[導讀] 在知乎上看到一個問題，傅里葉變換、拉普拉斯變換、Z 變換的聯系是什么？為什么要進行這些變換？我覺得這是一個非常好的問題，貌似一下子也回答不上來，所以整理學習并分享一下。

什么是數學變換？

要理解這些變換，首先需要理解什么是數學變換！如果不理解什么是數學變換的概念，那么其他的概念我覺得也沒有理解。

數學變換是指數學函數從原向量空間在自身函數空間變換，或映射到另一個函數空間，或對于集合X到其自身（比如線性變換）或從X到另一個集合Y的可逆變換函數。比如(圖片來源wikipedia)：

旋轉變換(Rotation)

鏡像變換（Reflection）

平移變換(Translation)

數學中還有很多其他的數學變換，其本質都可以看成是將函數f(x)利用變換因子進行的一種數學映射，其變換結果是函數的自變量有可能還是原來的幾何向量空間，或許會變成其他的幾何向量空間，比如傅立葉變換就從時域變換為頻域。

而傅立葉變換和拉普拉斯變換的本質都是對連續或有限個第一類間斷點函數的一種積分變換，那么什么是積分變換呢？

什么是積分變換？

積分變換通過對原函數對映射函數空間自變量在特定區間進行積分運算，將函數從其原始函數空間映射到另一個函數空間。這樣一來，其中原始函數的某些屬性在映射函數空間可能比原始函數空間更容易表征或分析。通常可以使用逆變換將變換后的函數映射回到原函數空間，這樣的變換稱為可逆變換。

假定對于函數為自變量t的函數f(t)，通常積分變換都具有如下類似的范式：

函數f(t)是該變換的輸入，(Tf)(u)為變換的輸出，因此積分變換一般也稱為一種特定的數學運算符。而函數K(t,u)稱為積分核函數(kernel function)。

這里有一個對稱核函數的概念，這是什么意思呢？就是將函數K的兩個自變量交換位置仍然相等：

有的變換可逆，這是什么概念呢？就是變換后通過逆變換，還能還原！

觀察正變換與逆變換，你會發現：

核函數剛好兩個自變量交換位置

正變換是對原函數f(t)在時間維度上進行積分

逆變換是在變換后的函數在u維度上進行積分

什么是傅立葉級數？

在談傅立葉變換之前，先談談傅立葉級數會更容易理解傅立葉變換。在數學中，傅里葉級數（Fourier series）是把類似波的函數表示成簡單正弦波的方式。更正式的說法是，它能將任何周期性函數或周期性信號分解成一個（可能由無窮個頻率分量組成的）簡單振蕩函數的集合，即正弦函數和余弦函數（或者，等價地使用復指數），從數學的定義來看：

設f(t)是一周期信號,假定其周期為T。若f(t)在一個周期的能量是有限的，就是：

則，可以將f(t)展開為傅立葉級數。怎么展開呢？計算如下：

而傅立葉級數的系數由下式計算：

對于f(t),利用歐拉公式還可以寫成正弦函數與余弦函數的和，這里就不寫了。歐拉公式如下：

公式中的k表示第k次諧波，這是個什么概念呢？不容易理解，看下對于一個方波的前4次諧波合成動圖就比較好理解了。這里合成的概念是指時域上的疊加的概念，圖片來源wikipedia

從上圖可以直觀看出，周期性方波，可以看成多次諧波的線性疊加，其幅度譜圖，是一根根離散的譜線，且幅度值越來越低，從這個角度可以看出高次諧波的分量，占比越來越小。其譜線的位置為：

第一根為：

第二根為：

第n根為：

其譜線的間隔為

應用：這里可以聯想到我們的電子系統中的時鐘信號，做硬件的朋友或有經驗，在做EMC的輻射測試時，發現產品電路板在某些頻點超標，有經驗的同學會很快定位到輻射源。其實這里大概率就是因為周期性的時鐘信號造成的，從頻率的角度可以看成是其基頻的多次諧波的線性疊加，而某個諧波分量在電路線路尺寸滿足輻射條件時，就從電路板上脫逸而出，變為電磁波能量向空間傳播。所以反向去查該頻率可能對應的周期性時鐘信號的基頻就能很快定位到輻射源，從而解決問題。

說到傅立葉級數是周期性信號可以用傅立葉級數展開，那么是不是任一周期性信號都可以進行傅立葉級數展開呢？答案是否定的，必須滿足著名的狄利克雷(Dirichlet)條件：

在一周期內，如果有間斷點存在，則間斷點的數目需要是有限個數

在一周期內，極大值和極小值的數目是有限個數的

在一周期內，信號或者函數是絕對可積分的。見前文公式。

什么是傅立葉變換？

前面說了傅立葉級數，接下來再看傅立葉變換。傅立葉變換之所以稱為傅立葉變換，是由于1822年，法國數學家傅立葉(J.Fourier) 在研究熱傳導理論時首次證明了將周期函數展開為傅立葉級數的理論，并進而不斷發展成為一個有力的科研分析工具。

假定周期性信號周期T逐漸變大，則譜線間間隔將逐漸變小，如果外推周期T無限放大，變成無窮大，則信號或者函數就變成非周期信號或函數了，此時譜線就變成連續的了，而非一根一根離散的譜線！那么傅立葉變換正是這種一般性的數學定義：

對于連續時間信號f(t)，若f(t)在時間維度上可積分，（實際上并不一定是時間t維度，這里可以是任意維度，只需在對應維度空間可積分即可），即：

那么，x(t)的傅立葉變換存在，且其計算式為：

其反變換為：

前文說傅立葉變換本質上也是一種連續函數的積分變換，那么從上面公式，可以看出傅立葉變換的核函數為：

其核函數的兩個自變量為t, ，對于一般稱為角速度(可以形象的理解為旋轉運動的快慢)，是表征頻率空間的。

上面這兩個公式是啥意思呢？在度量空間可積可以理解成其在度量空間能量有限，也即對其自變量積分（相當于求面積)是一個確定值，那么這樣的函數或者信號就可以進行傅立葉變換展開，展開得到的就變成是頻域的函數了，如果對頻率將函數值繪制出曲線就是我們所說的頻譜圖，而其逆變換就比較好理解了，如果我們知道一個信號或者函數譜密度函數，就可以對應還原出其時域的函數，也能繪制出時域的波形圖。

傅立葉變換公式，從理解的角度，可以看成無限多無窮小的能量之和，而傅立葉級數也是各諧波分量的加和，所不同的是，前者相對于頻率變量是連續的，而后者相對于頻率則是離散的！

當然，本文限定討論時域信號是因為我們電子系統中的應用最為普遍的就是一個時域信號。推而廣之，其他的多維度信號也能利用上面定義進行推廣，同樣在多維空間信號也非常有應用價值，比如2維圖像處理、3維圖像重建等等。

傅立葉級數與變換的區別？

傅立葉級數對應的是周期信號，而傅立葉變換則對應的是一個時間連續可積信號（不一定是周期信號）

傅立葉級數要求信號在一個周期內能量有限，而后者則要求在整個區間能量有限

傅立葉級數的對應是離散的，而傅立葉變換則對應是連續的。

故而，兩者的物理含義不同，且其量綱也是不同的，代表周期信號的第k次諧波幅度的大小，而則是頻譜密度的概念。所以答案是這兩者從本質上不是一個概念，傅立葉級數是周期信號的另一種時域的表達方式,也就是正交級數,它是不同的頻率的波形的時域疊加。而傅立葉變換則是完全的頻域分析，傅里葉級數適用于對周期性現象做數學上的分析，傅里葉變換可以看作傅里葉級數的極限形式，也可以看作是對周期現象進行數學上的分析，同時也適用于非周期性現象的分析。

什么是拉普拉斯變換？

1814年法國數學家Pierre-Simon Laplace在研究概率論中給出了拉普拉斯的可靠數學依據，從而發展成拉普拉斯變換理論。對于函數f(t)我們知道其傅立葉變換為：

那么如果對于函數其傅立葉變換為：

上面的公式整理一下：

令,則上面的變換

從前文我們知道，拉普拉斯本質上也是一種積分變換，那么上面公式，將看成積分變換的核函數，則其變換核函數為：

上面引入的因子，對于函數函數將變得更容易收斂，傅立葉變換的絕對可積分的限制條件也就更容易滿足了。拉普拉斯變換存在的條件為：

傅立葉拉氏變換聯系區別

所以傅立葉變換與拉普拉斯變換的聯系就比較容易聯系了。

拉普拉斯變換，將原函數從時間維度（不一定是時間維度，只是方便理解本文以常見的時間維度信號進行描述），映射為復平面

傅立葉變換是拉普拉斯變換的特例，也即變換核函數時，拉普拉斯變換就變成傅立葉變換了。相當于只取虛部，實部為0.

傅立葉變換是從原維度變換為頻率維度，對于信號處理而言相當于將時域信號變換為頻域進行分析，為信號處理提供了強大的數學理論基礎及工具。

拉普拉斯變換，將原維度變換為復頻域，在電子電路分析以及控制理論中，為建立系統的數學描述提供了強大的數學理論基礎，學過控制理論的一天到晚都與傳遞函數打交道，其本質就是拉普拉斯變換對系統的一種數學建模描述。為分析系統的穩定性、可控性提供了數學工具。

什么是Z變換？

Z變換本質上是拉普拉斯變換的離散形式。也稱為Fisher-Z變換。對于連續信號進行抽樣變換就得到了原函數的離散序列：

其中T為采樣周期，信號與系統中稱為沖激抽樣。其實說人話，就是將連續信號，按等間隔理想的轉為抽取離散序列樣本。看下圖就明白了，在電子系統中常用AD轉換器進行實現。

對上式進行拉普拉斯變換：

該公式利用沖激函數的抽樣特性，可簡化為：

引入,引入新的自變量Z，則上面的公式就變成這樣了：

這就是Z變換了，從上面的過程描述就知道Z變換與拉普拉斯變換的關系了。因此兩者的聯系也就是Z變換是拉布拉斯變換的離散形式。

那么Z變換的意義在于什么呢？在數字信號處理以及數字控制系統中，Z變換提供了數學基礎。利用Z變換很快就能將一個傳遞函數描述成差分方程形式，這就為編程實現提供了數學依據，比如一個數字濾波器知道其Z變換形式，寫代碼就是分分鐘的事情了，同樣知道一個控制算法的Z變換形式，同樣編代碼也是水到渠成的事情。

這里談到Z變換的離散形式，那么這里也提一句，傅立葉變換數字落地，也即離散形式是離散傅立葉變換DFT(Discrete Fourier Transform)，而大家所熟知的快速傅立葉變換FFT(Fast Fourier Transform)則是DFT的高效率實現。

總結一下

要理解三種變換的聯系區別，首先要理解什么是數學變換，什么是積分變換。傅立葉變換以及拉普拉斯變換本質上都是連續或有限個第一類間斷點函數的積分變換，而傅立葉變換是拉普拉斯變換的特殊形式，而Z變換是拉普拉斯變換的離散形式。每種變換都有其應用價值，傅立葉變換在信號處理的頻域分析中提供了強大的數學工具，而拉普拉斯變換在電子學、控制工程、航空航天等領域提供了建模、分析的數學分析工具；Z變換則將這些變換進而落地為數字實現提供數學理論依據。DFT為FFT的離散化形式，而FFT是DFT的算法優化實現。

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