神奇的正態分布源于“加”。

時隔多年，或許你早就記不得歲那年夏天高中悶熱的教室，但可能會記得有一天數學老師說著要給大伙看個稀奇——一塊祖傳的高爾頓板。盡管班上大多數同學都叫不出它的名字，卻也從小到大在科技館、博物館見多了，一點都提不起勁兒。老師一本正經地開始講，這個圖形就是正態分布，它有諸多的性質……午后的時光更加昏沉而緩慢地流逝。

不過，這里面蘊含的數學可一點都不無聊，讓我們來觀察一下高爾頓板的結構。

從最上方的節點往下，是幾排交錯排列的釘子。從入口扔下的小球撞上一個釘子，就像觸網的乒乓球一樣，彈向左邊和右邊的概率相等。咦？這不就是老早學過的楊輝三角嗎？最上方只有一種可能，下降之后，左右兩邊比例變成，繼續這個步驟，第行的比例系數其實就是次二項式的展開系數或者。正因如此，這種分布被稱為二項分布。

楊輝三角/圖片來源：維基百科

二項式系數看起來與正態分布風馬牛不相及，但是從高爾頓板的實驗看來，要是增加釘子的層數和底部的格子數（也就是增加），那么二項分布將逼近于正態分布：

二項分布逼近正態分布的過程丨圖片來源：維基百科

為什么一個離散的分布會跟一個連續的分布扯上關系呢？這個結論最早由法國數學家棣莫弗在1738年證明，他發現，如果不斷地拋一枚硬幣，那么得到的正面次數服從二項分布，只要拋得次數夠多，那最終將逼近正態分布。也就是說，假如賭博勝和負的概率是對半分的，那么賭博次的盈虧最終就是上面這個分布。

棣莫弗(Abraham de Moivre 1667-1754)丨圖片來源：維基百科

不過這一結論在當時并沒有引起重視，畢竟并不是所有賭徒都能像梅雷一樣交上帕斯卡這樣的朋友。百年之后，拉普拉斯試圖挽救這個定理的人氣，依然沒有成功。為了紀念這對“難兄難弟”，現在人們把這個定理稱為棣莫弗-拉普拉斯定理。

這種逼近的本質究竟是什么呢？我們看到，不管是高爾頓板，還是多次賭博，二項分布拆成每一步都是簡單的概率事件。那么就可以說，二項分布是這樣的一步一步“加”起來的。

如果是比更復雜的分布，把它們大量加起來是否仍然有類似的性質呢？高斯等人在研究實驗物理學時發現，如果對一個物理量進行多次測量，最終的測量誤差總是像這樣的：

誤差演示丨Python作圖

在物理學中，誤差來自于無關因素的微小擾動。這些擾動加起來，就是整體的誤差。這個整體誤差雖然層次不齊，但形狀與正態分布還是大致吻合的。從那以后，實驗的誤差一般都當作是正態分布。為了紀念高斯的貢獻，也把正態分布稱為高斯分布。

至此，我們已經大概能想象到，正態分布的逼近與這種“加”的性質有關，剩下證明就是數學家的事了。如今，我們把這一系列逼近正態分布的性質稱為“中心極限定理”，結論從最初的二項分布，已經擴展到了任意分布（包括同分布和不同分布）的廣闊天地。就如同上一段中的誤差——即便我們對微觀下的擾動一無所知，也能通過這種極限形式，了解大樣本下的整體行為。

應用這一思想的最為經典的例子當屬統計力學。假如有一大堆粒子，每個都雜亂無章地運動，我們自然無從知曉每一個粒子的運動狀況。不過，如果把每一個粒子的動量當作是一個隨機分布的話，那就可以把所有這些分布“加”起來當做整體的動量。如此一來，中心極限定理豈不是大有用處？

的確如此。如果對理想氣體應用中心極限定理，得到的正是大名鼎鼎的麥克斯韋速度分布：

這正是均值為，方差為的正態分布。結論并不出乎意料，畢竟速度是矢量，并沒有明顯的方向取向，所以均值是。方差的意義略微復雜一些，就此略過，不過可以直觀地理解：對于溫度越高，粒子質量越小的氣體，其速度就越不穩定。

要想得到速率（速度大小）的分布，只需要考慮速度分布這個三維空間中的一個球殼就行了。即是說，在上面那個式子基礎上乘

麥克斯韋速率分布丨圖片來源：維基百科

物理學中一般是用玻爾茲曼分布來推導麥克斯韋分布的，但玻爾茲曼分布本身也可以用中心極限定理間接推導出來。之所以說是間接，只需要看它的形式

這根本不是正態分布。歸根結底，能量的分布在這里不能相加，但在推導過程中，還是能見到正態分布。具體操作會稍微復雜一些，這里就不扯遠了。

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