1 、引言

在許多通信系統中，基站通常會發送訓練序列，用于終端和系統取得同步，這里的同步包括時間同步和頻率同步，而同步通常包括粗同步和精同步兩個步驟。在終端初始接入系統，或者從空閑模式重新接入系統時，通常需要進行粗同步，粗同步的目標是將終端的載波頻偏調整到1KHz 以內，粗同步包括頻偏估計和頻偏調整兩個步驟，粗同步通常需要經過若干次的“估計-調整”步驟以達到目標。粗同步完成以后，終端需要進入同步跟蹤或精同步階段。本文考慮頻率粗同步過程中的頻偏估計算法。

2 、系統模型

3、 頻偏估計方法

3.1 最大似然（ML）頻偏估計

在單徑（即L = 1）情況下，Luise 等人［1］提出一種最大似然頻偏估計方法，通過最大化下式

然而，由于式（5）的最大化復雜度很高，無法得到關于頻偏估計的閉式表達式，只能通過數值計算。文獻［1］在假設載噪比（Carrier-to-Noise-Ratio， CNR）很高，頻偏很小的情況下，通過一系列近似，得到以下近似解

其中， N ≤ M ?1， R（k） 為k r 的自相關函數，定義為

式（7）可以進一步簡化為下式

仿真實驗表明，在單徑的情況下，如果取N = M / 2 ，則利用式（9）得到的頻偏估計結果接近Cramer-Rao 下界（CRLB）。

在多徑的情況下，最大似然頻偏估計可以表示為［3］

R（k） 為接收信號的加權相關值，

根據式（10）得到頻偏估計為無偏估計，且估計方差達到Cramer-Rao 下界。然而，只能通過數值方法進行計算，復雜度很高。

我們利用類似于文獻［1］所使用的近似方法，可以得到式（10）在CNR 很高，頻偏很小的情況下的近似解

比較式（7）和式（14）可知，兩者的形式是完全一致的，只是接收信號的相關值定義不同，在多徑的情況下，需要采用投影矩陣B 進行加權，單徑只是多徑的一種特殊情況而已。為下文表述方便起見，我們將式（14）稱為近似最大似然（Approximate Maximum Likelihood， AML）解。

由于AML 只是在高CNR 情況下的近似，因此，在低SNR 的情況下，將變得不適用。而在實際的無線信道中，信道衰落現象使得在某些時刻信噪比變得很低，這時候，AML 得到的頻偏估計結果將變得很差。另外，AML 需要存儲投影矩陣B，對于不同的信道長度，該矩陣是不同的，針對每種信道長度分別存儲一組值將消耗大量的內存。在工程實踐中，有必要尋求一種更加簡單，更加穩健的頻偏估計方法。

3.2 穩健的頻偏估計方法

3.2.1 基本原理

從式（1）可以看出，接收到的信號為不同延時的多徑信號的組合，每條徑對應不同的頻偏值。首先需要利用訓練序列的良好的自相關特性，分離出各條徑。對于對第i 條徑，利用訓練序列與接收信號進行共軛相關，得到序列

其中上式最后一步利用了訓練序列模為1 的特性，

（a） 累加-相關方法

累加-相關方法指的是先將序列i k v ， 的前半部分和后半部分分別累加，然后對累加結果進行相關，這里的相關指的是兩個值共軛相乘。

（b） 相關-累加方法

3.2.2 性能分析

（a）累加-相關方法的估計性能

（b） 相關-累加方法的估計性能

將式（25）代入（18）可得

在多徑的情況下，由于符號之間的干擾，使得式（28）和式（33）所表示的干擾項還包括不同延時的信號之間的相互干擾項，這使得頻偏估計性能分析變得十分困難，為簡便起見，我們在分析估計方差時，忽略不同延時的信號之間的干擾項，這樣得到的頻偏估計方差比真實值要小。對于“累加-相關”法，可以得到

4、性能仿真

下面通過仿真實驗來對比各種算法的估計性能。采用均方根誤差（RMSE）來衡量各種估計算法的性能，其中RMSE 定義如下

圖4 為多徑個數L=4，且多徑個數準確估計的情況下仿真得到的頻偏估計RMSE。在高CNR 區域，AML 具有最佳的性能，“累加-相關”方法與之接近，而“相關-累加”方法性能最差；在低CNR 區域，AML 性能最差，而“累加-相關”方法性能最佳。

圖5 為多徑個數L=4，且估計的多徑個數為5（多徑個數過估計）的情況下仿真得到的頻偏估計RMSE。這種情況下，“相關-累加”法和AML 的估計性能比多徑個數準確估計時相比，性能略有下降，但“累加-相關”法性能沒有下降。

圖6 為多徑個數L=4，且估計的多徑個數為3（多徑個數欠估計）的情況下仿真得到的頻偏估計RMSE。這種情況下，各種算法的估計性能比多徑個數準確估計時相比，性能下降較多。這是因為AML 算法只有在充分利用所有徑的情況下才能體現其性能優勢，當最后一條徑功率較大（相應的，前面的幾條徑功率總和較小）時，容易出現異常值。而“累加-相關”法和“相關-累加”法則相對穩健一些。

5 、結論

本文比較了近似最大似然頻偏估計算法，“累加-相關”法和“相關-累加”法的頻偏估計性能。仿真結果表明，在高CNR 的情況下，“累加-相關”方法與近似最大似然估計算法的性能接近但前者的計算復雜度和空間復雜度要低許多。另外，在多徑個數估計不準，以及在低CNR 的情況下，該方法具有良好的穩健性。綜上所述，“累加-相關”頻偏估計方法非常適合于工程實現。

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