引言

本文講述霍夫變換的一些內(nèi)容，并加入一些理解性東西，參考了部分博客等相關(guān)性?xún)?nèi)容。希望能對(duì)霍夫變換有所了解，也希望看到的人如果發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤及時(shí)幫忙糾正。博主水平有限，還望賜教。

歷史和簡(jiǎn)介

歷史

霍夫變換（Hough Transform）是在1959年由氣泡室（Bubble Chamber）照片的機(jī)器分析而發(fā)明，發(fā)明者Paul Hough在1962年獲得美國(guó)專(zhuān)利，被命名為Method and Means for Recognizing Complex Patterns（用于識(shí)別復(fù)雜圖案的方法和手段）。該專(zhuān)利對(duì)直線(xiàn)采用斜截距參數(shù)化，但由于斜率可能變成無(wú)窮大，這有可能導(dǎo)致無(wú)限變換空間（unbounded transform space）。

現(xiàn)在使用的霍夫變換是1972年由Richard Duda和Peter Hart所發(fā)明，稱(chēng)為“廣義霍夫變換[GHT]”（Use of the Hough Transformation to Detect Lines and Curves in Pictures，1972）。

然后1981年在Dana H. Ballard的計(jì)算機(jī)視覺(jué)社區(qū)中出現(xiàn)一篇文章名為 Generalizing the Hough transform to detect arbitrary shapes，從而推廣開(kāi)來(lái)。

該文描述了使用模板匹配原理對(duì)霍夫變換進(jìn)行修改。要知道霍夫變換最初是為了分析定義的形狀（如線(xiàn)、圓、橢圓等）而開(kāi)發(fā)。通過(guò)了解其形狀并旨在其找出圖像中的位置和方向，這種改變使得霍夫變換能夠檢測(cè)用其模型描述的任意對(duì)象。這將圖像中查找對(duì)象（用模型描述）的問(wèn)題通過(guò)查找模型在圖像中的位置來(lái)解決。利用廣義霍夫變換（GHT），找到模型位置的問(wèn)題轉(zhuǎn)換為尋找將模型映射到圖像中的變換參數(shù)的問(wèn)題。給定變換參數(shù)的值，就可以確定模型在圖像中的位置。

后來(lái)產(chǎn)生了更多霍夫變換的變體和擴(kuò)展，比如KHT,3DKHT，這里不細(xì)致說(shuō)明。

簡(jiǎn)介

霍夫變換是一個(gè)特征提取技術(shù)。其可用于隔離圖像中特定形狀的特征的技術(shù)，應(yīng)用在圖像分析、計(jì)算機(jī)視覺(jué)和數(shù)字圖像處理領(lǐng)域。目的是通過(guò)投票程序在特定類(lèi)型的形狀內(nèi)找到對(duì)象的不完美實(shí)例。這個(gè)投票程序是在一個(gè)參數(shù)空間中進(jìn)行的，在這個(gè)參數(shù)空間中，候選對(duì)象被當(dāng)作所謂的累加器空間中的局部最大值來(lái)獲得，所述累加器空間由用于計(jì)算霍夫變換的算法明確地構(gòu)建。最基本的霍夫變換是從黑白圖像中檢測(cè)直線(xiàn)(線(xiàn)段)。Hough變換主要優(yōu)點(diǎn)是能容忍特征邊界描述中的間隙，并且相對(duì)不受圖像噪聲的影響。

原理

霍夫變換最簡(jiǎn)單的是檢測(cè)直線(xiàn)。我們知道，直線(xiàn)的方程表示可以由斜率和截距表示（這種表示方法，稱(chēng)為斜截式），如下所示：

如果用參數(shù)空間表示則為,即用斜率和截距就能表示一條直線(xiàn)。

但是這樣會(huì)參數(shù)問(wèn)題，垂直線(xiàn)的斜率不存在（或無(wú)限大），這使得斜率參數(shù)的值接近于無(wú)限。為此，為了更好的計(jì)算，Richard O. Duda和Peter E. Hart在1971年4月，提出了Hesse normal form(Hesse法線(xiàn)式)

其中是原點(diǎn)到直線(xiàn)上最近點(diǎn)的距離(其他人可能把這記錄為，下面也可以把r看成參數(shù))，是軸與連接原點(diǎn)和最近點(diǎn)直線(xiàn)之間的夾角。如圖1所示。

圖1

因此，可以將圖像的每一條直線(xiàn)與一對(duì)參數(shù)相關(guān)聯(lián)。這個(gè)參數(shù)平面有時(shí)被稱(chēng)為霍夫空間，用于二維直線(xiàn)的集合。

在概念上，霍夫變換很接近Radon變換有人將之看成同一變換的不同形式

經(jīng)過(guò)Hough變換，將圖像空間中的一個(gè)點(diǎn)映射到Hough空間，如圖2所示。

圖2

圖2：固定一個(gè)點(diǎn)（3,4），在角度取時(shí)，r的取值范圍情況. 該圖是用matlab繪制，代碼如下

% 一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4）

x=3;

y=4;

%將給定的一個(gè)定點(diǎn)映射到霍夫變換空間

theta=0:pi/200:2*pi;% 角度

r=x*cos（theta）+y*sin（theta）;

plot（theta，r）;%繪圖

set（gca，‘XTick’，［0:pi/10:2*pi］）; % 修改x軸坐標(biāo)間隔

xlabel（‘變量 heta’）

ylabel（‘變量r’）繼續(xù)正題內(nèi)容，圖2顯示了經(jīng)過(guò)定點(diǎn)時(shí)的關(guān)系。顯示了在極坐標(biāo)對(duì)極徑極角平面繪出所有通過(guò)該定點(diǎn)的直線(xiàn), 將得到一條正弦曲線(xiàn)。正弦曲線(xiàn)的形狀取決于，點(diǎn)到所定義原點(diǎn)的距離。通常，越大，正弦曲線(xiàn)的振幅越大，反之則會(huì)越小。

所以我們可以得到一個(gè)結(jié)論，給定平面中的單個(gè)點(diǎn)，那么通過(guò)該點(diǎn)的所有直線(xiàn)的集合對(duì)應(yīng)于平面中的正弦曲線(xiàn)，這對(duì)于該點(diǎn)是獨(dú)特的。一組兩個(gè)或更多點(diǎn)形成一條直線(xiàn)將產(chǎn)生在該線(xiàn)的處交叉的正弦曲線(xiàn)。因此，檢測(cè)共線(xiàn)點(diǎn)的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為找到并發(fā)曲線(xiàn)的問(wèn)題。

例子1

考慮下面三個(gè)點(diǎn)，這里顯示為黑點(diǎn)

圖3

該圖顯示了Hough變換的第一步，三點(diǎn)和六個(gè)可能的角度分組。最左邊的圖像顯示正在轉(zhuǎn)換的第一個(gè)點(diǎn)。首先，繪制不同角度的線(xiàn)條，全部經(jīng)過(guò)第一點(diǎn)。這些顯示為實(shí)線(xiàn)。其次，對(duì)于每條實(shí)線(xiàn)，找到也將原點(diǎn)平分的垂線(xiàn)（法線(xiàn)，或者說(shuō)連接原點(diǎn)垂直于線(xiàn)段的線(xiàn)），這些顯示為虛線(xiàn)。然后找到虛線(xiàn)的長(zhǎng)度和角度。這些值顯示在圖表下方的表格中。這對(duì)被轉(zhuǎn)換的三個(gè)點(diǎn)中的每一個(gè)都重復(fù)該過(guò)程。然后將結(jié)果繪制成圖，有時(shí)稱(chēng)為霍夫空間圖。

圖4

這顯示一個(gè)霍夫空間圖，三點(diǎn)和六個(gè)可能的角度。這是前面表格中數(shù)據(jù)的一個(gè)簡(jiǎn)單圖表。線(xiàn)彼此交叉的點(diǎn)表示由作為變換輸入的三個(gè)點(diǎn)形成的線(xiàn)的角度和距離.

圖4顯示的曲線(xiàn)相交的點(diǎn)給出距離和角度。該距離和角度表示與被測(cè)試點(diǎn)相交的線(xiàn)。在圖4中，所示的線(xiàn)條在粉紅點(diǎn)相交; 這對(duì)應(yīng)于圖3中的實(shí)線(xiàn)粉紅線(xiàn)，其穿過(guò)所有三個(gè)點(diǎn)。

在圖像分析上下文，邊緣段的點(diǎn)（一個(gè)或多個(gè)）的坐標(biāo)在圖像中是已知的，并且因此作為參數(shù)線(xiàn)等式中的常量，而與是未知變量是我們要尋找的。如果我們繪制由每個(gè)定義的可能值，笛卡爾圖像空間中的點(diǎn)映射到極性霍夫參數(shù)空間中的曲線(xiàn)（即正弦曲線(xiàn)）。這個(gè)點(diǎn)到曲線(xiàn)的變換是直線(xiàn)的霍夫變換。當(dāng)在霍夫參數(shù)空間中查看時(shí)，在笛卡爾圖像空間中共線(xiàn)的點(diǎn)變得很明顯，因?yàn)樗鼈儺a(chǎn)生在相同點(diǎn)相交的曲線(xiàn)。

例子2

以下是顯示包含兩條粗線(xiàn)的光柵圖像上的霍夫變換結(jié)果的不同示例。

該變換的結(jié)果存儲(chǔ)在矩陣中。單元格值表示通過(guò)任意點(diǎn)的曲線(xiàn)數(shù)量。更高的單元格值變得更亮。兩個(gè)明顯的亮點(diǎn)是兩條線(xiàn)的霍夫參數(shù)。從這些點(diǎn)的位置，可以確定輸入圖像中兩條線(xiàn)的圖像中心的角度和距離。

霍夫變換提取直線(xiàn)如何實(shí)現(xiàn)？實(shí)現(xiàn)機(jī)理是為何？??

通過(guò)將霍夫參數(shù)空間量化為有限間隔或累加器單元來(lái)實(shí)現(xiàn)變換。隨著算法的運(yùn)行，每個(gè)算法都把轉(zhuǎn)換為一個(gè)離散化的曲線(xiàn)，并且沿著這條曲線(xiàn)的累加器單元被遞增。累加器陣列中產(chǎn)生的峰值表示圖像中存在相應(yīng)的直線(xiàn)的有力證據(jù)。??注意，現(xiàn)在我們考慮的是直線(xiàn)的霍夫變換（先不去考慮圓，圓的情況稍后簡(jiǎn)單說(shuō)明）。累加器陣列的維度是二維的（也就是r和)。

用霍夫變換檢測(cè)圓時(shí)，累加器是三維累加器，目前不去論述

那么對(duì)于圖像來(lái)說(shuō)，處的每個(gè)像素及其鄰域，霍夫變換算法被用于確定該像素是否有足夠的直線(xiàn)證據(jù)。如果是，它將計(jì)算該線(xiàn)的參數(shù)，然后查找參數(shù)落入的累加器箱，并增加該箱的值（投票值）。通過(guò)查找具有最高值的箱，通常通過(guò)查找累加器空間中的局部最大值，可以提取最可能的線(xiàn)，并且讀出它們的（近似的）幾何定義。

找到這些峰的最簡(jiǎn)單方法是通過(guò)應(yīng)用某種形式的閾值，但其他技術(shù)可能在不同情況下產(chǎn)生更好的結(jié)果 - 確定找到哪些行以及有多少。由于返回的行不包含任何長(zhǎng)度信息，因此通常有必要在下一步中查找圖像的哪些部分與哪些行匹配。此外，由于邊緣檢測(cè)步驟中存在缺陷誤差，通常會(huì)在累加器空間中出現(xiàn)錯(cuò)誤，這可能使得找到合適的峰值以及適當(dāng)?shù)木€(xiàn)條變得非常重要。

線(xiàn)性霍夫變換的最終結(jié)果是類(lèi)似于累加器的二維陣列（矩陣），該矩陣的一個(gè)維度是量化角度，另一個(gè)維度是量化距離r。矩陣的每個(gè)元素的值等于位于由量化參數(shù)表示的線(xiàn)上的點(diǎn)或像素的總和。所以具有最高值的元素表示輸入圖像中代表最多的直線(xiàn)。在某些論文中，可能把累計(jì)器單元的結(jié)果認(rèn)為是投票值。換句話(huà)說(shuō)，將每個(gè)交點(diǎn)看成一次投票，也就是說(shuō)，所有點(diǎn)都如此進(jìn)行計(jì)算后，可以設(shè)置一個(gè)閾值，投票大于這個(gè)閾值的可以認(rèn)為是找到的直線(xiàn)。下圖是從一個(gè)博客摘用。

分別為原圖，閾值為30，20時(shí)候檢測(cè)到的直線(xiàn)。對(duì)于大于閾值的點(diǎn),有其Hough space的參數(shù)對(duì)通過(guò)逆映射我們可以得到圖像空間中的直線(xiàn)：

實(shí)現(xiàn)使用的例子說(shuō)明描述

霍夫變換可用于識(shí)別最適合一組給定邊緣點(diǎn)的曲線(xiàn)的參數(shù)。該邊緣描述通常從諸如Roberts Cross，Sobel或 Canny邊緣檢測(cè)器的特征檢測(cè)算子獲得，并且可能是嘈雜的，即其可能包含對(duì)應(yīng)于單個(gè)整體特征的多個(gè)邊緣片段。此外，由于邊緣檢測(cè)器的輸出僅限定圖像中的特征的位置，所以霍夫變換進(jìn)一步是確定兩個(gè)特征是什么（即檢測(cè)其具有參數(shù)（或其他）的特征描述）以及 它們有多少個(gè)存在于圖像中。

為了詳細(xì)說(shuō)明霍夫變換，我們從兩個(gè)閉合矩形的簡(jiǎn)單圖像開(kāi)始。

簡(jiǎn)單閉合矩形

使用 Canny邊緣檢測(cè)器可產(chǎn)生一組邊界描述的這個(gè)部分，如圖8所示。

這里我們看到了圖像中的整體邊界，但是這個(gè)結(jié)果并沒(méi)有告訴我們這個(gè)邊界描述中的特征的身份（和數(shù)量）。在這種情況下，我們可以使用Hough（線(xiàn)檢測(cè)）變換來(lái)檢測(cè)該圖像的八個(gè)單獨(dú)的直線(xiàn)段，從而確定對(duì)象的真實(shí)幾何結(jié)構(gòu)。

如果我們使用這些邊緣/邊界點(diǎn)作為Hough變換的輸入，則會(huì)在笛卡爾空間中的每個(gè)邊緣點(diǎn)的極坐標(biāo)空間中生成一條曲線(xiàn)。當(dāng)被視為強(qiáng)度圖像時(shí)，累加器陣列看起來(lái)像圖9所示

圖9

可以利用直方圖 均衡技術(shù)使得圖像可以讓我們看到包含在低強(qiáng)度像素值中的信息模式，如圖10所示。

注意，雖然和是概念上的極坐標(biāo)，但是累加器空間以橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的矩形繪制 。請(qǐng)注意，累加器空間環(huán)繞圖像的垂直邊緣，因此實(shí)際上只有8個(gè)實(shí)際峰值。

由梯度圖像中的共線(xiàn)點(diǎn)生成的曲線(xiàn)在霍夫變換空間中的峰中相交。這些交點(diǎn)表征原始圖像的直線(xiàn)段。有許多方法可用于從累加器陣列中提取這些亮點(diǎn)或局部最大值。例如，一個(gè)簡(jiǎn)單的方法涉及閾值處理，然后 對(duì)累加器陣列圖像中孤立的亮點(diǎn)集群進(jìn)行一些細(xì)化處理。這里我們使用相對(duì)閾值來(lái)提取，對(duì)應(yīng)于原始圖像中的每條直線(xiàn)邊緣的點(diǎn)。（換句話(huà)說(shuō)，我們只采用累加器數(shù)組中的那些局部最大值，其值等于或大于全局最大值的某個(gè)固定百分比。）

從Hough變換空間（即，反霍夫變換）映射回笛卡爾空間產(chǎn)生一組圖像主題的線(xiàn)描述。通過(guò)將該圖像疊加在原始的反轉(zhuǎn)版本上，我們可以確認(rèn)霍夫變換找到兩個(gè)矩形的8個(gè)真實(shí)邊的結(jié)果，并且因此揭示了遮擋場(chǎng)景的基礎(chǔ)幾何形狀。

從Hough變換空間（即，反霍夫變換）映射回笛卡爾空間產(chǎn)生一組圖像主題的線(xiàn)描述。通過(guò)將該圖像疊加在原始的反轉(zhuǎn)版本上（見(jiàn)圖11），我們可以確認(rèn)霍夫變換找到兩個(gè)矩形的8個(gè)真實(shí)邊的結(jié)果，并且因此揭示了遮擋場(chǎng)景的基礎(chǔ)幾何形狀。

圖11

請(qǐng)注意，在這個(gè)簡(jiǎn)單的例子中，檢測(cè)到的和原始圖像線(xiàn)的對(duì)齊精度顯然不完美，這取決于累加器陣列的量化。（還要注意許多圖像邊緣有幾條檢測(cè)線(xiàn)，這是因?yàn)橛袔讉€(gè)附近的霍夫空間峰值具有相似的線(xiàn)參數(shù)值，存在控制這種效應(yīng)的技術(shù)，但這里沒(méi)有用來(lái)說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)霍夫變換。）

還要注意，由霍夫變換產(chǎn)生的線(xiàn)條的長(zhǎng)度是無(wú)限的。如果我們希望識(shí)別產(chǎn)生變換參數(shù)的實(shí)際線(xiàn)段，則需要進(jìn)一步的圖像分析以便查看這些無(wú)限長(zhǎng)線(xiàn)的哪些部分實(shí)際上具有點(diǎn)。

為了說(shuō)明Hough技術(shù)對(duì)噪聲的魯棒性，Canny邊緣描述已被破壞（由椒鹽噪聲引起）， 在Hough變換之前，如圖12所示。

圖12

繪制在霍夫空間的結(jié)果如圖13所示。

圖13

將這個(gè)結(jié)果反霍夫變換（并將它覆蓋在原來(lái)的結(jié)果上，見(jiàn)圖14）

圖14

圖14：相對(duì)閾值設(shè)置為40％。

可以通過(guò)變換圖像來(lái)研究Hough變換對(duì)特征邊界中的間隙的敏感性（使用了畫(huà)圖工具進(jìn)行編輯，見(jiàn)圖15）

圖15

然后我們?cè)賹⑵渥儞Q到霍夫變換空間，表示為圖16所示。

圖16

然后使用40%的相對(duì)閾值去對(duì)圖像反霍夫變換（同樣也是疊加在原圖上

圖17

在這種情況下，因?yàn)槔奂悠骺臻g沒(méi)有接收到前面例子中的條目數(shù)量，只能找到7個(gè)峰值，但這些都是結(jié)構(gòu)相關(guān)的線(xiàn)。

前面的例子都不是自然實(shí)例。下面展示自然實(shí)例的例子。

城市場(chǎng)景

在第一種情況下，我們有一個(gè)城市場(chǎng)景，這些建筑物被霧遮住，見(jiàn)圖18。

圖18

如果我們想要找到建筑物的真實(shí)邊緣，邊緣檢測(cè)器（例如Canny）無(wú)法很好地恢復(fù)這些信息，如圖19所示。

圖19

但是，霍夫變換可以檢測(cè)到一些表示遮擋區(qū)域內(nèi)建筑物邊緣的直線(xiàn)。原始圖像的直方圖均衡累加器空間表示如圖20所示。

圖20

如果我們將相對(duì)閾值設(shè)置為70％，我們會(huì)得到如圖21所示的反霍夫變換圖像。

圖21

這里只能檢測(cè)到幾條長(zhǎng)邊，并且在很多線(xiàn)條或邊緣片段幾乎共線(xiàn)的地方存在很多重復(fù)。應(yīng)用更大的相對(duì)閾值（即50％）會(huì)產(chǎn)生如圖22所示效果。

圖22

會(huì)產(chǎn)生更多的預(yù)期線(xiàn)條，但會(huì)以許多共線(xiàn)邊緣碎片產(chǎn)生的許多虛假線(xiàn)條為代價(jià)。

最后一個(gè)例子來(lái)自遙感應(yīng)用。在這里，我們想要檢測(cè)圖像中的街道

遙感應(yīng)用

圖23

圖23顯示了一個(gè)合理的矩形城市扇區(qū)（rectangular city sector）。我們可以使用Canny邊緣檢測(cè)器來(lái)檢測(cè)該圖像，如圖24所示。

圖24

但是，街道信息不能單獨(dú)用作邊緣檢測(cè)器的輸出。

圖25表明霍夫線(xiàn)檢測(cè)器能夠恢復(fù)這些信息中的一些。但由于原始圖像的對(duì)比度較差，因此確定了一組有限的特征（即街道）。

圖25

實(shí)現(xiàn)算法描述

摘取一篇博客的算法描述：

初始化空間，表示在該參數(shù)表示的直線(xiàn)上的像素點(diǎn)的個(gè)數(shù))

對(duì)于每一個(gè)像素點(diǎn)，在參數(shù)空間中找出滿(mǎn)足的對(duì)，然后令

統(tǒng)計(jì)所有的大小，取出的參數(shù) （τ是預(yù)設(shè)的閾值）

但我覺(jué)得這并不是十分完整的算法流程。所以我將其改進(jìn)描述如下

讀取原始圖并轉(zhuǎn)換成灰度圖，采用邊緣檢測(cè)算子（如Canny）轉(zhuǎn)換成二值化邊緣圖像

然后對(duì)該圖像進(jìn)行霍夫變換

先使用峰值檢測(cè)函數(shù)，找到大于閾值的霍夫變換單元（局部最大值應(yīng)該最可能是線(xiàn)，步長(zhǎng)和量化會(huì)影響效果）

將上述識(shí)別出的一組候選峰，需要確定與其相關(guān)的線(xiàn)段及其起始點(diǎn)和終止點(diǎn)（這需要一定的算法，很多論文對(duì)此都做了改進(jìn)，諸如蝴蝶形狀寬度，峰值走廊）

然后描繪于原圖（或結(jié)果圖）上

代碼實(shí)現(xiàn)

matlab版本

原圖

圖26

%讀取圖像

I = imread（‘huofu.jpg’）;

% 轉(zhuǎn)換成灰度圖

grayI = rgb2gray（I）;

% 創(chuàng)建二進(jìn)制圖像

BW = edge（grayI，‘canny’）;

% 使用二值圖像創(chuàng)建Hough變換。

［H，T，R］ = hough（BW）;

imshow（H，［］，‘XData’，T，‘YData’，R，。。。

‘InitialMagnification’，‘fit’）;

xlabel（‘ heta’）， ylabel（‘

ho’）;

axis on， axis normal， hold on;

% 在圖像的霍夫變換中查找峰值

P = houghpeaks（H，5，‘threshold’，ceil（0.3*max（H（：））））;

x = T（P（：，2））; y = R（P（：，1））;

plot（x，y，‘s’，‘color’，‘white’）;

% 找到線(xiàn)條并繪制它們

lines = houghlines（BW，T，R，P，‘FillGap’，5，‘MinLength’，7）;

figure， imshow（I）， hold on

max_len = 0;

for k = 1:length（lines）

xy = ［lines（k）.point1; lines（k）.point2］;

plot（xy（：，1），xy（：，2），‘LineWidth’，2，‘Color’，‘green’）;

% 繪制線(xiàn)條的開(kāi)始和結(jié)束

plot（xy（1，1），xy（1，2），‘x’，‘LineWidth’，2，‘Color’，‘yellow’）;

plot（xy（2，1），xy（2，2），‘x’，‘LineWidth’，2，‘Color’，‘red’）;

% 確定最長(zhǎng)線(xiàn)段的端點(diǎn)

len = norm（lines（k）.point1 - lines（k）.point2）;

if （ len 》 max_len）

max_len = len;

xy_long = xy;

end

end

% 通過(guò)為青色著色來(lái)突出顯示最長(zhǎng)的線(xiàn)段

plot（xy_long（：，1），xy_long（：，2），‘LineWidth’，2，‘Color’，‘cyan’）;

運(yùn)行結(jié)果

圖27

只是個(gè)示范使用，參數(shù)可自調(diào)。

python實(shí)現(xiàn)

#！ python2

# coding： utf-8

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from skimage.transform import hough_line

from skimage.draw import line

img = np.zeros（（100， 150）， dtype=bool）

img［30， ：］ = 1

img［：， 65］ = 1

img［35:45， 35:50］ = 1

rr， cc = line（60， 130， 80， 10）

img［rr， cc］ = 1

img += np.random.random（img.shape） 》 0.95

out， angles， d = hough_line（img）

fix， axes = plt.subplots（1， 2， figsize=（7， 4））

axes［0］.imshow（img， cmap=plt.cm.gray）

axes［0］.set_title（‘Input image’）

axes［1］.imshow（

out， cmap=plt.cm.bone，

extent=（np.rad2deg（angles［-1］）， np.rad2deg（angles［0］）， d［-1］， d［0］））

axes［1］.set_title（‘Hough transform’）

axes［1］.set_xlabel（‘Angle （degree）’）

axes［1］.set_ylabel（‘Distance （pixel）’）

plt.tight_layout（）

plt.show（）

運(yùn)行結(jié)果

圖28

Opencv實(shí)現(xiàn)

opencv的關(guān)于霍夫變換提取的函數(shù)可以在Opencv的該文檔見(jiàn)到 Opencv關(guān)于houghlines函數(shù) ??博主電腦安裝的是opencv2.4.13版本，代碼是來(lái)自于淺墨大神（毛星云）的代碼實(shí)現(xiàn)。

//-----------------------------------【頭文件包含部分】---------------------------------------

// 描述：包含程序所依賴(lài)的頭文件

//----------------------------------------------------------------------------------------------

#include 《opencv2/opencv.hpp》

#include 《opencv2/imgproc/imgproc.hpp》

//-----------------------------------【命名空間聲明部分】---------------------------------------

// 描述：包含程序所使用的命名空間

//-----------------------------------------------------------------------------------------------

using namespace cv;

//-----------------------------------【main（ ）函數(shù)】--------------------------------------------

// 描述：控制臺(tái)應(yīng)用程序的入口函數(shù)，我們的程序從這里開(kāi)始

//-----------------------------------------------------------------------------------------------

int main（）

{

//【1】載入原始圖和Mat變量定義

Mat srcImage = imread（“1.jpg”）; //工程目錄下應(yīng)該有一張名為1.jpg的素材圖

Mat midImage， dstImage;//臨時(shí)變量和目標(biāo)圖的定義

//【2】進(jìn)行邊緣檢測(cè)和轉(zhuǎn)化為灰度圖

Canny（srcImage， midImage， 50， 200， 3）;//進(jìn)行一此canny邊緣檢測(cè)

cvtColor（midImage， dstImage， CV_GRAY2BGR）;//轉(zhuǎn)化邊緣檢測(cè)后的圖為灰度圖

//【3】進(jìn)行霍夫線(xiàn)變換

vector《Vec2f》 lines;//定義一個(gè)矢量結(jié)構(gòu)lines用于存放得到的線(xiàn)段矢量集合

HoughLines（midImage， lines， 1， CV_PI / 180， 150， 0， 0）;

//【4】依次在圖中繪制出每條線(xiàn)段

for （size_t i = 0; i 《 lines.size（）; i++）

{

float rho = lines［i］［0］， theta = lines［i］［1］;

Point pt1， pt2;

double a = cos（theta）， b = sin（theta）;

double x0 = a*rho， y0 = b*rho;

pt1.x = cvRound（x0 + 1000 * （-b））;

pt1.y = cvRound（y0 + 1000 * （a））;

pt2.x = cvRound（x0 - 1000 * （-b））;

pt2.y = cvRound（y0 - 1000 * （a））;

line（dstImage， pt1， pt2， Scalar（55， 100， 195）， 1， CV_AA）;

}

//【5】顯示原始圖

imshow（“【原始圖】”， srcImage）;

//【6】邊緣檢測(cè)后的圖

imshow（“【邊緣檢測(cè)后的圖】”， midImage）;

//【7】顯示效果圖

imshow（“【效果圖】”， dstImage）;

waitKey（0）;

return 0;

}

運(yùn)行結(jié)果

圖30

淺提霍夫變換提取圓

我們可以使用這個(gè)相同的程序來(lái)檢測(cè)具有分析描述的其他特征。例如，在圓圈的情況下，參數(shù)方程為

其中a和b是圓心的坐標(biāo)并且是半徑。在這種情況下，算法的計(jì)算復(fù)雜度開(kāi)始增加，因?yàn)槲覀儸F(xiàn)在在參數(shù)空間和三維累加器中有三個(gè)坐標(biāo)。（通常，累加器陣列的計(jì)算和大小隨著參數(shù)數(shù)量的增加而多項(xiàng)式增加，因此，基本霍夫技術(shù)僅適用于簡(jiǎn)單曲線(xiàn)。）

步驟

它的算法步驟如下：

首先創(chuàng)建累加器空間，由每個(gè)像素單元格構(gòu)成。最初每個(gè)單元格都設(shè)置為0。

然后對(duì)于每個(gè)圖像中的邊緣點(diǎn)，按照?qǐng)A方程將那些可能是一個(gè)圓中心的單元格值進(jìn)行累加。這些單元格在等式中由字母a表示。

然后在前面的步驟中由每個(gè)可能找到的值a，區(qū)找到滿(mǎn)足等式的所有可能值b

搜索累加器空間中的局部最大值。這些單元格表示算法檢測(cè)到的圓圈。?? 如果我們不知道事先定位的圓的半徑，可以使用三維累加器空間來(lái)搜索具有任意半徑的圓。當(dāng)然，這在計(jì)算上更加昂貴。

該方法還可以檢測(cè)部分位于累加器空間外部的圓，只要該圓的區(qū)域內(nèi)仍有足夠的圓。

霍夫變換提取圓的一些實(shí)現(xiàn)鏈接

-matlab關(guān)于霍夫變換提取圓

Matlab圓提取(https://ww2.mathworks.cn/help/images/ref/imfindcircles.html)

-關(guān)于opencv的提取圓(給出了C++,C和Python)

Opencv官方文檔關(guān)于圓提取(https://docs.opencv.org/2.4/modules/imgproc/doc/feature_detection.html?highlight=HoughCircles)

- python實(shí)現(xiàn)提取圓

Python圓提取(https://scikit-image.org/docs/dev/api/skimage.transform.html)

淺提廣義霍夫變換

當(dāng)我們希望隔離的特征的形狀不具有描述其邊界的簡(jiǎn)單解析方程時(shí)，使用廣義Hough變換。在這種情況下，我們不使用曲線(xiàn)的參數(shù)方程，而是使用查找表來(lái)定義邊界位置和方向與霍夫參數(shù)之間的關(guān)系。（必須使用原型形狀在初步階段計(jì)算查找表值。）

例如，假設(shè)我們知道所需特征的形狀和方向。（見(jiàn)下圖）我們可以在特征中指定一個(gè)任意參考點(diǎn)，其中定義了特征的形狀（即r從邊界到這個(gè)參考點(diǎn)的法線(xiàn)的距離和角度ω。我們的查找表（即 R表）將由這些距離和方向?qū)M成，由邊界的方向ω索引

圖31

圖31:R表組件的描述。

霍夫變換空間現(xiàn)在是根據(jù)圖像中形狀的可能位置來(lái)定義的，即可能的范圍。換句話(huà)說(shuō)，轉(zhuǎn)換定義為：

（對(duì)于特定的已知方向,β值和來(lái)自于表值）。如果所需特征的方向未知，則該過(guò)程變得復(fù)雜，因?yàn)槲覀儽仨毻ㄟ^(guò)引入額外參數(shù)來(lái)擴(kuò)展累加器，以考慮方向。

基本霍夫變換的限制

霍夫變換只有在大量投票落入正確的分箱時(shí)才有效，因此可以在背景噪音中輕松檢測(cè)分箱。這意味著垃圾箱不能太小，否則有些選票會(huì)落入鄰近垃圾箱，從而降低主垃圾箱的可見(jiàn)度。

另外，當(dāng)參數(shù)數(shù)量很大時(shí)（也就是說(shuō)，當(dāng)我們使用通常超過(guò)三個(gè)參數(shù)的霍夫變換時(shí)），單個(gè)分箱中投的平均投票數(shù)非常低，而這些分箱對(duì)應(yīng)的實(shí)際數(shù)字在圖像中的投票數(shù)量并不一定比其鄰居多得多。復(fù)雜性以一定的速率增加，其中每個(gè)附加參數(shù)是圖像空間的大小和m是參數(shù)的數(shù)量。因此，必須非常小心地使用Hough變換來(lái)檢測(cè)線(xiàn)條或圓圈以外的任何其他內(nèi)容。

最后，霍夫變換的大部分效率取決于輸入數(shù)據(jù)的質(zhì)量：為了使霍夫變換高效，必須檢測(cè)邊緣。在噪聲圖像上使用Hough變換是一個(gè)非常棘手的問(wèn)題，一般而言，之前必須使用降噪階段。在圖像被斑點(diǎn)破壞的情況下（如雷達(dá)圖像中的情況），Radon變換有時(shí)更適合檢測(cè)線(xiàn)，因?yàn)樗ㄟ^(guò)求和來(lái)衰減噪聲。

結(jié)語(yǔ)

本博文主要描述基本經(jīng)典的霍夫變換，描述了霍夫變換如何提取直線(xiàn)及其原理，展示了部分例子和代碼實(shí)現(xiàn)，也擴(kuò)展了一部分霍夫變換的簡(jiǎn)單描述，希望能對(duì)看者有所借鑒。

編輯：jq