你的線性代數(shù)，過了沒？

不論是結(jié)構(gòu)力學(xué)還是人臉識(shí)別，理工類型的科研，深究之后就會(huì)發(fā)現(xiàn)到處都是線性代數(shù)的身影。這樣一門課程，要是在大一的時(shí)候?qū)W不好，可是會(huì)要命的。 在國內(nèi)上過大學(xué)的理科同學(xué)應(yīng)該都見過《線性代數(shù)》（同濟(jì)版），就算沒有學(xué)過，也是聽過它的大名。作為一名過來人，只能說，晦澀難懂，章節(jié)混雜... 即使不少 985、211 走過高考獨(dú)木橋的學(xué)生，每到期末考試，也要默默祈禱不要掛科。現(xiàn)在想起一些內(nèi)容：相似矩陣、線性變換、特征值、特征向量…… 真是一個(gè)頭兩個(gè)大。

作為一本大學(xué)教材，讓學(xué)習(xí)者如此后怕，是該考慮一下教材問題了。如今已經(jīng)畢業(yè)多年，沒想到最近在知乎上看到一篇文章《《線性代數(shù)》（同濟(jì)版）——教科書中的恥辱柱》，點(diǎn)贊量快突破五千。對(duì)于這篇文章，大家有時(shí)間可以讀一下，看看是不是同意作者的觀點(diǎn)。 線性代數(shù)真的很重要，這是很多工程技術(shù)人員走上工作崗位的最大感受。好多算法都用到線性代數(shù)的知識(shí)，就比如現(xiàn)在非常熱門的深度學(xué)習(xí)，它的底層實(shí)現(xiàn)方式用到好多線性代數(shù)方面的知識(shí)。如果底層基礎(chǔ)打不好，不明白其中的原理，算法實(shí)現(xiàn)方式真的很難理解，更不可能去創(chuàng)新了。好的教材才能起到事半功倍的效果。 目前這本教材已更新了好幾版，每次更新的內(nèi)容看起來也是無關(guān)緊要，如果有下次版本更新，還是希望制定教材的老師們聽取一下廣大學(xué)生的建議。 同濟(jì)版《線性代數(shù)》何以引發(fā)眾怒？ 一直以來，同濟(jì)版《線性代數(shù)》都是一本頗有爭議的教材，它在知乎上的風(fēng)評(píng)基本都是這個(gè)畫風(fēng)：

很多同學(xué)吐槽這本教材結(jié)構(gòu)不合理、內(nèi)容抽象（甚至讓抽象的東西變得更抽象），整本學(xué)下來很難有什么收獲，還可能會(huì)喪失對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。
以下是對(duì)于這些觀點(diǎn)的簡單總結(jié)： 結(jié)構(gòu)編排不合理 很多發(fā)帖的同學(xué)都指出，同濟(jì)版《線性代數(shù)》最大的問題就是「結(jié)構(gòu)混亂」，第一章就從「行列式」開始講。對(duì)于沒有學(xué)過線性代數(shù)基本概念的大一同學(xué)來講，這種毫無鋪墊的引入方式讓很多同學(xué)無法接受。

「兄弟，我們是線性代數(shù)課，你不先介紹一下什么叫線性，什么叫代數(shù)嗎？起手就是 n 階行列式的定義，實(shí)力勸退。」——知乎用戶 @清雨影

當(dāng)然，指出這個(gè)問題同學(xué)不在少數(shù)。在其他關(guān)于線性代數(shù)的帖子中，我們也發(fā)現(xiàn)了關(guān)于該書「行列式」編排的吐槽。一位名叫 @李佳繁的知乎用戶發(fā)帖表示：「行列式的定義給的很早難道不會(huì)讓你感到很突兀和很沒有必要么？！而且行列式是線性代數(shù)中幾乎最為重要的概念之一，一上來就只是用數(shù)學(xué)語言給他了一個(gè)規(guī)定，在學(xué)線性代數(shù)的初期，能體會(huì)到什么？」

還有同學(xué)指出，這個(gè)問題并不是同濟(jì)版《線性代數(shù)》所特有的，而是國內(nèi)線代教材的通病。

在第一章講完行列式之后，該書隨后介紹了矩陣及其運(yùn)算、矩陣的初等變換與線性方程組、向量組的線性相關(guān)性、相似矩陣及二次型、線性空間與線性變換幾個(gè)章節(jié)。

除了行列式出現(xiàn)在第一章，其余的編排不合理之處還包括： 1. 逆序數(shù)出現(xiàn)過早； 2. 先講矩陣再講向量； 3. 線性空間放到后面作為選學(xué)； …… 總之，這本書的編排順序讓很多同學(xué)摸不著頭腦，學(xué)完之后也沒有留下深刻的印象，甚至從此失去了對(duì)于線代學(xué)習(xí)的興趣。 長得抽象，教材內(nèi)容也抽象 除了結(jié)構(gòu)編排的問題之外，「內(nèi)容抽象」也是這本教材被吐槽的最多的點(diǎn)。 線性代數(shù)本身就是一門比較抽象的學(xué)科，因此，教材或教師理應(yīng)通過各種方法幫助學(xué)生理解書中的抽象概念，比如運(yùn)用圖解的形式。但很多同學(xué)反映，書中的圖解著實(shí)少得可憐，甚至「翻遍了全書，只有三個(gè)向量圖解」（引自知乎用戶 @Akiyama Mio）。 還有同學(xué)指出，很多概念的引入也是莫名其妙，沒有具體的例子作為支撐，所以很多同學(xué)學(xué)完之后都不知道自己學(xué)的東西有什么用。 這本《線性代數(shù)》教材真的一無是處嗎？有人持相反意見。這部分人認(rèn)為，每本教材其實(shí)都有一定的適用人群，而且看書不一定要遵循書本的編排規(guī)律。

還有老師在評(píng)論區(qū)給出了這本書的原因：節(jié)省課時(shí)，能夠滿足考研需要。

想打下堅(jiān)實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，清華學(xué)生是這樣學(xué)的 所以，既然線性代數(shù)這樣學(xué)效率有點(diǎn)低，我們應(yīng)該用什么姿勢(shì)學(xué)習(xí)呢？ 其實(shí)人們一直都在思考這個(gè)問題。去年，清華大學(xué)將「線性代數(shù)」科目的課本改成英文教材就引發(fā)了人們的熱議。據(jù)介紹，該校改用了麻省理工學(xué)院（MIT）數(shù)學(xué)系教授 Gilbert Strang 的《Introduction to Linear Algebra》，效果怎樣或許一時(shí)無法量化，但看起來蠻受歡迎的。

在 B 站上，Strang 老爺子總共 27 個(gè)多小時(shí)的「線性代數(shù) MIT 18.06」課程也已達(dá)到了 73 萬的播放量（其中一個(gè)資源的數(shù)據(jù)），可以說是 B 站最火的英文《線性代數(shù)》課程了。當(dāng)然這門課程在國外也是 MIT 最熱門的課程之一。根據(jù) OCW 官網(wǎng)統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)，自 2002 年第一次發(fā)布以來，該課程的總訪問量已經(jīng)超過 1000 萬。 為什么他的教材、課程那么受歡迎？從人們的評(píng)論中，我們可以總結(jié)出幾個(gè)關(guān)鍵詞： 1. 實(shí)用、難度適中。知乎上有個(gè)帖子專門討論 Gilbert Strang 的線性代數(shù)教材《Introduction to Linear Algebra》。有人表示，「Strang 的教材更加面向?qū)嶋H應(yīng)用，難度適中，比較注重從實(shí)際問題中培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺，比較適合工程學(xué)科學(xué)生使用。」 這點(diǎn)相對(duì)于國內(nèi)一些教材區(qū)別很大。我們通常接觸到的課本一般是先給出定義，然后是定理和證明方法，很容易讓非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生失去興趣。而 Strang 教授的教材則是「先告訴你一些有意思的數(shù)學(xué)事實(shí)，之后告訴你我們?cè)趺唇鉀Q那些問題之中較為簡單的（有一部分方法甚至是依靠嘗試和數(shù)學(xué)直覺），再和你一起探究這么解決為什么對(duì)，是否存在理論基礎(chǔ)，留一些習(xí)題讓你自己去試試它真的是對(duì)的，最后再做其他的深入探究，并提煉為定理。」（引自知乎用戶 @李佳繁） 2. 化抽象為具體。對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不好的人來說，「線性代數(shù)」真的是一門非常抽象的課程。但從大家對(duì) Strang 教授《線性代數(shù)》教材的評(píng)價(jià)來看，比較一致的觀感是「不是很抽象」，甚至可以 「和高中對(duì)接」。Strang 教授對(duì)線性代數(shù)的講解過程中會(huì)插入很多例子，能讓學(xué)生結(jié)合例子理解一些抽象的概念，對(duì)非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生非常友好。有同學(xué)表示，「感覺很多概念不再是死記硬背了」。 此外，整個(gè)課程的邏輯也是循循善誘式的，它「不是上來告訴你這樣做是對(duì)的，而是一步步引導(dǎo)你讓你理解就應(yīng)該是這樣子。」

Strang 教授 1934 年生于芝加哥，在加州大學(xué)洛杉磯分校取得博士學(xué)位，從 1962 年起就開始擔(dān)任麻省理工學(xué)院的數(shù)學(xué)系教授，一輩子都在教書育人、筆耕不輟。去年初，他還出版了一本新書《Linear Algebra and Learning from Data》。 今年在新冠疫情期間，全球大多數(shù)地區(qū)的學(xué)生都無法前去教室上課，已年滿 85 歲的 Strang 教授又把自己的線性代數(shù)課程視頻更新了一版。 如果對(duì)于英文教學(xué)不太感冒，有人表示藍(lán)以中的《高等代數(shù)簡明教程》、丘維聲的《簡明線性代數(shù)》也是不錯(cuò)的選擇。 如果你在自己學(xué)習(xí)線性代數(shù)時(shí)有些迷惑，根據(jù)課程視頻整理自己的思路可能是效率最高的選擇。