負反饋因其可以穩定增益、減小失真、擴展帶寬、變換阻抗等功能而在電子、控制等諸多領域發揮著重大作用。小至一顆電源芯片，大至一輛汽車，都在負反饋技術的幫助下使我們的生活變得更豐富。然而，負反饋的使用也是有代價的，即可能會導致系統不穩定。

為了了解系統的穩定性情況，最直接、精確的方式就是測量系統的相位裕量(Phase Margin/ PM)，我們通常會使用環路分析儀進行測試。

小編今天向大家介紹另一種方法，即通過測量過沖情況（OS）得到系統的相位裕量。

電路的二階系統化

一些常見的反饋電路，通常都是二階系統，我們以運放容性帶載為例來討論：

*運放的容性負載 *典型通用運放的開環增益曲線

一個典型通用運放的開環增益曲線如上圖所示。它一般擁有一個低頻的主極點，如100Hz，高頻極點通常會被設計為遠高于穿越頻率，所以常規的運放電路是穩定的。

當運放存在容性負載的時候，開環輸出電抗(Zo)與輸出電容(Co)形成的極點會處在反饋環路內，當極點頻率靠近或小于穿越頻率，則會使得系統的相位裕度明顯降低，導致不穩定的情況發生。

所以，一個運放帶容性負載的放大電路，其傳遞函數可以表示為：

其中，K為運放的DC開環增益，β是反饋系數(作為跟隨器時，β=1，100倍放大時，β=0.01)。

1/τa是運放的低頻主極點的角頻率，1/τb是Zo和Co產生寄生極點的角頻率。可見，τa>>τb。

上式可被轉換為標準的二階系統

由于K為運放的DC開環增益，所以Kβ>>1

其中，ωn為電路的自然頻率，ξ為阻尼系數，且

時域過沖與阻尼系數的關系

我們知道，系統處于欠阻尼狀態，即0<ξ<1，才會存在過沖的情況。

對一個標準的二階系統來說，

可以求得其單位階躍響應函數為：

當

求得階躍響應第一個峰值對應的時間為：

所以過沖為

因此我們可以繪制如下過沖與阻尼系數的曲線

*過沖與阻尼系數的關系

過沖可以經由在輸入端給予一個小的階躍信號，并測量輸出端得到。如下圖是在ξ=0.35的系統中在1ms時使用100mV階躍輸入所測得的過沖情況，過沖為31%。

相位裕量與阻尼系數的關系

我們接下去分析阻尼系數與相位裕量(Phase Margin)的關系

系統的環路增益為：

為了求得系統穿越頻率ωc，可令|A(s)β|=1

求得

所以相位裕度

具此我們可以繪制如下相位裕量與阻尼系數的曲線

*相位裕量與阻尼系數的關系

相位裕量與過沖的關系

由此，我們借由阻尼系數，得到相位裕量與過沖的關系，繪制曲線如下

*相位裕量與過沖的關系

由上圖可知，當相位裕量大于70?以上時已經幾乎沒有過沖

相位裕量60? 時， OS(60?)≈8.8%

相位裕量45? 時， OS(45?) ≈23.4%

我們的討論是基于二階系統的，所以如果實際的電路并非二階系統，那么相位裕量與過沖的關系將并不嚴格遵循上述推論。但幸運的是，現實中的大部分電路都近似于二階系統，所以通過觀察過沖情況（OS）來判斷系統穩定性的方法，對于有時候的系統調試（特別是，對于差分放大器或者SOC等并沒有提供反饋引腳而無法采用環路分析儀的場合），或者定性分析，都是大有裨益的。

審核編輯：湯梓紅