深度神經網絡這個黑箱子，似乎有了更清晰的輪廓。

我們都知道深度神經網絡性能十分強大，但具體效果為什么這么好，權重為什么要這么分配，可能連“設計者”自己都不知道如何解釋。

最近，一項來自UC伯克利和波士頓大學的研究，就對這個黑箱子做了進一步的解密：

經過訓練和權重修剪的多層感知器（MLP），與具有相同權重分布的隨機網絡相比，通常模塊化程度更高。

也就是說，在特定條件下，深度神經網絡是模塊化（modularity）的。

研究人員認為：

了解神經網絡的模塊化結構，可以讓研究工作者更容易理解神經網絡內部的工作原理。

這項研究還被ICML 2020接收，也已在GitHub開源（見文末“傳送門”）。

將神經網絡模塊化

為什么要用模塊化來研究深度神經網絡呢？

首先，模塊化系統允許分析系統的研究人員，檢查單個模塊的功能，并將他們對單個模塊的理解合并為對整個系統的理解。

其次，神經網絡由不同的層（layer）組成，在定義網絡時，不同的層可以單獨配置。

而通過實驗，研究人員發現：

一個深度神經網絡是模塊化的，它可以被分割成神經元集合，其中每個神經元集合內部高度連接，但集合之間的連接度很低。

更具體點來說，研究人員使用圖聚類（graph clustering）算法將訓練好的網絡分解成集群，并將每個集群視為一個“模塊”。

采用的聚類算法叫做譜聚類（spectral clustering），用它來計算一個劃分（partition）以及評估一個聚類的n-cut。

通俗點來說，就是：

先把數據轉換為圖，所有的數據看做是空間中的點，點和點之間用邊相連。距離較遠的兩個點，它們之間邊的權重值較低，距離較近的兩點之間邊的權重值較高。

接下來，進行n-cut操作，也就是切圖。目標就是要讓切圖后不同的子圖間“邊權重和”盡可能的低，而子圖內的“邊權重和”盡可能的高。

那么，實驗結果又如何呢？

實驗主要采用了3個數據集，分別是MNIST、Fashion-MNIST和CIFAR10，并在每個數據集上訓練了10次。

可以看到，對MNIST測試的正確率為98%，Fashion-MNIST的正確率為90%，而CIFAR-10的正確率為40%。修剪后的網絡通常比隨機網絡具有更好的聚類性。

下圖顯示了在剪枝前和剪枝后，所有受訓練網絡的n-cut和測試精度結果。

△每個訓練網絡的n-cut和精度的散點圖

為了幫助解釋這些n-cut值，研究人員還對200個隨機初始化的網絡進行了聚類，n-cut的分布如下圖所示。

△200個隨機初始化網絡n-cut分布的直方圖和核密度估計

當然，作者也指出一點，這項研究的定義只涉及到網絡的學習權值（learned weight），而不是數據分布，更不是模型的輸出或激活的分布。

模塊之間的重要性和依賴性

那么，這些模塊之間的又有怎樣的關聯呢？

研究人員進一步評估了不同模塊之間的重要性和關系。

在神經科學領域中，要想確定大腦某個區域的功能，有一種方法是研究這個區域意外受損的患者的行為，叫做損傷實驗（lesion experiment）。

類似的，研究人員也采用了這樣的方法：

通過將模塊的神經元激活設置為0，來研究模塊的重要性，并觀察網絡如何準確地對輸入進行分類。

在這項實驗中，“損傷”的原子單位是每個模塊與每個隱含層的交集，稱之為“子模塊”。

重要性

對于每個子模塊，將傳入組成神經元的所有權重設置為0，并保持網絡的其余部分不變。

然后，確定受損網絡的測試集精度，特別是它比整個網絡的精度低了多少。

△使用剪枝和dropout在Fashion-MNIST上訓練后，不同子模塊的繪圖

如上圖所示，重要的子模塊會先標記它的層號，然后再標記模塊號。橫軸表示該層神經元在子模塊中的比例，縱軸表示由于子模塊受損而導致精度的下降。

這項實驗表明，許多子模塊太小，不能算作重要模塊，而許多子模塊在統計上有顯著影響，但在實際中卻不顯著。然而，有些子模塊顯然對網絡的運作具有實質的重要性。

依賴性

既然已經知道了哪些子模塊是重要的，那么最好還能夠理解這些重要的子模塊是如何相互依賴的。

為了做到這一點，研究人員在不同的層中破壞兩個不同的重要子模塊，稱之為X和Y。

通過實驗，研究人員得到了如下結論：

如果X在Y上不是重要條件，且Y在X上也不是重要條件，那么來自X上的所有信息都傳遞給了Y。

如果X不是以Y為重要條件，而Y是以X為重要條件，則X將其所有信息發送給Y，并且Y還從其他子模塊中接收到了信息。

如果Y不是以X為條件的重要條件，而是X是以Y為條件的重要條件，則認為Y從X接收其所有信息，然后X將信息發送到其他子模塊。

如果X和Y都是彼此重要的條件，則無法得出任何結論。