你的線性代數，過了沒？

不論是結構力學還是人臉識別，理工類型的科研，深究之后就會發現到處都是線性代數的身影。這樣一門課程，要是在大一的時候學不好，可是會要命的。 在國內上過大學的理科同學應該都見過《線性代數》（同濟版），就算沒有學過，也是聽過它的大名。作為一名過來人，只能說，晦澀難懂，章節混雜... 即使不少 985、211 走過高考獨木橋的學生，每到期末考試，也要默默祈禱不要掛科。現在想起一些內容：相似矩陣、線性變換、特征值、特征向量…… 真是一個頭兩個大。

作為一本大學教材，讓學習者如此后怕，是該考慮一下教材問題了。如今已經畢業多年，沒想到最近在知乎上看到一篇文章《《線性代數》（同濟版）——教科書中的恥辱柱》，點贊量快突破五千。對于這篇文章，大家有時間可以讀一下，看看是不是同意作者的觀點。 線性代數真的很重要，這是很多工程技術人員走上工作崗位的最大感受。好多算法都用到線性代數的知識，就比如現在非常熱門的深度學習，它的底層實現方式用到好多線性代數方面的知識。如果底層基礎打不好，不明白其中的原理，算法實現方式真的很難理解，更不可能去創新了。好的教材才能起到事半功倍的效果。 目前這本教材已更新了好幾版，每次更新的內容看起來也是無關緊要，如果有下次版本更新，還是希望制定教材的老師們聽取一下廣大學生的建議。 同濟版《線性代數》何以引發眾怒？ 一直以來，同濟版《線性代數》都是一本頗有爭議的教材，它在知乎上的風評基本都是這個畫風：

很多同學吐槽這本教材結構不合理、內容抽象（甚至讓抽象的東西變得更抽象），整本學下來很難有什么收獲，還可能會喪失對于數學學習的興趣。
以下是對于這些觀點的簡單總結： 結構編排不合理 很多發帖的同學都指出，同濟版《線性代數》最大的問題就是「結構混亂」，第一章就從「行列式」開始講。對于沒有學過線性代數基本概念的大一同學來講，這種毫無鋪墊的引入方式讓很多同學無法接受。

「兄弟，我們是線性代數課，你不先介紹一下什么叫線性，什么叫代數嗎？起手就是 n 階行列式的定義，實力勸退。」——知乎用戶 @清雨影

當然，指出這個問題同學不在少數。在其他關于線性代數的帖子中，我們也發現了關于該書「行列式」編排的吐槽。一位名叫 @李佳繁的知乎用戶發帖表示：「行列式的定義給的很早難道不會讓你感到很突兀和很沒有必要么？！而且行列式是線性代數中幾乎最為重要的概念之一，一上來就只是用數學語言給他了一個規定，在學線性代數的初期，能體會到什么？」

還有同學指出，這個問題并不是同濟版《線性代數》所特有的，而是國內線代教材的通病。

在第一章講完行列式之后，該書隨后介紹了矩陣及其運算、矩陣的初等變換與線性方程組、向量組的線性相關性、相似矩陣及二次型、線性空間與線性變換幾個章節。

除了行列式出現在第一章，其余的編排不合理之處還包括： 1. 逆序數出現過早； 2. 先講矩陣再講向量； 3. 線性空間放到后面作為選學； …… 總之，這本書的編排順序讓很多同學摸不著頭腦，學完之后也沒有留下深刻的印象，甚至從此失去了對于線代學習的興趣。 長得抽象，教材內容也抽象 除了結構編排的問題之外，「內容抽象」也是這本教材被吐槽的最多的點。 線性代數本身就是一門比較抽象的學科，因此，教材或教師理應通過各種方法幫助學生理解書中的抽象概念，比如運用圖解的形式。但很多同學反映，書中的圖解著實少得可憐，甚至「翻遍了全書，只有三個向量圖解」（引自知乎用戶 @Akiyama Mio）。 還有同學指出，很多概念的引入也是莫名其妙，沒有具體的例子作為支撐，所以很多同學學完之后都不知道自己學的東西有什么用。 這本《線性代數》教材真的一無是處嗎？有人持相反意見。這部分人認為，每本教材其實都有一定的適用人群，而且看書不一定要遵循書本的編排規律。

還有老師在評論區給出了這本書的原因：節省課時，能夠滿足考研需要。

想打下堅實數學基礎，清華學生是這樣學的 所以，既然線性代數這樣學效率有點低，我們應該用什么姿勢學習呢？ 其實人們一直都在思考這個問題。去年，清華大學將「線性代數」科目的課本改成英文教材就引發了人們的熱議。據介紹，該校改用了麻省理工學院（MIT）數學系教授 Gilbert Strang 的《Introduction to Linear Algebra》，效果怎樣或許一時無法量化，但看起來蠻受歡迎的。

在 B 站上，Strang 老爺子總共 27 個多小時的「線性代數 MIT 18.06」課程也已達到了 73 萬的播放量（其中一個資源的數據），可以說是 B 站最火的英文《線性代數》課程了。當然這門課程在國外也是 MIT 最熱門的課程之一。根據 OCW 官網統計的數據，自 2002 年第一次發布以來，該課程的總訪問量已經超過 1000 萬。 為什么他的教材、課程那么受歡迎？從人們的評論中，我們可以總結出幾個關鍵詞： 1. 實用、難度適中。知乎上有個帖子專門討論 Gilbert Strang 的線性代數教材《Introduction to Linear Algebra》。有人表示，「Strang 的教材更加面向實際應用，難度適中，比較注重從實際問題中培養數學直覺，比較適合工程學科學生使用。」 這點相對于國內一些教材區別很大。我們通常接觸到的課本一般是先給出定義，然后是定理和證明方法，很容易讓非數學專業的學生失去興趣。而 Strang 教授的教材則是「先告訴你一些有意思的數學事實，之后告訴你我們怎么解決那些問題之中較為簡單的（有一部分方法甚至是依靠嘗試和數學直覺），再和你一起探究這么解決為什么對，是否存在理論基礎，留一些習題讓你自己去試試它真的是對的，最后再做其他的深入探究，并提煉為定理。」（引自知乎用戶 @李佳繁） 2. 化抽象為具體。對于數學基礎不好的人來說，「線性代數」真的是一門非常抽象的課程。但從大家對 Strang 教授《線性代數》教材的評價來看，比較一致的觀感是「不是很抽象」，甚至可以 「和高中對接」。Strang 教授對線性代數的講解過程中會插入很多例子，能讓學生結合例子理解一些抽象的概念，對非數學專業的學生非常友好。有同學表示，「感覺很多概念不再是死記硬背了」。 此外，整個課程的邏輯也是循循善誘式的，它「不是上來告訴你這樣做是對的，而是一步步引導你讓你理解就應該是這樣子。」

Strang 教授 1934 年生于芝加哥，在加州大學洛杉磯分校取得博士學位，從 1962 年起就開始擔任麻省理工學院的數學系教授，一輩子都在教書育人、筆耕不輟。去年初，他還出版了一本新書《Linear Algebra and Learning from Data》。 今年在新冠疫情期間，全球大多數地區的學生都無法前去教室上課，已年滿 85 歲的 Strang 教授又把自己的線性代數課程視頻更新了一版。 如果對于英文教學不太感冒，有人表示藍以中的《高等代數簡明教程》、丘維聲的《簡明線性代數》也是不錯的選擇。 如果你在自己學習線性代數時有些迷惑，根據課程視頻整理自己的思路可能是效率最高的選擇。