這篇文章分為三個部分，解讀某個學生在EDN姐妹媒體EEWeb論壇上所提出的一個問題，其核心如下：他的老師布置了一個布爾方程式；然后要求他創建相應的真值表；然后再告訴他要進行卡諾圖化簡；最后要他必須只使用與非（NAND）門或只使用或非（NOR）門來實現這個電路。

因此，一開始要做的就是考慮為什么首先要提出這種問題。接下來就是更詳細地研究這個學生的特定問題，并將其轉換成最初的與或解決方案。然后，就是考慮將與或電路轉換為與非-或非對應電路的一般概念。最后，就是用所學的知識來解決這個學生的最初問題。

為什么要只使用與非門或只使用或非門？

那么，為什么老師都會要求他的學生只使用與非門或只使用或非門來實現邏輯函數？（請注意，我特地不說“只使用與非門或或非門”，因為這有可能被理解成可以使用與非門和或非門，而不使用與門和或門。）

盡管學生可能對此感到驚訝，但不一定就說明老師是個不成功的人，他生活中唯一的樂趣就是去折磨學生。話雖這么說，但回想起我自己還是一名學生的日子，我們最好不要實際排除這種可能的動機。

我不由自主地想到老師給學生布置這個作業可能有以下原因：

1.給出一個用與門或或門（乘積的和或和的乘積形式）描述的電路，然后要求學生將其轉換成只使用與非門、只使用或非門或使用與非門和或非門組合的另一種表現形式，是確保讓學生了解各種邏輯門如何工作的好方法。它還有助于確保讓學生了解德·摩根變換之類的內容。

2.如果你想使用簡單的邏輯器件——例如包含六個非門或四個2輸入與門、或門、與非門或或非門的雙列直插（DIL）封裝集成電路（IC）——來設計印制電路板（PCB），而你可能正好沒有與門之類的東西，但是碰巧有一個與非門和一個非門備用（或者可能是一個或門和三個非門），那么在這種情況下，你對邏輯門的理解就可能扭轉局面。

3.最簡單的邏輯門是非門。假設是CMOS電路，那么一個非門需要兩個晶體管。與非門和或非門要復雜一些，這兩種門每種包含四個晶體管。然后是與門和或門，這兩種門每種包含六個晶體管。也就是說，如果使用與非門或或非門代替與門或或門，那么所使用的晶體管數量可以減少三分之一。

4.關于上一點，與門實際上是由一個與非門后接一個非門構成的（同樣，或門是由一個或非門后接一個非門所組成）。除了使用4+2=6個晶體管外，這還說明與門（和或門）具有兩級延遲。因此，如果可以使用與非門取代與門（或用或非門取代或門），所得到的電路會運行得更快。

5.順便稍微說一句，本文所討論的所有內容在我的書“Bebop to the Boolean Boogie”中都有詳細描述。

實際上，現在已很少有人在門級進行設計。取而代之的是以較高層級的抽象捕獲設計，然后使用邏輯綜合引擎生成相應的門級等效設計。這說明上述第2點到第4點不再像以前那樣重要。

你可以爭辯說，第1點也是如此，但我不太同意。我的想法是，它類似于使用計算器進行計算的概念。如果你有一個計算器，那你實際上就不需要知道如何對整數、實數和浮點數進行加減乘除運算，但是，如果你掌握了這類知識，那么當你計算器的電池沒電時，它就可以派上用場。同樣，盡管你可能不需要每天處理布爾結構，但是在需要時知道如何處理就會非常方便。

思考問題

所以，下面是那個學生給我的。他首先說，老師向班級展示了以下方程式：

那個學生還告訴我，他已經使用這個方程式生成了下面的真值表，但是從這時起，他遇到了麻煩而做不下去了。

好吧，我不得不告訴他，我對他遇到的問題一點都不感到驚訝，因為在他的方程式里有六個乘積項，每個乘積項在他的真值表的輸出列中都應該有一個對應的1，但是實際上，他的真值表的輸出列中只有五個1。

我對這個情況進行了反復考慮，我認為潛在的問題是他缺乏對基本原理的理解。還有一點是，如果有一個學生感到困惑，那么就很可能不止他一個人。最后但同樣重要的是，我記得我剛開始時有點困惑不解，所以我會花一點時間逐步解決這個問題（如果你感到無聊，請隨時跳過；或者，你也可以隨時試著發現我可能引入的任何故意的錯誤，以便了解你是否有集中精力）。

我要做的第一件事就是在方程式中對乘積項進行編號，以便可以對我們所處的位置和所做的事進行跟蹤（如果我們是來真的，那么就不必費心對乘積項進行編號）：

下一步是創建真值表。可以從以標準二進制數表示的所有輸入組合開始，如下面的（a）所示；然后將與六個乘積項相對應的六個1加起來，如（b）到（g）所示；最后把任何剩余的輸出“位置”都填入0，如下面的（h）所示。

這里要注意的重點是，將方程式轉換為真值表確實一點也不困難。話雖如此，但無論誰這樣做，都必須了解這個過程背后的基本邏輯。再看一下這個方程式，其本質可以這樣來表達：“如果第一個乘積項（第一個與函數）為真，則輸出為真（邏輯1），或者如果第二乘積項為真，則輸出為真，或者如果第三乘積項為真……）。這就是為什么可以在與每個乘積項相對應的輸出列中簡單地填寫1——如果這些乘積項中的任何一項為真，則輸出為真（1），否則輸出為假（0）。

下一步是創建卡諾圖。首先是創建網格本身。由于總共有三個輸入，因此可以使用兩種方法（方案）來做這一步，如下所示：

選擇使用哪種方案都沒有關系。這兩種情況下答案都是相同的（如果不是，那就確實有問題）。這里使用方案1，這種方法我比較喜歡。如果有任何學生正在閱讀本文，我建議你在這步完成后從此處開始，自己使用卡諾圖方案2進行重做，以便確保你真正了解這個過程。

查看卡諾圖方案1，觀察“AB”所處的位置。右側是與AB輸入相關的0和1的四種組合：“00”、“01”、“11”和“10”。請務必注意，這四種組合是以格雷碼形式進行排列，這樣就可以讓我們從一個值移到相鄰值時，只會有一位發生變化。這是卡諾圖運作的關鍵。

在二進制代碼中，當從01過渡到10時，會有兩位發生變化。相比之下，如果查看格雷碼（01至11）中的相應轉換，則只有一位發生變化。

此外，請注意二進制代碼的最后一行。如果要從這一行轉而過渡到第一行（11到00），那么就會再次有兩位發生變化。但是，如果查看格雷碼中的相應行（10到00），則會再次看到只有一位發生變化。

好了，現在來填充卡諾圖。這一步是向方程式中的乘積項所對應的每個方框中填入1。這里再次按照下面的步驟逐步填寫（圓圈中的小數字1到6與初始方程式中的乘積項相對應）：

這里需要注意的另一點是，不需要真值表即可填充卡諾圖。這里要做的只是沿著方程式一項一項來，對每個乘積項在對應的卡諾圖“方框”中填入1。

下一步是使用卡諾圖來化簡邏輯表達式。從上面的最終卡諾圖（f）可以立即看出，可以將其簡化為三個項。像往常一樣，我們一次一次地完成每一步。

觀察下圖中用紅色圈出的兩個1，我們知道，這兩種情況下的輸出均為1。對于這兩個框中的每個框都有A=0，C=1，因此這兩個值很重要。但是，這兩個框中有一個是B=0，另一個則是B=1。這就是說，只要A=0，C=1，那么我們就不在乎B是0還是1。

接下來看一下下圖中用紅色圈出的第二組兩個1。對于這兩個框中的每個框都有A=1，C=0，因此這兩個值很重要。但是，這兩個框中也是有一個是B=0，另一個是B=1。這就是說，只要A=1，C=0，那么我們就不在乎B是0還是1。

最后但同樣重要的是，下面來看一下下圖中用紅色圈出的一組四個1（卡諾圖的技巧之一是可以將相同的1用作多個組的一部分）。

在這種情況下，這四個框中有兩個框是A=0，另外兩個框則是A=1，這就是說我們不在乎A是0還是1。類似地，這四個框中有兩個框是C=0，另外兩個框是C=1，因此我們就不在乎C是0還是1。實際上，對于所有這四個框而言，唯一恒定的輸入是B，它始終為1。

這樣，就可以使用卡諾圖最簡表達式來編寫優化的乘積和方程，如下所示：

由此就可以使用非門、與門和或門輕松繪制相應的門級原理圖，如下所示：

至此，我知道你會跟我說我們沒有使用!B信號（這里使用“!”字符來表示非B，因為在文本里在字母上畫一條橫線有點難），但我們將在不久的將來使用它。說到這，未來比你想象的要近。這是我們必須考慮的重點，因為那位令人討厭的老師他所布置的作業是只使用與非門或或非門來展示最終電路。

使用與非門或或非門實現非門

讓我們從容易的開始，先解決本例中的三個非門。首先我們先回憶一下，五種常見基本門的真值表如下所示：

也就是說，如果將與非門的輸入捆綁（連接）在一起，那么得到的功能就是非門。如果將或非門的輸入捆綁在一起，那么得到的結果也相同。也就是說，以下功能相同：

對與門、或門、與非門和或非門進行德·摩根變換

奧古斯都·德·摩根（Augustus DeMorgan，1806至1871年）是喬治·布爾（George Boole）的同齡人。他在符號邏輯領域做出了重大貢獻，尤其是我們現在在用的一組規則——德·摩根變換。

為了對布爾表達式進行德·摩根變換，需要按以下步驟進行：

1.將所有的與運算符換成或運算符，反之亦然。

2.將所有的輸入變量反轉，也可將任何0換成1，反之亦然。

3.將整個函數反轉。

4.減少任何多次反轉。

一般而言，我們傾向于對多項式進行德·摩根變換，但是也可以對單個門進行變換，這樣就得到以下結論：

我不了解你，所以沒辦法解釋，但是在查看了上面的德·摩根變換后，我感覺很滿意，并且感覺在（邏輯）世界中一切都是對的。

只使用與非門來表示電路

老實說，現在我們已奠定了基礎，這個部分非常容易。讓我們回憶下，使用非門、與門和或門實現的電路是什么樣的：

我對它們進行了顏色編碼，以便讓我們清楚了解自己在做什么。下面就來做出決定，我們只希望使用與非門。因此，使用前面討論的所有內容，就可以將非門、或門和與門換成與非門。

和往常一樣，我們一步步來做。首先從左邊用粉紅色表示的三個非門開始。我們知道，可以將這三個門中的每一個換成一個2輸入與非門（它們的輸入是捆綁在一起），所以這里沒有問題。

接下來來研究電路右側用綠色表示的3輸入或門。根據德·摩根變換，我們知道，可以用一個3輸入與非門（其輸入帶有非門）來代替它，如下所示。

當然，可以將這三個非門中的每一個再次用一個2輸入與非門來替換，如下所示：

因此，現在只需要考慮電路中間兩個用藍色表示的與門了。當然，德·摩根變換在這里幫不上忙，因為與門的等效電路是將或非門的所有輸入都加上非門，但這個作業不允許我們使用或非門。

有時，我們傾向于使事情變得比所需要的更復雜。在這種情況下，要做的就是記住，與門實際上是由與非門后接一個非門形成的（同樣，或門是由或非門后接一個非門所組成）。也就是說，可以像下面這樣來替換與門：

當然，由于作業要求只使用與非門，因此必須將非門替換成其等效的2輸入與非門，如下所示：

現在，萬事大吉了。因此，如果把上述所有變換結合起來，那么只使用與非門的實現就如下所示：

雖然上面的電路可以執行所需的功能，但是這里有幾個門浪費了，因為如下面用紅色框框出的部分所示，有兩個地方出現了非門接非門的情況（當然都是用與非門來實現）：

每當以非函數形式出現偶數次反轉時，都可以用一條簡單的線來代替它們。因此，稍作修改就得到如下所示的最終電路：

如果非門、與非門和或非門分別等于一級延遲，與門和或門分別等于兩級延遲，那么在最初的非門、與門和或門電路實現中，最壞情況的輸入到輸出路徑就等于1+2+2=5級延遲。相比之下，經過優化的只使用與非門的實現則僅會發生最多1+1+1=3級延遲。

再說一次，如果有任何學生正在閱讀本文，只是為了確保你100%掌握以上所有內容，建議你以以上討論為基礎創建只使用或非門的實現。在此期間，歡迎提出任何意見和問題，也希望能有更多有經驗的讀者愿意分享任何相關的提示與技巧。
編輯：hfy