(cè)電路的戴維南等效支路。

計(jì)算 a 、 b 二端網(wǎng)絡(luò)開路電壓的電路如圖 4.3-4 （ b ）所示。由 KVL 得

則

故開路電壓為

 

再計(jì)算 a 、 b 二端網(wǎng)絡(luò)的等效內(nèi)阻。由于該二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)含有受控源，因此應(yīng)采用外加電壓法或短路電流法。我們先采用外加電壓法計(jì)算，這時(shí)應(yīng)把二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的所有獨(dú)立源都取為 0 ，電路如圖 4.3-4 （ c ）所示。

圖 4.3-4 （ c ）中，有

則

故

所以，等效內(nèi)阻為

 

下面，采用短路電流法計(jì)算，這時(shí)應(yīng)把二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的所有獨(dú)立源都保留，電路如圖 4.3-4 （ d ）所示。圖 4.3-4 （ d ）中，

則

又

所以

等效內(nèi)阻為

顯然，這兩種方法計(jì)算的結(jié)果是一樣的。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，可根據(jù)具體情況選擇一種方法。

3 ．戴維南等效電路如圖 4.3-4 （ e ）所示。

由圖 4.3-4 （ e ），得到 1V 電壓源支路的電流為

所以， 1V 電壓源吸收的功率為

 

二、諾頓定理
諾頓定理

（ Norton theorem ）

對于一個線性的含源二端網(wǎng)絡(luò)，對外電路而言，它可以用一個理想電流源和一個內(nèi)阻相并聯(lián)的電路來等效，稱為諾頓等效模型。

其中，等效電流源的電流為該含源二端網(wǎng)絡(luò)的短路電流 ，等效內(nèi)阻為該含源二端網(wǎng)絡(luò)中所有獨(dú)立源都視為 0 時(shí)的等效電阻 。