凝聚態物理中，有一些最基本的參量，其效用是普適的，并規范著一些最基本的物理性質。相信讀者均認可，體系的時空維度，即為此中一元 (本文只限于空間維度)。

凝聚態系統中，維度是理解其物理的基本要素，從而被給予格外關注。物理人都將納米科學的起源，與費曼于 1959 年在 APS 會議上所作的《底層的豐富》演說聯系起來。我們猜，那時候費曼的心目中，“底層”應該就是低維，而不會只是指普通意義上的納米顆粒或準零維體系。現在，我們早就耳熟能詳凝聚態系統中維度的作用。

Ising 非此道中人，主要從書本中零存整取對維度的感受，如圖 1 所示。對材料科學，也能隨手舉幾個曾經聽說過、或膚淺參與過的具體例子，與維度有一些內在的聯系 (不追求準確，但追求“醒目”)：

(1) 晶粒長大：材料中晶粒長大或疇長大是普遍現象，但其物理未必簡單。以各向同性體系中晶界能驅動的晶粒長大為例，其長大動力學就與維度密切相關。材料教科書很早就寫明，1960 年代，Lifshitz、Slyozov 和 Wagner 三位學者在前人研究基礎上，提出了那著名的、以其名字命名的晶粒長大 LSW 動力學理論：在等溫條件下的晶粒長大后期，晶粒平均尺寸 R 與時間 t 之間滿足 1/d 冪指數定律，這里 d 乃空間維度。也就是說，塊體材料晶粒長大滿足 1/3 冪律，準二維薄膜晶粒長大滿足 1/2 冪律，雖然真正的一維線晶粒長大動力學還是一個問題。

因為實驗體系摻雜了各種因素，這一規律的驗證曾經很有曲折，引發過 1990 年代歐美物理學家和材料學家對此冪律的質疑。質疑之火前后延續十多年，最后還是被大規模計算模擬和精細實驗驗證所澆滅：1/d 冪律才是正確的。小編以為這是材料科學史上維度勝出的一段佳話。

(2) 磁性：磁學中維度的意義更被彰顯，并屢屢影響其發展進程。雖然磁學更多具有量子本質，但不妨礙對經典磁學的維度討論。從 Ising 模型開始，一維模型不存在有限溫度的相變，到二維模型那著名的嚴格解，再到三維模型嚴格解依然是世紀難題，都是磁學和統計物理學知名的歷史故事。然而，實際晶體中，給一維和二維磁體定義 Ising 自旋，未必合理，因為那各向異性無窮大的兩重態缺乏微觀物理來源：一個單層的磁性原子層，靠什么能夠約束其自旋只能上下兩重態？自旋軌道耦合好像不夠。因此，嚴格滿足二維 Ising 模型的體系不大可能存在。

另外一個極端，就是各向同性的海森堡二維自旋體系，成就了那個著名的 Mermin – Wagner (MW) 定理：各向同性的海森堡磁性二維體系沒有長程序。這一定理讓多少物理人意興闌珊、收兵回朝，不再深入探討二維磁性問題，直到近來被接近真實的二維磁體具有長程序的實驗所驚詫。今天的二維磁性正方興未艾，當然并非 MW 定理的錯，而是因為真實的二維磁體未必就是單純一層磁性原子排列而成。那些二維材料，其晶格單元依然存在面外結構，第三維特征依然存在，依然可以施加磁晶各向異性。再加上目前的實驗樣品在 xy 平面的尺度有限，邊緣效應也可能導致磁性異常。Ising 不懂二維磁性，只是借助道聽途說而了解了一些磁性維度效應的復雜性。

(3) 鐵電：鐵電物理中維度效應也很重要，導致鐵電體維度的研究比磁性材料人去關注維度的歷史還要久遠。從退極化這一簡單圖像去預言鐵電尺寸效應，言之灼灼、語之戳戳，都是 1990 年代之前的事情了。一些成果還被明明白白寫在諸如鐘維烈老師的《鐵電物理學》著作中。鐵電體的維度效應，一直是鐵電物理的前沿，也與現代集成鐵電技術發展密切相關。不過，過去幾十年，鐵電物理人將這個尺寸和維度極限不斷地推向底層，包括納米線、單個晶胞厚度的薄膜、撕扯出來的 vdW 二維材料。也不知道是該高興還是該失望，這個鐵電尺寸效應并不明顯，更不要說預言的鐵電維度極限正在不斷被壓縮。這些結果，將經典教科書中鐵電尺寸效應的那幾頁物理戳得千瘡百孔，也可見鐵電維度效應的復雜性。

圖 2. 拓撲量子材料中維度的對應關系 (無需詳細解讀)。

上圖來自：S. Y. Yang et al, Symmetrydemanded topological nodal line materials, Adv. Phys. X3, 1414631 (2018), https://doi.org/10.1080/23746149.2017.1414631

下圖來自：https://www.ntt-review.jp/archive/ntttechnical.php?contents=ntr201707fa6.html

這些具有歷史韻味的實例告訴我們，維度可以影響介觀微結構、影響對稱性、影響相變，OK，及至影響一切。但這些例子也告訴我們一些簡單的事實：理論預言的、理想化約束條件下的維度物理，在實際材料中未必滿足。個中差池，就給了低維物理突出重圍、產生新效應和新應用的機會，體現了現實總是在理想化的極端之間取道“中庸”的事實。也許物理本來就是如此，只是需要我們去“知其然并知其所以然”，以此發現和利用之、并企圖造福人類。

這種認識的后果，就是今天物理人對低維凝聚態和低維量子材料的廣泛研究，包括那些熱點實例，如碳 60、碳納米管、石墨烯，如 vdW 二維材料、魔角二維材料，如界面二維電子氣、量子阱等。其中，對當下的拓撲量子材料，維度顯得更為別致和新奇，如圖 2 所示。不知道小編 的如下理解是不是算胡謅：

(1) 非磁性拓撲絕緣體，因為費米面附近的拓撲非平庸能帶結構，存在體 - 面對應性，即三維絕緣體態對應二維表面金屬態。

(2) 磁性拓撲絕緣體，因為費米面附近的拓撲非平庸能帶結構和磁性，存在體 - 邊對應性，即三維絕緣體對應二維表面能隙和一維自旋極化的邊緣金屬態。

(3) Weyl 半金屬，也因為費米面附近的拓撲非平庸能帶結構，存在三維半金屬態、二維表面費米弧和零維的“磁單極點”。

所以，我們看到了，拓撲量子材料中那些維度的表象顯得更加突出，因為動不動就是整數維度的量子材料新效應，如三維絕緣體、二維金屬、二維費米弧、一維金屬、零維 Weyl 點 (磁單極子)。好吧，物理人說還遠不止于此，當下那些 cutting – edge 問題包括費米面附近出現的那些零維的節點 (nodal point)、一維的節線 (nodal line)、二維的節面 (nodalsurface)。

維度，在這里就是一張無形而有實的大手，“掌控”著量子材料、拓撲量子材料。

有意思的是，這些拓撲量子材料的低維性質，似乎絕大多數附屬于三維體態。諸如碳納米管和石墨烯這樣“真正的”、“獨立自主的”一維和二維拓撲量子材料并不多見，至少如石墨烯這般知名的低維拓撲材料不多。不過，過去一些年，二維材料不斷發展，二維量子材料家族也很興旺。如此，必然催動物理人走向更底層：那，有沒有真實的、獨立自主的一維量子材料？甚至是一維拓撲量子材料？

挺好的問題！要說凝聚態物理和量子材料中有什么重要的問題無人問津，那倒極為困難。通過各種微納制備技術，已經獲得的一維、準一維量子材料很多，研究歷史也不短。例如，在固體表面生長一些納米線總是可以的，或者通過其它技術手段“制造”出一維、準一維結構，也不是難題。過去這些年，利用有機材料獨特的分子結構設計和合成技術，制備一維有機量子材料的機會要大一些，包括電荷密度波、Peierls 相變、孤波、自旋 - 電荷分離以及那個著名的 Su – Schrieffer – Heeger(SSH) 理論預言的能帶拓撲態等，也多有見諸報道。

但是，到目前為止，一維無機多元復雜化合物量子材料，包括一維無機拓撲材料的“制造”，大概不容易。若要說容易，那必然是新穎別致和值得推崇的！

圖 3. 柳仲楷和陳宇林老師他們關注的體系：NbSixTe2(x?=?0.33 to 0.5) 或Nb2n+1SinTe4n+2 (n?=?1,2,…, ∞)：結構、樣品表面一維鏈的實物形貌及能帶中清晰的Dirac nodal line。

最近，上海科技大學的柳仲楷和陳宇林老師他們，聯合南京大學、新加坡科技設計大學、勞倫斯伯克利實驗室和清華大學的同行們合作，就在一維拓撲量子材料問題上邁出了一“小”步。這里的“小”，是走向底層的“小”。他們將一些結果整理后，發表在《npj QM》上，讓小編有機會學習和領會他們的工作，并寫幾句粗淺的學習心得。

陳宇林和柳仲楷老師他們都是 ARPES 的行家，一定是做夢都想利用這一有力工具去探測那些一維量子材料能帶結構和拓撲量子新效應。不過，ARPES 的探測技術原理注定了樣品不能是一根孤零零的一維鏈，必須是足夠多的、且有序地排列的一維鏈集合體！這種情形很像中子散射實驗。針對單一的二維或一維材料的中子散射，到今天依然是巨大挑戰：樣品要有足夠的體量！

問題是，這樣的機會太小了。問題更是，這樣的機會他們有意地“碰”上了！

最近一些年，已經有量子材料人關注那些組成可調控的無機化合物，如 NbSixTe2 (x?=?0.33 to 0.5) 或 Nb2n+1SinTe4n+2(n?=?1, 2,…, ∞)，它們在結構上天然就能形成有序排列的準一維 NbTe2 鏈。通過調控組分 x或 n，這一有序排列的鏈狀結構間距可以變化，從而有可能獲得從一維到二維連續可調的量子材料體系。

更因為，這種一維鏈狀結構可以整齊劃一地定向有序排列，堆砌于整個三維晶體中，給 ARPES 探測這些一維鏈提供了現實的可行性。而且，如上所述，調節組分 x，讓這些一維鏈相互靠近，實現從一維走向二維、甚至三維鏈束的過渡成為可能。

陳老師和柳老師他們團隊，似乎就這樣“輕而易舉”地搞定了研究對象。接下來，這些一維鏈就是他們的“刀下魚肉”，聽憑其“宰割”了。

這篇文章主要展示了如此精巧的準一維結構 (metallic NbTe2 chains) 的電子結構特征，特別是其非平庸拓撲特性。得到的主要結論是：能帶費米面附近的狄拉克半金屬態，乃是具有節線的狄拉克態 (Dirac nodal line structure)，受晶體與時間反演對稱保護。這樣一個節線狄拉克半金屬體系，通過適當結構調控和磁性摻雜，有可能得到 Weyl 半金屬及新穎的拓撲邊緣態。通過增加 NbTe2 一維鏈的密度 (減小其間距)，ARPES 也清楚展示了能帶結構及其拓撲特征從一維向二維的轉變，如圖 4 所示。整個文章的故事新穎、物理圖像清晰明了。

拓撲量子物理的關注點，主要是動量空間中能帶結構的維度花樣。本文所展示的拓撲量子維度效應，關注點則正走向實空間的維度花樣。這是量子材料人科研生命中必然的元素及張力，也給了凝聚態物理以更豐富的維度與形態。雖然這些花樣能不能最終走向為人所用尚未有答案，但可控制造實空間可組裝的不同維度體系、并賦予其拓撲量子功能，是引領性的一步。阿門！

當然，柳、陳團隊針對的一維 NbTe2 一維鏈，卻還是依附于 Nb2n+1SinTe4n+2 晶體內部的，距離“真正的”、“獨立自主的”一維體系，還是差那么一點！

圖 4. 隨著 x 或者 n的變化，Nb2n+1SinTe4n+2體系從1D走向2D的過程，對應的拓撲量子態也發生演化。

審核編輯 ：李倩