快速傅里葉變換 (Fast Fourier Transform，FFT), 即利用計算機計算離散傅里葉變換（DFT)的高效、快速計算方法的統稱，簡稱FFT。DFT是實現了從頻域（頻域分析往往比時域分析更優越）對信號與系統進行分析。然而，隨著序列長度的增加，計算量也顯著增加，對于計算機而言，處理時間就越長，消耗的資源也就越多。

忘了什么是傅里葉變換的同學，趕緊拿出《信號與系統》翻一下。實在沒書，找度娘。對于連續時間信號f(t)，定義式如下：

傅里葉變換：

傅里葉逆變換：

信號處理領域大名鼎鼎的傅里葉變換，正式由傅里葉提出的，不得不說，實在太偉大了，頂禮膜拜。

在信號處理中，由于計算機通常只能處理數字信號，因此通過對連續信號進行采樣離散化，進而有了離散傅里葉變換。

話不多說，直入主題，首先把DFT公式搬出來：

原信號x(t)的采樣信號x[n]也可以用X[K]來表示：

1965年，庫利和圖基提出了快速傅里葉變換(FFT)算法，采用這種算法能使計算機計算DFT所需要的乘法次數大為減少，特別是被變換的抽樣點數N越多，FFT算法計算量的節省就越顯著。

常用計算方法：

時間抽取算法：令序列的長度為N（2的冪），可以將時域序列x(n)分解為兩部分，一是偶數部分x(2n)，另一部分是計數部分x(2n+1)，于是信號序列x(n)的離散傅里葉變換可以用兩個N/2抽樣點的離散傅里葉變換來辨識核計算。

頻率抽取算法：按照頻率吧抽取的FFT算法是將頻域信號序列X(k)分解為奇偶兩部分，但算法仍然是由時域信號序列開始逐級計算，同樣把N點分成N/2點計算FFT。

02

FFT原理

FFT是DFT的快速算法，可以將一個信號從時域變換到頻域。很多時候信號在時域很難進行信號特征分析，變換到頻域后，就很容易看出信號的頻率、功率、相位等特征信息。更多詳細的解釋，可移步看這里深入淺出的講解傅里葉變換（真正的通俗易懂）或者在CSDN中閱讀深入淺出解釋FFT系列（非公眾號文章，超鏈接失敗，抱歉，可去CSDN看原文博客），講得比較清楚透徹，不愧是10年碼齡的巨佬。在這里我就不再贅述了。

03

FFT IP Core使用

概述

以Xilinx Vivado設計套件中提供的FFT IP為例，簡要說明如何進行FFT IP配置和設計。

FFT Core用于計算N點的DFT或IDFT，N=2m，m=3~16。對于計算FFT，有三種算術選項用于計算FFT：

全精度無縮放算法

定點縮放，提供縮放表

塊浮點（運行時調整縮放）

對于N點大小，可對正向/逆向變換、縮放表循環前綴進行配置。

提供四種可選架構：

Pipelined Streaming I/O

Radix-4 Burst I/O

Radix-2 Burst I/O

Radix-2 Lite Burst I/O

端口描述

FFT IP Core的端口如圖1所示，對端口的描述，參考產品指南PG-109-XFFT.pdf。

圖1 FFT端口

FFT IP配置

舉個栗子：單通道，512點，Radix-2,Burst I/O，定點數，縮放，取整模式Truncation，輸入數據位寬16bit，相位因子位寬16，自然序輸出，無循環前綴。

在Vivado中創建工程后，在工程管理器下的IP Catalog中選擇并配置FFT IP，在IP配置向導的指引下，依次進行相關參數的配置，如圖2所示。配置通道數，變換長度，實現架構，數據格式，縮放，取整模式，數據呼出順序，是否插入循環前綴（CP）等。

圖2 FFT IP配置

在向導視圖左側，可查看IP端口框圖，實現詳情以及時延信息，如圖3所示。這里需要注意輸入輸出數據的格式以及配置通道數據的格式。

圖3 查看IP實現信息

配置完成后，輸出生成定制FFT IP，最后再將其實例化到工程模塊中。

AXI-Stream注意事項

該IP的端口采用了標準的AXI-Stream協議，數據傳輸基本握手，如圖4所示。

圖4 AXI-Stream信道數據傳輸

AXI信道規則

所有的TDATA和TUSER字段被打包成小端格式，也就是一個子字段的第0位與TDATA或TUSER的第0位對齊。

字段不包括在TDATA或TUSER中，除非以這種方式配置了核它需要字段出現。例如，如果核心配置為有一個固定的點大小，沒有位分配給指定點大小的NFFT字段。

所有的TDATA和TUSER矢量都是8bit的整數倍。

配置通道

配置通道端口信號如表1所示。

表1 配置通道端口信號

名稱	寬度	方向	描述
s_axis_config_tdata	可變	I	承載配置信息：CP_LEN，FWD/INV,NFFT和SCALE_SCH
s_axis_config_tvalid	1	I	由外部主機輸入，指示當前數據可用
s_axis_config_tready	1	I	由從機輸入，指示從機可接收數據

配置通道（s_axis_config）接口是AXI通道，TDATA字段接口定義如下表2所示，所有需要paded的字段如果未達到8bit邊界，則需要擴展到8bit邊界。擴展的bit可以未任意值，設計為常量值可節省器件資源。

表2TDATA字段接口定義

字段名稱	寬度	Padded	描述
NFFT	5	yes	轉換點數：NFFT為最大轉換點數或者更小點數。例如，一個1024點FFT可以計算1024點，512點，256點等。該值為log2(point_size)
CP_LEN	Log2(最大point_size)	no	循環前綴長度：CP_LEN可以是0到（point_size-1）的任意值，該值僅在循環前綴插入有效
FWD_INV	1	no	FWD_INV=1，表示FFT運算； FWD_INV=0，表示IFFT運算。在多通道中，bit0(LSB)表示通道0配置，bit1表示通道1配置，以此類推。
SCALE_SCH	流水線I/O和Radix-4 I/O架構：2×ceil(NFFT/2) Radix-2突發 I/O和Radix-2Lite I/O架構：2×NFFT	no	縮放方案： （1）對于突發I/O架構，每級縮放因子由2bit定義，縮放因子可以為3，2，1，0，代表右移bit數。例如，對于N=1024點，Radix-4突發I/O的縮放因子為[1 0 2 3 2],對于N=128點，Radix-2突發I/O或者Radix-2 Lite突發I/O架構，可能的縮放方案[1 1 1 1 0 1 2] （2）對于流水I/O架構，縮放因子由每對Radix-2運算級定義，也是采樣2bit位寬。例如，NFFT=256，可能的縮放因子為[2 2 2 3]，當N不是4的冪次時，最后一級最大bit為1bit。例如，N-512，可能的縮放方案[0 2 2 2 ]或者[1 2 2 2]，但是[2 2 2 2 ]是非法的，因為此時縮放因子的MSB位只能是00或01.

TDATA數據格式如圖5所示。

圖5 config_tdata數據據格式

其中，NFFT設置情況，如表3所示。需要注意的是，如果選項runtime configurable transform length被選后，變換點大小才可以在配置通道的NFFT字段進行設置。

表3NFFT設置

NFFT[4:0]	Transform size(N)
00011	8
00100	16
00101	32
00110	64
00111	128
01000	256
01001	512
01010	1024
01011	2048
01100	4096
01101	8192
01110	16384
01111	32768
10000	65536

正反變換及縮放

FWD_INV=1時，正向變換；FWD_INV=0時，逆向變換。

對于FFT/IFFT各級縮放，在不同的實現架構中，縮放因子的設置有所不同。可參考表2 或者產品指南：PG109-xfft.pdf文檔ch.4操作理論的Run Time Transform Configuration部分。

循環前綴（CP）

將輸出結果的尾部復制到頭部，輸出順序要選擇自然序。插入循環前綴，可逐幀設置，不用打斷幀處理進程。

補充：定點數

在FPGA處理過程中，常常要對浮點數進行定點化處理。Matlab中提供了一個非常方便的定點化函數fi。

fi(data,s,w,f) 各參數的定義：

s:signed or unsigned 標志；

signed: 包含符號位；

f:定點小數精度。

例如：在命令行輸入fi(pi,1,16,13),回車，如圖6所示。

圖6 浮點數定點

查看定點后的數據， 命令行輸入ans.hex，顯示十六進制數6488，如圖7所示。

圖7 定點16進制數據

命令行輸入ans.dec，顯示十進制數，如圖8所示。

圖8 定點10進制數據

在FPGA處理定點乘法，可用乘法器IP—Multiplier，如圖9所示。

圖9 乘法器IP

04

FFT模塊設計demo

以調用FFT，并通過ROM預存所需數據進行一個簡單的demo設計。

利用FFT IP，搭建工程。分別使用兩個ROM存儲DMRS0的I、Q兩路數據，外部主機斷言m_data_tready拉高時，準備開始從ROM讀取數據，同時配置FFT。IFFT計算輸出通過乘以一個系數，使其幅度值接近于1。設計框圖如圖10所示。

圖10 設計框圖

以DMRS0信號5M帶寬300點（中間補零，至512點）作IFFT為例，創建工程，編寫RTL代碼。針對配置通道的數據配置（如SCALE_SCH、FWD/INV、CP_LEN、NFFT），假設基于Radix-2架構作IFFT，不加循環前綴，不更改NFFT點數，配置情況如下。

s_axis_config_tdata = 23'b0000_0000_0000_0000_0000_0000;

注意，高MSB五位做了填充，使得TDATA的位寬是8的整數倍。

FPGA仿真結果如圖11所示。

圖11 FPGA工程仿真

MATLAB進行IFFT變換，并進行適當的縮放，同時將FPGA仿真的結果導入，計算各自的幅度，并繪于同一圖中，如圖12所示。

圖12 幅度值對比

計算各自的相位角弧度，如圖13所示。

圖13 相位弧度對比

通過對比分析可知，MATLAB仿真與FPGA實現結果基本一致。

在LTE、5G等無線通信中，IFFT和FFT變換是一個繞不過的話題。即便5G在探索非正交多址接入技術（NOMA）,因主動引入干擾，接收機設計復雜度急劇上升，能否被采用不得而知。