數字濾波器

在信號處理領域中，對于信號處理的實時性、快速性的要求越來越高。而在許多信息處理過程中，如對信號的過濾、檢測、預測等，都要廣泛地用到濾波器。

其中數字濾波器具有穩定性高、精度高、設計靈活、實現方便等許多突出的優點，避免了模擬濾波器所無法克服的電壓漂移、溫度漂移和噪聲等問題，因而隨著數字技術的發展，用數字技術實現濾波器的功能越來越受到人們的注意和廣泛的應用。其中有限沖激響應(FIR)濾波器能在設計任意幅頻特性的同時保證嚴格的線性相位特性，在語音、數據傳輸中應用非常廣泛。

在信號處理中，濾波器的設計是非常重要的一個環節。濾波器的作用是什么？濾波器的作用就是把噪音去掉，把感興趣的信號從大量信號中提取出來。

濾波器分兩大類，一種是模擬(ANALOG)濾波器，另外一種是數字(DIGITAL)濾波器。模擬(ANALOG)濾波器是由模擬電路構成，而數字(DIGITAL)濾波器是由數字處理集成電路模塊(DSP)和相應的軟件構成。

數字(DIGITAL)濾波器是可編程的，所以相對于模擬(ANALOG)濾波器有很多優點。其中最大的優點是通過改變程序或改變程序變量就可設計出不同特點的濾波器，而且數字濾波器可以精確的處理低頻率信號。

前面我們提到，什么是濾波器？濾波器就是把噪音去掉，把感興趣的信號，或者說我們感興趣的頻率信號，從大量信號中提取出來。這如果要用數學語言來表達，那么就是用一個期望的頻率特征函數H(f)去乘以輸入信號頻率X(f)。我們知道，輸入信號是有時間性的，它是隨著時間的改變而改變。就是說信號是發生在時間空間(時空，TIME DOMAIN)里的，那么，“期望的頻率特征函數H(f)去乘以輸入信號頻率X(f)”這個數學表達在時間空間里是怎樣的一個表達式呢？根據傅立葉變換定律，“期望的頻率特征函數H(f)去乘以輸入信號頻率X(f)”在時間空間里就是“這個期望的頻率特征函數H(f)在時間空間里的表達式h(t)去和輸入信號x(t)做一個卷積”。

具體什么是卷積？用一句經典的話概括：卷積就是各個時刻的輸入信號各自乘以相對應的衰減或增幅，然后疊加在一起作為輸出信號輸出，這里的衰減或增幅就對應與系統的單位沖激響應。——加權疊加。

物理意義：

卷積的重要的物理意義是：一個函數（如：單位響應）在另一個函數（如：輸入信號）上的加權疊加。

詳細的卷積原理可參考《信號與系統》里面的介紹，里面舉了非常詳細的例子介紹。如果有時間，我也會查閱資料給大家簡單介紹一下。

卷積的應用

用一個模板和一幅圖像進行卷積，對于圖像上的一個點，讓模板的原點和該點重合，然后模板上的點和圖像上對應的點相乘，然后各點的積相加，就得到了該點的卷積值。對圖像上的每個點都這樣處理。由于大多數模板都是對稱的，所以模板不旋轉。卷積是一種積分運算，用來求兩個曲線重疊區域面積。可以看作加權求和，可以用來消除噪聲、特征增強。

FIR濾波器是非遞歸型濾波器的簡稱，又叫有限長單位沖激響應濾波器。帶有常系數的FIR濾波器是一種LTI(線性時不變)數字濾波器。沖激響應是有限的意味著在濾波器中沒有發反饋。長度為N的FIR輸出對應于輸入時間序列x(n)餓關系由一種有限卷積和的形式給出，具體形式如下：

直接形式FIR濾波器圖解：

輸入信號是有時間性的，隨著時間的改變而改變，FIR濾波器最終的輸出是各個時刻的輸入乘以相應的權重（系數），然后進行疊加，輸出。

FIR數字濾波器“移動平均數”為例子：

“移動平均數”就是按我們事先設定的信號個數將輸入信號加以平均。譬如，如果我們按每4個信號就做一次平均，那么這個4點的“移動平均數”濾波器就如下圖所示：

下圖是經過11點和51點“移動平均數”濾波器過濾的信號圖：

“移動平均數”濾波器的頻率響應如下圖所示：

如上圖所示，隨著點數的增加，滾降(ROLLOFF)變陡了，但對旁瓣(sidelobe，衰減部分)的高低影響不大。但是如果我們考慮對濾波器的每個系數采用不同的權重(加權)，而不是像“移動平均數”濾波器那樣，用相同的權重(1/4，對4點“移動平均數”濾波器來說)，那么可以期待旁瓣的大小會大大的降低。

對系數采用不同權重的濾波器，我們可以用下面的數學公式來表達：

這就是FIR數字濾波器的一般表達式。

下面我們以設計一個低通濾波器(LPF)為例，來說明FIR數字濾波器窗函數法的設計要點。

假設采樣頻率為Fs，濾波器的截止(CUT-OFF)頻率為Fco，濾波器的長度為Nfir，那么用圖形表示出來就如下圖所示：

假設Nfir=128，Nco=13 注：Fco=Fs*(Nco/Nfir)，h(t)的計算為：

那么這個低通濾波器的有限沖激響應就如下圖所示：

這樣我們就設計出了一個FIR低通濾波器。為了檢測這個濾波器的性能，我們用信號發生器產生包含從直流到頻率為采樣頻率的一組信號，如下圖所示：

我們把這組信號與前面設計的FIR低通濾波器做卷積運算，并將結果(輸出)進行快速傅立葉變換(FFT)，得到的頻率響應如下圖所示：

除了以上方法獲得加權系數（抽頭系數）外，還可以通過MATLAB獲取。

總之，FIR濾波器的目的是濾除不需要的成分，留下需要的成分，如何留下就是通過加權疊加的方式實現。

濾波器除了低通外，還有高通，帶通及帶阻。

參考文獻：http://blog.sina.com.cn/s/blog_74504f8f0100p5ub.html

FIR濾波器設計方法：

• 直接窗函數設計方法

• 等波紋設計方法