作者 | 尚曉江博士 仿真秀專欄作者

首發(fā) |仿真秀公眾號(hào)（ID:fangzhenxiu2018）

2003年春，記得田宗漱老教授在中國(guó)科學(xué)院研究生院的有限元課上曾提及一件事，國(guó)內(nèi)某項(xiàng)重點(diǎn)工程的甲方單位委托國(guó)內(nèi)多家科研機(jī)構(gòu)背靠背地分頭對(duì)該項(xiàng)目進(jìn)行了整體結(jié)構(gòu)分析，后來(lái)結(jié)果匯總到一起，專家組經(jīng)過(guò)反復(fù)的研究論證，判定國(guó)內(nèi)一家985高校的計(jì)算團(tuán)隊(duì)給出的結(jié)果是錯(cuò)的，因其采用的一些計(jì)算假定不符合實(shí)際情況。

一所名校的專業(yè)仿真團(tuán)隊(duì)，耗費(fèi)數(shù)月時(shí)間，投入大量人力，對(duì)這個(gè)項(xiàng)目的分析竟以失敗的結(jié)果而告終。這個(gè)真實(shí)發(fā)生的事情說(shuō)明，實(shí)際工程問題往往都是難度比較大的問題。專業(yè)團(tuán)隊(duì)小心翼翼地計(jì)算，花費(fèi)數(shù)月時(shí)間尚且出錯(cuò)，那么可想而知，對(duì)于大量研發(fā)力量薄弱的中小企業(yè)，缺乏專業(yè)經(jīng)驗(yàn)，有些甚至沒有專職分析人員的情況下，要真正地具備仿真分析能力會(huì)有多困難。

那么工程問題的有限元分析，到底難在哪里呢？這是一個(gè)很大的題目，本文僅結(jié)合幾個(gè)具體的算例和個(gè)人認(rèn)識(shí)作簡(jiǎn)單討論，希望能拋磚引玉，引起廣大分析人員的思考。

首先來(lái)看第一個(gè)算例。如圖1所示，一個(gè)100mm×100mm×1000mm的長(zhǎng)方塊體，材質(zhì)為結(jié)構(gòu)鋼，彈性模量200GPa，泊松比0.3，屈服強(qiáng)度200MPa，理想塑性（不考慮硬化），材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系如圖2所示。整個(gè)構(gòu)件軸向受壓。

圖1 軸壓柱形構(gòu)件

圖2 理想塑性材料模型

讀者可能會(huì)說(shuō)，一個(gè)構(gòu)件單軸受壓，這能有什么問題？計(jì)算中采用了圖中所示的一端固定（ANSYS Mechanical中的Fixed Support），另一端位移加載的方式進(jìn)行模擬，頂部向下加載位移量0.8mm。

計(jì)算結(jié)果表明，構(gòu)件的中上部接近單軸應(yīng)力狀態(tài)，從軸向變形來(lái)看，名義軸向應(yīng)變絕對(duì)值僅為0.0008，并未達(dá)到單軸屈服應(yīng)變0.001（fy/E），Von-Mises等效應(yīng)力幾乎等于軸向應(yīng)力，即0.0008×200GPa≈160MPa。但是由于泊松效應(yīng)，底面附近位置實(shí)際上是處于復(fù)雜的三軸應(yīng)力狀態(tài)，而且這一看似再平常不過(guò)的固定約束還引起了應(yīng)力奇異。

如圖3所示，計(jì)算出的最大Von-Mises等效應(yīng)力SEQV的數(shù)值為215.52MPa，竟然違背了在Engineering Data中定義的理想塑性關(guān)系，明顯超過(guò)屈服強(qiáng)度。這時(shí)可能有人要問，花了百十來(lái)萬(wàn)買來(lái)的軟件，難道連本構(gòu)關(guān)系都不滿足？由此可見，即便對(duì)于這樣一個(gè)單一構(gòu)件的簡(jiǎn)單受力問題，邊界條件的選取都是一件值得推敲的事情。

圖3 計(jì)算的Von-Mises等效應(yīng)力分布

其實(shí)，在很多其他場(chǎng)合也可能出現(xiàn)類似問題，如圖4所示，兩個(gè)圓環(huán)A和B截面尺寸分別為3mm×5mm以及3mm×3mm，其接觸面存在4.5微米的幾何干涉，定義摩擦系數(shù)為0.1的Frictional接觸，B外側(cè)為固定，通過(guò)2D軸對(duì)稱分析計(jì)算兩鋼環(huán)之間的過(guò)盈配合問題。

圖4 軸對(duì)稱問題示意圖

圖5為分析中采用的雙線性硬化模型，切線模量很低，即便塑性應(yīng)變達(dá)到屈服應(yīng)變的5倍，后繼屈服強(qiáng)度也會(huì)不超過(guò)205MPa，但是計(jì)算的von-Mises等效應(yīng)力結(jié)果卻也是出現(xiàn)了明顯超過(guò)屈服強(qiáng)度的數(shù)值，最大值為218.78MPa，如圖6所示。

圖5 硬化材料模型

圖6 等效應(yīng)力分布結(jié)果

這類現(xiàn)象估計(jì)也經(jīng)常出現(xiàn)在很多用戶的計(jì)算書中，而且不論你進(jìn)行的是線彈性分析，又或者是理想塑性條件下的彈塑性分析，都是同樣的結(jié)果。其實(shí)在有限元分析中還有很多這類問題，認(rèn)真推敲起來(lái)，還真的就是越想越不對(duì)勁兒，有種“看山不是山”的錯(cuò)覺。

再來(lái)看一個(gè)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析的簡(jiǎn)單例子。這是以前西安地區(qū)的用戶發(fā)來(lái)的一個(gè)問題，問題來(lái)源是高等教育出版社出版的同濟(jì)大學(xué)朱慈勉教授主編《結(jié)構(gòu)力學(xué)》下冊(cè)中的一個(gè)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)例題，如圖7所示。

圖7 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)例題

這是一個(gè)很典型的動(dòng)力學(xué)題目，需要驗(yàn)證跨中電機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)梁的強(qiáng)度和變形。在有限元分析中，當(dāng)然首先需要計(jì)算位移，也就是梁的撓度。這個(gè)用戶是能夠熟練操作ANSYS軟件的，他根據(jù)電機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)頻率，在結(jié)構(gòu)上施加了一個(gè)隨時(shí)間正弦變化的函數(shù)荷載，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了瞬態(tài)分析，計(jì)算時(shí)間為10個(gè)運(yùn)轉(zhuǎn)周期，施加的荷載時(shí)間歷程及計(jì)算的梁跨中撓度時(shí)間歷程曲線分別如圖8和圖9所示。

圖8 用戶施加的正弦荷載曲線

圖9 用戶得到的跨中撓度瞬態(tài)過(guò)程曲線

根據(jù)計(jì)算結(jié)果，用戶說(shuō)梁跨中的最大撓度僅約為3.78mm，與教材中計(jì)算撓度結(jié)果6.5mm差別很大，表示無(wú)法理解。實(shí)際上，之所以出現(xiàn)這樣的問題，是因?yàn)榉治鋈藛T缺乏結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)以及ANSYS計(jì)算原理方面的理論基礎(chǔ)。

我建議他采用諧響應(yīng)分析來(lái)計(jì)算這個(gè)問題，計(jì)算后得到的撓度結(jié)果約為1.7mm，表面數(shù)字來(lái)看與教材計(jì)算的結(jié)果反而差距更大了。之前在一些講座中，明顯看到很多聽課學(xué)員疑惑的眼神。標(biāo)準(zhǔn)的諧響應(yīng)計(jì)算，只有一個(gè)荷載，不會(huì)有問題，書上的結(jié)果當(dāng)然也是對(duì)的，那么問題又出在哪里？

以上這些還都是一些結(jié)構(gòu)形式簡(jiǎn)單、受力狀態(tài)明確的結(jié)構(gòu)計(jì)算問題，那么對(duì)于一般的更為復(fù)雜的實(shí)際工程問題，可想而知，計(jì)算過(guò)程中必然會(huì)有更多的難點(diǎn)需要去克服。

我在編寫的《ANSYS結(jié)構(gòu)有限元高級(jí)分析方法與范例應(yīng)用（第三版）》（中國(guó)水利水電出版社，2015）一書中首次提出有限元分析的“二次映射”思想，即：分析人員首先需要將工程問題映射為可以求解的力學(xué)（物理）問題，再將這些問題映射為ANSYS等計(jì)算軟件所能求解的數(shù)學(xué)問題。

在第一次映射中，需要分析人員具備相關(guān)的力學(xué)背景知識(shí)，能夠把待求解的實(shí)際工程問題抽象為一個(gè)完整描述的力學(xué)問題，包括能確定求解域以及全部的邊界條件、初始條件，最好能夠畫一個(gè)計(jì)算草圖出來(lái)。這個(gè)過(guò)程中，需要隨時(shí)思考一系列問題：

計(jì)算域取到這個(gè)范圍是否合適？這個(gè)范圍的邊界是否都可以明確下來(lái)？這個(gè)問題需要求解的力學(xué)方程是什么（也就是問題的物理機(jī)制或特點(diǎn)，比如：空間軸對(duì)稱問題和三維問題的平衡方程當(dāng)然不同，板的分析方程與連續(xù)體的方程當(dāng)然不同，彈性和彈塑性的求解方程當(dāng)然不同，靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)的求解方程當(dāng)然不同，等等）？這一次的映射相當(dāng)于給要分析的問題定性。

第二次映射，則需要分析人員熟悉計(jì)算軟件的功能和應(yīng)用，能夠把一個(gè)明確的物理問題轉(zhuǎn)化為軟件語(yǔ)言，即軟件可以數(shù)值求解的數(shù)學(xué)問題。第一次映射中確定的計(jì)算域，如何在計(jì)算軟件中創(chuàng)建出來(lái)（用什么樣的單元類型或類型組合來(lái)描述求解域）？外部激勵(lì)和邊界條件如何施加能反映實(shí)際受力狀態(tài)？需要調(diào)用軟件的何種求解模塊進(jìn)行計(jì)算？比如，上面的梁的振動(dòng)問題，就需要映射到諧響應(yīng)分析模塊而不是瞬態(tài)分析模塊。這一次映射相當(dāng)于進(jìn)行建模計(jì)算工作過(guò)程的一個(gè)規(guī)劃。

兩次映射之后，結(jié)構(gòu)分析的任務(wù)也就明確下來(lái)，就可以著手于具體的建模和計(jì)算操作了。由此可見，對(duì)工程問題的抽象和定性的能力、對(duì)力學(xué)理論及軟件編制原理的認(rèn)知、對(duì)軟件功能和應(yīng)用的熟悉程度都會(huì)在不同程度上影響問題是否能夠得到圓滿的解答。

這其中還會(huì)涉及到模型的簡(jiǎn)化、對(duì)稱性的應(yīng)用、計(jì)算參數(shù)的選擇、非線性收斂問題的克服、對(duì)分析結(jié)果的解釋等一系列具體問題，這些問題環(huán)環(huán)相扣，可以說(shuō)每個(gè)環(huán)節(jié)都不容易。尤其是對(duì)于復(fù)雜問題計(jì)算結(jié)果的解釋，論證這么一個(gè)基于虛擬網(wǎng)格的數(shù)值現(xiàn)象跟實(shí)際復(fù)雜物理現(xiàn)象之間的一致性程度，如果發(fā)現(xiàn)不合適的就要回去修正模型重新計(jì)算。

對(duì)于一些問題中的復(fù)雜之處，往往是需要分析人員首先充分理解數(shù)值現(xiàn)象的產(chǎn)生機(jī)理（計(jì)算原理），然后再來(lái)解釋這個(gè)數(shù)值現(xiàn)象在多大程度上反映了真實(shí)物理現(xiàn)象。

一致程度高就是通常所說(shuō)的仿真，否則就是失真（或者干脆叫做“仿假”）。而且這個(gè)領(lǐng)域還有一個(gè)特點(diǎn)，就是一些與概念有關(guān)的經(jīng)驗(yàn)問題，往往是可意會(huì)而不可言傳，向前輩請(qǐng)教，他們好像也說(shuō)不出個(gè)什么，但是這些經(jīng)驗(yàn)又是一種真實(shí)的存在，這時(shí)你千萬(wàn)別誤以為前輩不想幫你。

綜上所述，有限元分析的確不是件容易的事情，它更不是一個(gè)隨便什么人都可以玩的數(shù)值游戲，它客觀上需要分析者熟悉相關(guān)領(lǐng)域的產(chǎn)品結(jié)構(gòu)和設(shè)計(jì)過(guò)程，具有力學(xué)和數(shù)值分析的理論根基，還得能熟練操作相關(guān)的分析軟件，對(duì)人提出了比較高的要求。

對(duì)于一些根基不牢，甚至連材料力學(xué)都沒有學(xué)過(guò)的分析者而言，做有限元分析簡(jiǎn)直無(wú)異于“裸奔”！之前看到一些連應(yīng)力和力的區(qū)別都講不清楚的用戶也在分析一些具體問題的時(shí)候，說(shuō)實(shí)在話，真的替他捏把汗。

在本文的最后，打個(gè)比喻，不妨把分析人員的狀態(tài)歸納為三個(gè)境界。

一開始學(xué)習(xí)計(jì)算軟件，不論是分析簡(jiǎn)單的懸臂梁還是開孔的方板，感覺入門很快，像麻將桌上的很多新手，手氣往往不錯(cuò)，而且有些單位有固定的分析模板，又有前輩指導(dǎo)，進(jìn)步就比較快，正所謂“看山是山，看水是水”，這是分析者的第一境界。

當(dāng)新手隨后實(shí)踐到了一定程度，開始分析一些復(fù)雜的項(xiàng)目或者由自己主導(dǎo)來(lái)分析一些具體項(xiàng)目時(shí)，各種問題和疑惑也會(huì)接踵而至，而且在無(wú)數(shù)次加班甚至可能經(jīng)歷數(shù)個(gè)晚上住在辦公室，但最后還是被軟件完虐，感覺問題越來(lái)越多，有的問題甚至想半天也想不明白，前景也越來(lái)越看不清。一方面是艱辛的付出，另一方面卻看不到成果，由此而開始失落、甚至懷疑做這個(gè)的意義，這時(shí)的感覺恰似“看山不是山，看水不是水”，這是分析者的第二境界。

然而，越是在困難的時(shí)候，越是要堅(jiān)持“去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里”的研究態(tài)度，具體問題具體分析，沉下心來(lái)，不斷去積累知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，相信在一番徹悟后定能到達(dá)“看山還是山，看水還是水”的佳境。