1引入磁環復數磁導率概念的原因

理想的電感其感值是與信號頻率無關的常量，而繞在磁環上線圈電感的感值是隨著信號頻率増減 而變化的。

造成磁環線圈的感值隨信號頻率增減而變化的原因有兩個：一是磁環內部的磁滯、渦流等損耗隨 著頻率升高逐步增加，二是線圈和引線的直流電阻、線圈間的電容等分布參數。與磁環線圈分布參數 相比，磁環損耗對其感值影響更大。將磁環損耗等效成并聯在線圈兩端的電阻，則此電阻是頻率的函 數。因此實際的磁環線圈并不是單純的電感，而是由電感、電阻、電容等元件串聯、并聯組成的比較 復雜元件。而且其中有元件的大小還隨信號頻率增減而變化。因而很難對磁環線圈建立一個便于分析、 容易計算的模型。

在電子技術領域中，有些由復雜分布參數組成的電路、器件很難計算出其電特性，但可以通過實 驗的方法用相應的電子儀器檢測出來oLCR測量儀或阻抗分析儀就能夠直接檢測出磁環線圈的電參數。

LCR測量儀或阻抗分析儀是檢測電感、電容、電阻等元件的儀器。在檢測磁環線圈時，LCR測量 儀不管被測的磁環線圈是多么復雜的元件，把它當作一個呈感性的元件進行測量。LCR測量儀內部的 信號源向待測磁環線圈施加一個幅度、頻率可選定的正弦波電壓，并用內部的數字電流表、數字電壓 表、數字相位角表分別測出流過磁環線圈的電流I、兩端的電壓V和電壓相對電流的相位角0。

有了測得的I、V、0三個數據就可以通過測量儀內部的微機計算出待測磁環線圈相關的等效參數。 分析、計算正弦（或余弦）交流電路時，一般都采用便于計算的以復數運算為基礎的符號法。LCR 測量儀或阻抗分析儀內部的計算程序也是用符號法編寫的。在符號法中，一些物理量是用復數表示的。 例如復阻抗、復導納、復功率等。

引入磁環復數磁導率概念的基本思路是：認為磁環線圈偏離理想電感全都是由磁環的相對磁導率 隨信號頻率變化引起的。將磁環的相對磁導率寫成復數形式，并且推導岀其實數、虛數與LCR測量儀 或阻抗分析儀檢測磁環線圈電感時獲得參數之間的關系式，從而能間接的用LCR測量儀或阻抗分析儀 測出磁環的相對磁導率。這樣磁環生產廠家可向其用戶提供對設計磁環線圈更有參考價值的相對磁導 率對頻率的關系曲線。

2磁環線圈是一個復雜的元件

圖1是LCR測量儀或阻抗分析儀對磁環線圈的阻抗（或導納）的檢測電路。圖中的A為數字電流表、

V為數字電壓、Vs為內阻為100Q正弦波信號源。LCR測量儀信號源Vs的頻率改變是跳躍式的，而 阻抗分析儀信號源Vs的頻率改變連續掃描式的。電壓相對電流相位角。檢測電路在圖中未畫出。

圖1電橋或阻抗測量儀對磁環線圈的阻抗或導納的檢測的電路

將磁環線圈等效成由電阻Rs與電感Ls組成串聯電路的復阻抗Z的表達式為：

Z=Rs+jo）xLs （1）

圖2是利用符號法畫出的磁環線圈串聯模型中等效復阻抗Z、等效電阻Rs、等效電感Ls的相量圖。 利用測得I、V、0三個數據推導出的磁環線圈串聯模型的等效復阻抗Z的模量IZI、等效串聯電阻Rs、 等效串聯電感Ls、等效串聯模型中的Qs值如下：

IZI=V/1 （2）

Rs=IZ|xcos（0） （3）

Ls=IZ|xSin（9）/a） （4）

Q s=co x Ls/Rs=tan（0） （5）

將磁環線圈等效成由電阻Rp與電感Lp組成的并聯電路復導納Y的表達式為：

Y=l/Rp-j/（coxLp） （6）

圖3是利用符號法畫出的磁環線圈并聯模型中等效復導納Y、等效電阻Rp、等效電感Lp的相圖。

利用測得1、V、。三個數據推導出的磁環線圈并聯模型的等效復導納Y的模量IYI、等效并聯電阻 Rp、等效并聯電感Lp、等效并聯模型中的Qp值如下：

IYI=W （7）

Rp=l/［lYlxcos（O）］ （8）

Lp=l/［lYlxSin（9）xco］ （9）

Qp=Rp/（coxLp） = l/tan（0） （10）

LCR測量儀或阻抗分析儀可同時在其液晶屏上顯示待測磁環線圈的兩個參數。檢測者可從多個組 合參數中選擇所需要的組合參數。可供選擇的組合參數有：億1.0， Ls-Rs， Ls-Qs， IYI-0， Lp.Rp， Lp.Qp。

3磁環相對磁導率與LCR測量儀或阻抗分析儀測到磁環線圈參數之間的關系式

從電磁學知道，磁環線圈的電感L表達式為：

式（11）中的卩是磁環內部的磁導率，心是真空的磁導率，囚是相對磁導率，S是磁環的橫截面積， N是線圈的匝數、/是磁路的平均長度。

以Lo表示去掉磁環后空心線圈的電感，則得到：

對于給定線圈匝數和幾何形狀的空心線圈來說，Lo是一個與頻率無關的常數。將式（12）中的Lo代 入到式（11），則磁環線圈電感L的表達式可簡化為：

在符號法中，復阻抗Z和復導納Y與電感L的關系式為：

將式（13）中磁環線圈的L表達式代入到式（14）、式（15）中得Z、Y與相對磁導率的關系式：

式（16）中的人表示串聯模型的相對磁導率，式（17）中的卩p表示并聯模型的相對磁導率。

用選定頻率對給定匝數和幾何形狀的磁環線圈進行檢測時，式（16）和式（17）的co、Lo都是常數，而 Z、Y都是含實部和虛部的復數，因而兩式中的相對磁導率人、Up也應為復數。將串聯模型復磁導率丄 寫成：

將式（18）代入到式（16）中，可得到P‘s、”，與磁環線圈串聯模型參數間的關系式：

式（14）和式（19）中的實數分和虛數部應相等，即：

將并聯模型復磁導率與寫成：

將式（23）代入到式（17）中，可得到卩；、卩〃p并聯模型相對復磁導率與磁環線圈并聯模型中參數間的關系 式：

式（19）和式（24）中的實數部分和虛數部分應相等，即：

4復數磁導率和歸一化阻抗（單位電感的阻抗）對頻率的關系曲線

網絡變壓器是由單個或多個磁環線圈組成的器件。挑選磁環是網絡變壓器設計者重要任務之一。

在挑選磁環時，既要求它在低頻區具有較大的相對磁導率，也要求其相對磁導率在高頻區下降的趨勢 比較緩慢。因而磁環用戶希望生產廠家在其產品說明書中提供更多有關磁環頻率特性的資料。

為滿足客戶的要求，近來有些磁環生產廠家巳開始在其產品說明書中給出了磁環復數相對磁導率 ，和歸一化阻抗Z對頻率f的關系曲線。

雖然有串聯模型相對復磁導率和并聯模型相對復磁導率的表達式。但用得比較多 的還是串聯模型相對復磁導率。

圖4是MMG-North America公司在其產品介紹中給出的鏈鋅FT6型材料的串聯模型相對復數磁導 率，對頻率f的關系曲線，圖5是該公司給出的鏈鋅FT6型材料的歸一化阻抗Z（Q）對頻率f的

圖6是MMG-North America公司在其產品介紹中給出的鐐鋅F52型材料的串聯模型相對復數磁導 率。對頻率f的關系曲線，圖6是該公司給出的鐐鋅F52型材料的歸一化阻抗Z（Q）對頻率f的 關系曲線。

將錳鋅FT6型材料和鎳鋅F52型材料的Us，作任一對比可以看到：在低頻區FT6的Us遠高于F52的Us。 但隨著工作頻率的升高FT6的Us從300kHz時開始跌落，在2MHz時，其Us從6000己跌至420。

在低頻區F52的Us只有880，工作頻率升高到1.2 MHz時開始跌落，在仁10MHz時，從880跌至 220。

F52的Us開始跌落頻率遠高于FT6，而且隨著工作頻率的升高FT6的Us、跌落速度也比F52的跌落 速度快。可預見在更高的頻區F52的Ks可能會反超FT6的

在10.300kHz低頻區，FT6的Z（C）隨f升高線性增加，在f 》300kH頻區增速變緩，當f=4MHz 時達到峰值。在f》4MHz的高頻區FT6的Z（。）隨f升高逐步下降。

F52的Z隨f升高的變化趨勢與F52的大體上相似，但其峰值在f=300MHz的高頻處才出現。 F52的Z（Q）的峰值頻率遠大于FT6的Z（Q）的峰值頻率。

以上磁環的相對復數磁導率和歸一化阻抗對頻率的關系曲線可作為網絡變壓器設計的重要依據。 估計在不久的將來，阻抗分析儀會增加一項檢測磁環相對磁導率的功能。因為只需要在阻抗分析儀內部的微型計算機中，再增加三個計算相對磁導率的實數部分、虛數部分和阻抗模量的程序就可以 了。到時磁環生產廠家會在產品介紹書中給出更完整的復數磁導率對頻率f的關系曲線。