在工程上我們常見(jiàn)下圖所示的波特圖來(lái)描述一個(gè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)函數(shù)的頻率特性，通過(guò)零點(diǎn)和極點(diǎn)畫(huà)出波特圖我們可以得到系統(tǒng)是否穩(wěn)定的結(jié)論。

首先講一下人們?yōu)槭裁匆褂貌ㄌ貓D：

由于在研究一個(gè)模擬系統(tǒng)的頻率相應(yīng)時(shí)，信號(hào)的頻率范圍很寬，通常從Hz級(jí)到GHz級(jí)，如果用線性線性坐標(biāo)畫(huà)系統(tǒng)函數(shù)的幅頻特性和相頻特性曲線，動(dòng)態(tài)范圍和精度之間的矛盾不可避免，因此使用對(duì)數(shù)坐標(biāo)，將會(huì)壓縮坐標(biāo)，擴(kuò)大觀察的視野，解決了前述矛盾。

如上圖所示，橫坐標(biāo)頻率每增大一個(gè)單位，即表示頻率增大10倍，就是我們常說(shuō)的“10倍頻程”。應(yīng)當(dāng)注意的是，如果波特圖具有負(fù)半軸，并不表示小于0的頻率，而是表示為ω omegaω小于1的頻率。如果需要小于0的頻率特性，利用系統(tǒng)頻率特性的共軛對(duì)稱(chēng)特性可以得到。

對(duì)于縱坐標(biāo)而言，幅頻特性曲線表示為dB，而相頻特性依舊用°(degree)表示。

波特圖又分為開(kāi)環(huán)波特圖(G ( s ) G(s)G(s))和閉環(huán)波特圖(H ( s ) H(s)H(s))，兩者能夠提供的信息也不一樣。

開(kāi)環(huán)波特圖能夠提供的信息：

開(kāi)環(huán)頻率響應(yīng)，進(jìn)而可以通過(guò)圖解法（如向量圖/等M圓圖/等N圓圖）求得閉環(huán)頻率響應(yīng)

通過(guò)觀察相位裕度/幅值裕度來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，一般來(lái)說(shuō)在幅值穿越頻率點(diǎn)處的相位閾值為50°-60°比較合適，最低不能小于45°。

開(kāi)環(huán)伯德圖的形狀也可以用來(lái)表征閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)特性，如下圖所示：

閉環(huán)波特圖可以提供系統(tǒng)全部頻率響應(yīng)特性，也能與時(shí)域響應(yīng)聯(lián)系起來(lái)。通過(guò)閉環(huán)波特圖我們能夠?qū)ο到y(tǒng)的性能進(jìn)行評(píng)估，根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的系統(tǒng)。

本文主要討論的是開(kāi)環(huán)函數(shù)的波特圖，由于其幅頻特性通常以對(duì)數(shù)坐標(biāo)軸上的一條直線為漸近線，因此幅頻特性的曲線通常可以只畫(huà)漸近線來(lái)表示系統(tǒng)的一些特征。

一般系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)函數(shù)可以表示為：

由上面的公式可知，在對(duì)數(shù)域，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)函數(shù)的零極點(diǎn)幅頻特性、相頻特性都滿足線性疊加關(guān)系。l o g ω = 0 log omega=0logω=0時(shí)的初始值由ω = 1 omega=1ω=1狀態(tài)下的幅度和相位決定。

(說(shuō)人話!) 好的，下面就來(lái)進(jìn)行一個(gè)通俗易懂的規(guī)律總結(jié)，零極點(diǎn)對(duì)于波特圖的影響如下：

a. 每一個(gè)極點(diǎn)會(huì)給幅頻響應(yīng)帶來(lái)一個(gè)-20dB/10倍頻程斜率的變化，每一個(gè)零點(diǎn)會(huì)給幅頻響應(yīng)帶來(lái)一個(gè)+20dB/10倍頻程斜率的變化。

b.每一個(gè)極點(diǎn)會(huì)給相頻響應(yīng)帶來(lái)一個(gè)-90°的相位變化，每一個(gè)零點(diǎn)會(huì)給相頻響應(yīng)帶來(lái)一個(gè)+90°的相位變化。

另外，最近在B站上刷視頻的時(shí)候發(fā)現(xiàn)一個(gè)很有意思的想法（與從系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)出發(fā)不同，利用的是系統(tǒng)函數(shù)的級(jí)聯(lián)特性）：由于波特圖的可加性，一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)可以差分為若干個(gè)簡(jiǎn)單子系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)，那么把簡(jiǎn)單子系統(tǒng)的波特圖分別畫(huà)出來(lái)、相加之后就是復(fù)雜系統(tǒng)的波特圖。

視頻鏈接為 https://www.bilibili.com/video/BV1yt411c7W8 講得很不錯(cuò)，推薦~

比如我們可以熟悉一些常見(jiàn)的簡(jiǎn)單系統(tǒng)的波特圖：

下面舉一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)利用這些常見(jiàn)的簡(jiǎn)單波特圖拆分、然后相加得到自身波特圖的例子：

將所有子系統(tǒng)的波特圖相加可以得到：

而實(shí)際中的系統(tǒng)框圖也可以表示為：

因此，當(dāng)我們已知一個(gè)系統(tǒng)的波特圖特征，要求系統(tǒng)函數(shù)時(shí)，可以根據(jù)波特圖的情況拆分為多個(gè)子系統(tǒng)的波特圖疊加，然后分別求出子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，最后級(jí)聯(lián)相乘就可以得到最終的系統(tǒng)函數(shù)了。這對(duì)于我們實(shí)際的系統(tǒng)設(shè)計(jì)中也是有啟發(fā)的。