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解析過沖與相位裕量

NR8O_村田中 ? 來源:富為電子有限公司 ? 作者:富為電子有限公司 ? 2021-10-25 11:32 ? 次閱讀

負反饋因其可以穩定增益、減小失真、擴展帶寬、變換阻抗等功能而在電子、控制等諸多領域發揮著重大作用。小至一顆電源芯片,大至一輛汽車,都在負反饋技術的幫助下使我們的生活變得更豐富。然而,負反饋的使用也是有代價的,即可能會導致系統不穩定。

為了了解系統的穩定性情況,最直接、精確的方式就是測量系統的相位裕量(Phase Margin/ PM),我們通常會使用環路分析儀進行測試。

小編今天向大家介紹另一種方法,即通過測量過沖情況(OS)得到系統的相位裕量。

電路的二階系統化

一些常見的反饋電路,通常都是二階系統,我們以運放容性帶載為例來討論:

7ae607a2-3275-11ec-82a8-dac502259ad0.png

*運放的容性負載 *典型通用運放的開環增益曲線

一個典型通用運放的開環增益曲線如上圖所示。它一般擁有一個低頻的主極點,如100Hz,高頻極點通常會被設計為遠高于穿越頻率,所以常規的運放電路是穩定的。

當運放存在容性負載的時候,開環輸出電抗(Zo)與輸出電容(Co)形成的極點會處在反饋環路內,當極點頻率靠近或小于穿越頻率,則會使得系統的相位裕度明顯降低,導致不穩定的情況發生。

所以,一個運放帶容性負載的放大電路,其傳遞函數可以表示為:

7b13e2a8-3275-11ec-82a8-dac502259ad0.png

其中,K為運放的DC開環增益,β是反饋系數(作為跟隨器時,β=1,100倍放大時,β=0.01)。

1/τa是運放的低頻主極點的角頻率,1/τb是Zo和Co產生寄生極點的角頻率。可見,τa》》 τb。

上式可被轉換為標準的二階系統

7b24ad0e-3275-11ec-82a8-dac502259ad0.png

由于K為運放的DC開環增益,所以Kβ》》1

7b4c03a4-3275-11ec-82a8-dac502259ad0.png

其中,ωn為電路的自然頻率,ξ為阻尼系數,且

7b5d972c-3275-11ec-82a8-dac502259ad0.png

時域過沖與阻尼系數的關系

我們知道,系統處于欠阻尼狀態,即0《ξ《1,才會存在過沖的情況。

對一個標準的二階系統來說,

7b4c03a4-3275-11ec-82a8-dac502259ad0.png

可以求得其單位階躍響應函數為:

7b9b2cc2-3275-11ec-82a8-dac502259ad0.png

求得階躍響應第一個峰值對應的時間為:

7bca4750-3275-11ec-82a8-dac502259ad0.png

所以過沖為

7bf0b188-3275-11ec-82a8-dac502259ad0.png

因此我們可以繪制如下過沖與阻尼系數的曲線

7c015556-3275-11ec-82a8-dac502259ad0.png

*過沖與阻尼系數的關系

過沖可以經由在輸入端給予一個小的階躍信號,并測量輸出端得到。如下圖是在ξ=0.35的系統中在1ms時使用100mV階躍輸入所測得的過沖情況,過沖為31%。

7c2412ee-3275-11ec-82a8-dac502259ad0.png

相位裕量與阻尼系數的關系

我們接下去分析阻尼系數與相位裕量(Phase Margin)的關系

系統的環路增益為:

7c382b58-3275-11ec-82a8-dac502259ad0.png

為了求得系統穿越頻率ωc ,可令|A(s)β|=1

求得

7c4d61e4-3275-11ec-82a8-dac502259ad0.png

所以相位裕度

7c9976ce-3275-11ec-82a8-dac502259ad0.png

具此我們可以繪制如下相位裕量與阻尼系數的曲線

7ccea380-3275-11ec-82a8-dac502259ad0.png

*相位裕量與阻尼系數的關系

相位裕量與過沖的關系

由此,我們借由阻尼系數,得到相位裕量與過沖的關系,繪制曲線如下

7d072dd6-3275-11ec-82a8-dac502259ad0.png

*相位裕量與過沖的關系

由上圖可知,當相位裕量大于70?以上時已經幾乎沒有過沖

相位裕量60? 時, OS(60?)≈8.8%

相位裕量45? 時, OS(45?) ≈23.4%

我們的討論是基于二階系統的,所以如果實際的電路并非二階系統,那么相位裕量與過沖的關系將并不嚴格遵循上述推論。但幸運的是,現實中的大部分電路都近似于二階系統,所以通過觀察過沖情況(OS)來判斷系統穩定性的方法,對于有時候的系統調試(特別是,對于差分放大器或者SOC等并沒有提供反饋引腳而無法采用環路分析儀的場合),或者定性分析,都是大有裨益的。

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編輯:jq

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原文標題:過沖與相位裕量

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