對于金融專業人士和技術分析師來說，估算一家公司的真實市場價值非常具有挑戰性。為了解一家公司的真實價值如何在市場大幅波動時期受到影響，英格蘭銀行的研究人員對這個問題進行了調研。

公司資產受到利潤流和風險敞口等不確定性因素影響。同樣，違約風險取決于未來不確定的公司資產價值和對應的償債義務。通常使用數學模型（如 Black Scholes/Merton）來估算市場價值，這些數學模型基于公開但有限的公司信息，如公司的市值、公司債務的面值和無風險利率。

金融危機暴露了這些方法的缺陷。

缺陷之一是這些模型不能將在觀測的時間序列中相對罕見但極端的運動（或跳躍）考慮進去。我們通常只是偶爾觀察到跳躍，但跳躍經常發生在金融危機或其他市場的不確定性時期。例如，圖 1 中的圖表顯示了 2007 年上半年英國一家大銀行的市值，并顯示了多次不同幅度的跳躍（向上和向下）。

圖1. 2007年上半年英國一家大銀行的市場資本總額。

評估跳躍對市場價值影響的方法之一，就是使用跳躍—擴散模型。

這是兩個隨機過程的組合，其中一個過程是對序列的常規行為進行建模，另一個過程是對隨機發生的跳躍進行建模。本文描述的工作流程，運用MATLAB、Statistics andMachine Learning Toolbox（數理統計和機器學習工具箱）以及 Signal Processing Toolbox（信號處理工具箱），基于公開的市場數據，估算企業隱藏市場價值的跳躍—擴散模型參數。由此產生的模型可用于推導其他相關數據，如違約概率和利差。

創建跳躍—擴散模型

跳躍—擴散模型是基于標準幾何布朗運動（GBM）的擴散模型。

幾何布朗運動模型有兩個參數：漂移（平均趨勢）和擴散（波動）。這些參數可用來為根據既定價格 Pt 所得出的連續復合（對數）回報率 Rt 的分布進行建模：

其中 ?t 為時間增量，μ 為漂移參數，σ 為擴散參數。這個模型假設回報率的對數是服從正態分布的，該正態分布的，期望值為，方差為。

我們的跳躍—擴散模型在幾何布朗運動（GBM）模型的基礎上引入了隨機跳躍。跳躍 Jk 是一個 i.i.d.. 對數正態隨機變量序列：。使用到達率為 λ 的泊松過程 Nt 對跳躍的到達進行建模。回報率可用如下的動態模型表述為：

其中 Wt 是一個維納過程。為了對模型進行數值估算，我們將時間 t 這個連續變量進行離散化，每次跳躍的時間間隔為 [t,t+?t]。我們假設時間增量 ?t 足夠小，使得在 [t,t+?t] 中出現一次以上跳躍的概率可以忽略不計。

與所有繁復的數學模型一樣，跳躍擴散模型也在計算上存在一些挑戰（例如：實現收斂），需要對優化過程進行仔細分析。利用 MATLAB，我們可以：用最少的代碼來直觀地表示方程；估算魯棒性/穩健性高的模型參數；跟蹤優化過程的收斂。

估算模型參數

有五個模型參數需要估算：

μ – 幾何布朗運動（GBM）的漂移

σ – 幾何布朗運動（GBM）的擴散

λ – 泊松過程中跳躍的到達率

μj – 跳躍幅度的對數正態位置參數

σj – 跳躍幅度的對數正態規模參數

根據可用時間序列數據，我們可以直接估算后三個參數（假定觀察到的歷史市值能夠體現公司真實市場價值的特征）。我們可以使用 Signal Processing Toolbox（信號處理工具箱）中的 findchangepts函數自動識別序列中發生突變的點（圖 2）。在金融時間序列中，當序列的平均值或標準差發生顯著變化時，我們可以認為將發生結構變化。在研究金融危機時期或其他高波動時期時，找出標準差變化的點尤為重要。

圖2. 平均值突變的點。

估算基于 BlackScholes/Merton 模型，其中 μ 是 σ 的函數。為了進行優化，我們使用 Statistics and Machine Learning Toolbox（統計和機器學習工具箱）中的 mle函數進行最大似然估算，指定負對數似然函數（negative log-likelihood function）和參數的區間范圍作為函數的輸入。似然函數的值最終由唯一的未知參數 σ 決定。由于市場價值不可觀測，因此我們首先用觀測到的市值的歷史數據對跳躍擴散模型進行擬合到，并對市場價值序列生成一個初始估算。我們利用這個初始估算，對這個過程進行反復，直到參數值穩定為止。

在隱含市場價值和債務的模型中，公司的價值分為屬于股東的資產和屬于債權人的資產。當債務到期時，如果資產足以償還債務，則除去債務后的剩余價值將歸股東所有。否則股東一無所獲。

債務價值相當于持有的無風險債務加上賣出對資產價值的看跌期權：如果資產足以清償債務，那么債權人將獲得足額的償還。如果資產不足以清償債務，那么債權人將獲得全部資產。債務不能全部得到清償的情況被視為風險。債權人以高于無風險利率的信貸利差作為持有風險債務的回報，該利差可以看作是看跌式期權的價值。

資產價值滿足一個包括公司市值和風險債務價值的隱式方程，而風險債務的價值又是資產價值和其他變量（如無風險利率）的函數。在最大似然估計過程中，我們使用 MATLAB 中的 fzero 函數來求解資產價值的隱式方程。收斂后，我們在可能的解點的鄰域中繪制負對數似然函數，來驗證局部最小點是由 mle 函數確定的（圖 3）。

圖3. 解點周圍一個小鄰域中的對數似然曲線。

推算市場價值

在擬合模型之后，我們可以用它來推算資產的市場價值和相關數據，如資產的隱含看跌期權價值和資產的杠桿率。圖 4 所示的就是這些數據的時間序列。

不出所料，我們看到，公司的市值和推算出的市場價值下降時，看跌期權的價值迅速增加。杠桿率作為衡量市場價值與債務比率的指標，也隨著資產價值的下跌而增加。

圖4. 從跳躍—擴散模型推算出的相關數據。

在開發并實現一個跳躍擴散模型參數的估算過程之后，我們使用 MATLAB Live Editor （MATLAB 實時編輯器）將結果作為實時腳本與同事共享。以上流程可以應用于不同資產類別的各種時間序列數據。由于許多金融數據在金融危機時期和市場高度不確定時期都會出現跳躍，因此其潛在應用范圍很廣。

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