自我感覺傅立葉變換和拉普拉斯變換很有趣，也很有用處就想和大家分享一下，由于是科普，我不打算用數學運算進行講解，只拿大家身邊的例子進行舉例，大家可以簡單看一下，粗略了解一下傅立葉變換及拉普拉斯變換是什么，如果感興趣，可以看看奧本海姆的信號與系統。

傅立葉認為任何信號都可以分解成無數個振幅不同，角頻率不同的正弦波，因此提出了傅立葉變換，是時域到頻域的一種變換。拿一首歌來舉例，我們聽到的聲音就是時域，把這首歌用電腦錄制下來將得到一連串的幅度隨時間變化的波形，通過改變振幅可以改變這首歌的音量，但無法改變它的音調，因為音調是頻域了，只能在譜曲時改變音符的方式進行改變。

如何用電路證明傅立葉變換成立？圖二是一個超外差收音機的電路圖，在振蕩電路中（振蕩電路是一個引入正反饋的放大電路，只有輸出端，通電就輸出振蕩信號），假設LC諧振頻率為1MHz，那么它就會輸出一個1MHz的正弦波振蕩，為什么？此時不如分析一下工作原理：在通電瞬間，或由于電流瞬間沖擊，或由于晶體管噪聲，或由于外界干擾，VT1集電極所接的初級繞組中會有一個瞬間電流流過，根據法拉第電磁感應定律，初級繞組的電流變化會帶來磁通量的變化，而磁通量的變化又會引起次級繞組（LC諧振電路）的電流變化，暫假設這個這個電流不能分解成無數振幅不同，角頻率不同的正弦信號，則LC諧振電路就選擇不出f=1MHz的頻率，振蕩就無法建立，電路就無法起振，可實際并非如此，這個電路確實可以起振，這就說明這個電流中有1MHz的頻率，傅立葉變換成立。那么，傅立葉變換在生活中有什么應用？

喬碧蘿奶奶的變聲器就是一個例子，她的嗓音不可能那么甜，因為她的嗓音有很多諧波分量，此時把這些諧波分量去掉聲音就純凈了。還有各種自拍軟件的祛痘功能，圖片是二維的，是亮度隨時間變化的函數，反映臉型的肯定是低頻頻率，反映眼睛鼻子耳朵的肯定是較高的頻率，那么反映連上細小缺陷都肯定是非常高的頻率，把這個頻率去除，就可以拿去照騙了。當然了，傅立葉變換在生活中還有很多我就不舉了。

但傅立葉變換實際上有一個局限性，就是要求這個信號絕對可積，可實際上很多信號都不滿足這一條件，于是拉普拉斯就說了，你將原時域函數乘上一個與 σ相關的衰減因子，不就行了嗎？這就是拉普拉斯變換，所以傅立葉變換可以看做拉普拉斯變換的特殊形式，傅立葉變換就是 σ為0時的拉普拉斯變換，這就是二者的互通性。

另一個角度來看，傅立葉變換是將時域的函數變換到頻域，即ω域。 拉普拉斯變換是推廣到了復頻域，即s域。 如果這個復數的實部為0，那么就回到單純的頻域。