上一篇所介紹的卡拉比—丘流形(Calabi-Yau manifold),因擁有特殊的拓?fù)湫再|(zhì),成為解釋弦論中額外6維緊致空間的核心。然而,6維卡拉比—丘流形的拓?fù)湫螒B(tài)眾多,幾何結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜,難以直觀想象。 因此,一般而言,在以解釋物理圖像為重點(diǎn),無需細(xì)究“額外6維空間”的數(shù)學(xué)性質(zhì)時,我們使用緊致化中最簡單的6維環(huán)面,來代替復(fù)雜的卡拉比—丘流形。通俗地講,我們用比較簡單的環(huán)面來代替難以想象的復(fù)雜流形。 本篇文章,我們從經(jīng)典點(diǎn)粒子的運(yùn)動規(guī)律出發(fā),來看看弦理論中“弦”的游戲規(guī)則。
1 平坦環(huán)面
說到環(huán)面,我們經(jīng)常想到的是甜甜圈形狀,但是拓?fù)鋵W(xué)家們偏向于一種以更抽象的方式來描繪的環(huán)面。在圖1a中,我們將二維環(huán)面畫成一個長方形。
圖1:平坦(2維)環(huán)面形成過程,可以想象成將一個桶狀環(huán)面之首尾粘合起來,成“甜甜圈”,但有實(shí)質(zhì)性的不同。
圖a的方形中,“A”箭頭所對應(yīng)的兩條邊將會被粘合在一起,“B”箭頭所對應(yīng)的兩條邊也將會被粘合在一起。也就是說,如同科幻片中見到的那樣:當(dāng)你從長方形上方的A邊走出長方形時,你會在下方的A邊上出現(xiàn);當(dāng)你穿過長方形右邊的B時,你會在左方的B邊現(xiàn)身。
如此而形成的二維環(huán)面,被稱為抽象環(huán)面,或平坦環(huán)面(Flat Torus)[1],它的形狀不同于甜甜圈。事實(shí)上,如圖1所示:兩條A邊粘合后形成柱面,這第一步?jīng)]有任何問題。然而,第二步,當(dāng)我們將圖c柱面的兩端B 粘合起來后,我們不可能得到真正甜甜圈的形狀,即圖1d所示的那種平滑無皺褶的曲面。這里有一個深層的原因:抽象環(huán)面來自于一個平坦的長方形,本質(zhì)上是平坦的,(內(nèi)蘊(yùn))曲率為零,而通常所見的甜甜圈的內(nèi)蘊(yùn)曲率不為零。抽象環(huán)面與甜甜圈的內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)不一樣。
盡管抽象環(huán)面不能被平滑地嵌入三維空間中,卻很容易依靠想象來理解它的拓?fù)湫再|(zhì)。
最簡單的環(huán)面是1維的圓圈,圖1構(gòu)建的是二維環(huán)面,其方法可以推廣到更高的維度。例如,設(shè)想一個長方體,它有六個面:(A,A’)、(B,B’)、(C,C’),兩兩互相平行。想象將A和A’粘合在一起,B和B’、C和C’也粘合在一起,便構(gòu)成了一個3維的抽象環(huán)面。同樣的方法可以構(gòu)建任意n維的抽象環(huán)面。
2 弦在時空中的(經(jīng)典)運(yùn)動
卡拉比—丘流形或者抽象環(huán)面,作為6維緊致空間,加上我們熟悉的、大范圍尺度上展開了的4維時空,構(gòu)成弦論的10維時空,是“弦”活躍的舞臺。也就是說,弦論中有兩種舞臺:4維時空大舞臺(即我們身處的現(xiàn)實(shí)世界)和6維的小舞臺。從數(shù)學(xué)的角度說,弦論中的空間是4維時空與6維緊致空間的笛卡爾積。
除了舞臺和演員之外,還得有劇本,即游戲規(guī)則。對物理學(xué)而言,游戲規(guī)則又有量子及非量子(經(jīng)典)之分。
弦在空間的運(yùn)動規(guī)律可以從點(diǎn)粒子的運(yùn)動規(guī)律推廣而來。首先我們看看如何將經(jīng)典點(diǎn)粒子規(guī)則推廣到經(jīng)典弦。
牛頓力學(xué)中,點(diǎn)粒子的軌跡是3維空間中隨時間變化的一條線。相對論中,將粒子在4維時空中運(yùn)動的軌跡稱為“世界線”,見圖2a。弦論中,0維的點(diǎn)粒子被(更小的)1維的弦運(yùn)動代替了。弦在時空中運(yùn)動的軌跡則用軌跡面代替,稱之為“世界面”,如2b所示。更進(jìn)一步,如果運(yùn)動的實(shí)體是二維的(膜),時空中的運(yùn)動軌跡便叫做“世界體”,如圖2c所示。
圖2:粒子vs弦(或膜)
相對于無大小的點(diǎn)粒子數(shù)學(xué)模型而言,弦模型有許多優(yōu)越性,其中一點(diǎn)便是避開了點(diǎn)粒子的無窮大問題。
在經(jīng)典電子學(xué)中就存在無窮大的困難。經(jīng)典物理中,可以將電子當(dāng)作一個半徑r的小球,電子的質(zhì)量公式為m = e2/rc2。當(dāng)r趨近于0時,質(zhì)量成為無窮大。最后,經(jīng)典電子論通過引進(jìn)電子的有限半徑(非點(diǎn)粒子)免除了這一發(fā)散。在量子場論中,則需要使用重整化的方法消除無窮大,但引力場不能重整化,從而使它不能被包括到標(biāo)準(zhǔn)模型中。
然而,對弦論而言,重整化變得無關(guān)緊要,因?yàn)橄也皇屈c(diǎn),弦有尺寸大小,自然而然地去除了點(diǎn)粒子的發(fā)散問題。
3 量子的弦和相互作用
圖2中點(diǎn)粒子和弦運(yùn)動的類比,很容易推廣到其它情形,包括量子弦及相互作用的情形。也就是說,點(diǎn)粒子時的線,在弦論中則用帶狀曲面(開弦)或管道面(閉弦)來代替(圖2b所示)。
例如,圖2a中的世界線,是經(jīng)典粒子在4維時空中的軌跡。兩個固定點(diǎn)之間的經(jīng)典路徑只有一條,但如果考慮量子力學(xué),一個粒子從A到B的路徑有無窮多條,經(jīng)典路徑(藍(lán)色線)只是其中一條(見圖3a)。圖3b顯示的弦論中的情況也類似:除了藍(lán)色代表的經(jīng)典世界面之外,所有可能的世界面都對計(jì)算弦A到弦B的量子概率幅有貢獻(xiàn)。
圖3:路徑積分(量子化)
根據(jù)量子場論,時空中的粒子,總是在不斷地湮滅,又不斷地產(chǎn)生。產(chǎn)生和湮滅一類的相互作用現(xiàn)象用各級費(fèi)曼圖來進(jìn)行描述和計(jì)算,弦論也不例外,只是如上所述,相應(yīng)的線段需要用“面”來替代而已,見圖4。
圖4:弦論中弦與弦的相互作用和費(fèi)曼圖
從場論的角度,比較標(biāo)準(zhǔn)模型來說,弦論的另一個優(yōu)點(diǎn)是更為簡化。量子場論在數(shù)學(xué)上可以有無窮多種,因此可對應(yīng)于無窮多種粒子。比如說,對應(yīng)于標(biāo)準(zhǔn)模型的61種基本粒子,便有61種不同的量子場論。而在弦論中,只需要一種描述“弦”的量子場論就可以了,由此從概念上得以簡化。
4 膜-弦概念的擴(kuò)展
在圖2c中,我們已經(jīng)提及“膜”的概念,它最早來自于與弦論相關(guān)的超引力理論(supergravity theory)。如今的弦論中經(jīng)常談到的膜,有p膜和D膜。
稱為p膜(p-brane)的物理實(shí)體,是將點(diǎn)粒子的概念推廣至1維、2維以及更高維度而產(chǎn)生的。舉例來說,點(diǎn)粒子可以被視為0維的膜,而弦則可視為1維的膜,通常意義上的“膜”是2維的。此外,也可能存在更高維的膜。
p膜是動力學(xué)物體,在時空中行進(jìn)時,所根據(jù)的是量子力學(xué)的規(guī)則。它們帶有質(zhì)量與其他性質(zhì),例如電荷。一個p膜在時空中的行進(jìn),掃出了(p+1)維度的體積,稱之為世界體積(worldvolume)如圖2c所示。
另一類膜叫做D膜(d-brane),表示符合狄利克雷邊界條件(Dirichlet boundary condition)的膜。D膜是弦論中一類很重要的膜,與開弦在時空中的運(yùn)動有關(guān)。當(dāng)開弦在時空中行進(jìn)時,開弦的端點(diǎn)必須在D膜上。對D膜的研究導(dǎo)出了與對偶性有關(guān)的重要成果,下一篇的文章中會給以簡單介紹。
5 弦在緊致空間中運(yùn)動的特殊性
本文開始時曾經(jīng)提到過:弦論的空間分為伸展的大空間和卷曲的小空間。使用前面文章“電纜線上螞蟻”的比喻:我們看見的電纜線是1維大空間,而線上的螞蟻則能看見另一維卷曲的圓圈(小空間)。
弦論中的大時空是4維的,卷曲緊致的小空間是6維的。4維和6維都無法用平面圖像顯示出來,但是,為了方便解釋概念,我們將弦論的10維時空簡化為圖6a的長長圓柱體,看起來像是螞蟻眼中的2維電纜線。用沿著電纜線方向的那一維,代表4維大時空;用電線的截面圓圈,代表6維小空間。使用如此比喻的話,10維時空中的開弦閉弦,就是電纜線上的小螞蟻了。
也就是說,圖6中無限延伸的x方向代表我們熟知的4維時空,y方向卷曲的小圓代表6個額外小維度。這個6維空間可以是卡拉比-丘流形,也可以簡單地理解成本篇所說的6維抽象環(huán)面。對6維環(huán)面而言,圖中的R就不是1個數(shù)值而應(yīng)該被理解為代表6個數(shù)值了。
圖6:弦論空間和“繞數(shù)”的示意圖
從點(diǎn)粒子到弦論,并非所有物理量都有相應(yīng)的類比物,弦的特殊性會產(chǎn)生某些點(diǎn)粒子模型中沒有的性質(zhì),我們舉閉弦在緊致空間中的“繞數(shù)”[2]為例,它就是4維時空的標(biāo)準(zhǔn)模型中沒有的物理量。
如圖6所示,10維時空分成一大一小,其中弦的運(yùn)動也可以從這兩個方面的運(yùn)動來討論。也就是說:弦,除了在大的4維時空中運(yùn)動外,還能繞著緊致空間運(yùn)動。閉弦的這種運(yùn)動尤其特殊,因?yàn)殚]弦可能有一種特別的狀態(tài),就是繞在某一個(或多個)緊致的維度上,可以繞上1圈、2圈或者很多(N)圈,見圖6b。于是,閉弦便多了一種量子態(tài),用一個新的量子數(shù)表征這個量子態(tài),叫做“繞數(shù)”(winding number)。
開弦沒有繞數(shù)的概念,因?yàn)殚_弦在拓?fù)渖系刃в谝粋€點(diǎn),“繞”不起來。
當(dāng)纏繞在緊致維度上的閉弦發(fā)生相互作用時,總繞數(shù)是一個守恒量。
圖6b上方的圖,舉出了繞數(shù)w=0、+2、+1、-1的例子,下方一圖表示了一個閉弦的變化(等效)過程(從左到右),可用以簡單地說明繞數(shù)守恒:開始時,閉弦只是放在圓柱上,沒有繞圈,因此w=0。閉弦上的點(diǎn)A和B接近后相互作用,成為w=1和 w=-1的兩個閉弦,但繞數(shù)的總和仍然為0。
怎么樣,你是否理解了點(diǎn)粒子與弦玩法上的不同呢?很好理解是不是?
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原文標(biāo)題:“弦”在多維空間中如何運(yùn)動?
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