小伙伴們一定都用過下面這個無源 RC 低通濾波電路：

其拉普拉斯模型如下：

由于

所以：

其幅頻響應為：

由其傳遞函數可知，這是一個單極點系統，其阻帶滿足-20dB/10 倍頻程斜率下降。其截止頻率為：

如把 C/R 交換位置則變成了高通濾波器，其截止頻率依然按上式進行計算。這里也分享一個可在線計算的網址給大家：

http://www.1cnz.cn/tools/rclvboqijiezhipinlv.html

其通帶增益為 0dB。為什么要先談談硬件的一階濾波器呢? 因為這個是大家最為熟悉的東西，而且也一定學過對其進行幅頻響應分析。

既然硬件很容易實現一階低通或者高通濾波器，那么為什么還要討論一階數字濾波器呢？

硬件濾波器需要 RC 器件，R/C 的規格并不能隨意選取，受廠家規格限制，其數值并不連續，特殊規格需要定制

數字濾波器非常靈活，一階數字濾波器計算代價極低。隨便一個單片機都可以玩的轉。

在滿足香農采樣定理的前提下可靈活實現截止頻率。

數字濾波器

這里直接把差分方程列出來，具體推導就不羅嗦了，有興趣可以找書看看，比較容易：

其中

表示濾波時間常數，T 表示采樣周期。

MATLAB 代碼

clc;formatcompact s=tf('s'); w=50;%rad/s H=w/(s+w) T=1/500; Hd=c2d(H,T,'zoh') opts=bodeoptions; opts.FreqUnits='rad/s'; opts.XLim=[0.01,10000]; opts.Grid='on'; bode(H,Hd,opts)

從其響應曲線看為一低通濾波器，相頻響應不線性，從其差分方程也看出輸出反饋參與運算了，所以其本質是 IIR 濾波器。

上代碼

#include #include #include typedefstruct_t_FSTO_FILTER { floatyn1; floata; }t_FSTO_FILTER; intinit_first_order_lpf(t_FSTO_FILTER*pFilter,floatTf,floatT) { if(T<=0?||?Tf<=0) ??????return?-1; ????pFilter->a=Tf/(Tf+T); pFilter->yn1=0; return0; } floatfist_order_lpf(t_FSTO_FILTER*pFilter,floatxn) { floatyn; yn=pFilter->a*pFilter->yn1+(1-pFilter->a)*xn; pFilter->yn1=yn; returnyn; } #definePI3.1415f #defineSAMPLE_RATE500.0f #defineSAMPLE_T(1/SAMPLE_RATE) #defineSAMPLE_SIZE(100) intmain() { floatsim[SAMPLE_SIZE]; floatout[SAMPLE_SIZE]; t_FSTO_FILTERlpf; if(init_first_order_lpf(&lpf,0.005,SAMPLE_T)==-1) return-1; FILE*pFile=fopen("./simulationSin.csv","wt+"); if(pFile==NULL) { printf("simulationSin.csvopenedfailed"); return-1; } for(inti=0;i

取濾波時間常數為 0.005S,采樣周期為 0.2S，為 40 倍關系，來看一下上述代碼的濾波效果，波形未失真，效果棒棒噠～

如果將常數修改為 0.1S，看下效果：

由圖可見，幅度已經衰減，波形已經失真，傳遞函數的幅頻響應已進入衰減區。所以實際使用的時候，濾波器時間常數盡量取小于采樣周期 10 倍為宜，具體可以仿真一下，或者類似上面測試程序測試一下為宜。

總結一下

一階數字濾波計算簡單，實現代價非常低。在濾除高頻噪聲時應用很廣泛。其本質是 IIR 濾波器，為啥要單列出來介紹一下呢？是因為其實現簡單，實際使用時也不必進行復雜的仿真。