因為工作的需要,要在單片機上實現(xiàn)開根號的操作。目前開平方的方法大部分是用牛頓迭代法。我在查了一些資料以后找到了一個比牛頓迭代法更加快速的方法。不敢獨享,介紹給大家,希望會有些幫助。
1.原理
因為排版的原因,用pow(X,Y)表示X的Y次冪,用B[0],B[1],。..,B[m-1]表示一個序列,
其中[x]為下標(biāo)。
假設(shè):
B[x],b[x]都是二進制序列,取值0或1。
M = B[m-1]*pow(2,m-1) + B[m-2]*pow(2,m-2) + 。.. + B[1]*pow(2,1) + B[0]*pow
(2,0)
N = b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-2]*pow(2,n-2) + 。.. + b[1]*pow(2,1) + n[0]*pow
(2,0)
pow(N,2) = M
(1) N的最高位b[n-1]可以根據(jù)M的最高位B[m-1]直接求得。
設(shè) m 已知,因為 pow(2, m-1) 《= M 《= pow(2, m),所以 pow(2, (m-1)/2) 《= N 《=
pow(2, m/2)
如果 m 是奇數(shù),設(shè)m=2*k+1,
那么 pow(2,k) 《= N 《 pow(2, 1/2+k) 《 pow(2, k+1),
n-1=k, n=k+1=(m+1)/2
如果 m 是偶數(shù),設(shè)m=2k,
那么 pow(2,k) 》 N 》= pow(2, k-1/2) 》 pow(2, k-1),
n-1=k-1,n=k=m/2
所以b[n-1]完全由B[m-1]決定。
余數(shù) M[1] = M - b[n-1]*pow(2, 2*n-2)
(2) N的次高位b[n-2]可以采用試探法來確定。
因為b[n-1]=1,假設(shè)b[n-2]=1,則 pow(b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-1]*pow(2,n-2),
2) = b[n-1]*pow(2,2*n-2) + (b[n-1]*pow(2,2*n-2) + b[n-2]*pow(2,2*n-4)),
然后比較余數(shù)M[1]是否大于等于 (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4)。這種
比較只須根據(jù)B[m-1]、B[m-2]、。..、B[2*n-4]便可做出判斷,其余低位不做比較。
若 M[1] 》= (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 則假設(shè)有效,b[n-2] =
1;
余數(shù) M[2] = M[1] - pow(pow(2,n-1)*b[n-1] + pow(2,n-2)*b[n-2], 2) = M[1] -
(pow(2,2)+1)*pow(2,2*n-4);
若 M[1] 《 (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 則假設(shè)無效,b[n-2] =
0;余數(shù) M[2] = M[1]。
(3) 同理,可以從高位到低位逐位求出M的平方根N的各位。
使用這種算法計算32位數(shù)的平方根時最多只須比較16次,而且每次比較時不必把M的各位逐
一比較,尤其是開始時比較的位數(shù)很少,所以消耗的時間遠(yuǎn)低于牛頓迭代法。
2. 流程圖
(制作中,稍候再上)
3. 實現(xiàn)代碼
這里給出實現(xiàn)32位無符號整數(shù)開方得到16位無符號整數(shù)的C語言代碼。
-------------------------------------------------------------------------------
-
/****************************************/
/*Function: 開根號處理 */
/*入口參數(shù):被開方數(shù),長整型 */
/*出口參數(shù):開方結(jié)果,整型 */
/****************************************/
unsigned int sqrt_16(unsigned long M)
{
unsigned int N, i;
unsigned long tmp, ttp; // 結(jié)果、循環(huán)計數(shù)
if (M == 0) // 被開方數(shù),開方結(jié)果也為0
return 0;
N = 0;
tmp = (M 》》 30); // 獲取最高位:B[m-1]
M 《《= 2;
if (tmp 》 1) // 最高位為1
{
N ++; // 結(jié)果當(dāng)前位為1,否則為默認(rèn)的0
tmp -= N;
}
for (i=15; i》0; i--) // 求剩余的15位
{
N 《《= 1; // 左移一位
tmp 《《= 2;
tmp += (M 》》 30); // 假設(shè)
ttp = N;
ttp = (ttp《《1)+1;
M 《《= 2;
if (tmp 》= ttp) // 假設(shè)成立
{
tmp -= ttp;
N ++;
}
}
return N;
}
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