宏觀熱力學(xué)體系的相變臨界行為一直是統(tǒng)計(jì)力學(xué)研究的核心問題之一。臨界行為之所以重要和引人入勝是因?yàn)轶w系在臨界點(diǎn)處表現(xiàn)出較非臨界點(diǎn)處非常奇特的性質(zhì)：內(nèi)部關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度發(fā)散導(dǎo)致體系相較于其它非臨界點(diǎn)處出現(xiàn)巨大的熱漲落，進(jìn)而導(dǎo)致刻畫體系特征的各種響應(yīng)函數(shù)（對(duì)應(yīng)二階矩，與漲落有關(guān)）在該點(diǎn)呈現(xiàn)出奇異性（發(fā)散或間斷點(diǎn)等非解析性）。本文將以氣液連續(xù)相變，平均場(chǎng)近似下Ising模型的連續(xù)相變，以及更為一般的Landau關(guān)于連續(xù)相變的唯象理論 — 二級(jí)相變理論為例，具體計(jì)算在每種情形下各種熱力學(xué)量和響應(yīng)函數(shù)的臨界行為，這個(gè)臨界行為由一組特征的臨界指數(shù)標(biāo)定。然后通過比較這些臨界指數(shù)我們可以發(fā)現(xiàn)這些看似完全不同的體系和處理手法在相變臨界點(diǎn)附近呈現(xiàn)出完全相同的物理行為，并由此揭示出相變臨界行為的普適性。最后探討這種普適性與體系內(nèi)部對(duì)稱性間的深刻聯(lián)系。

1氣液連續(xù)相變

在考慮了分子間的相互作用勢(shì)能后（即近端排斥遠(yuǎn)端吸引），我們可以對(duì)原始的無(wú)分子間相互作用的理想氣體狀態(tài)方程中的壓強(qiáng)和體積做修正。修正后最簡(jiǎn)單的物態(tài)方程即為范德瓦爾斯方程。現(xiàn)考慮1mol非理想氣體所滿足的如下的范德瓦爾斯方程。其中參數(shù)，的值依賴于具體物質(zhì)（比如水分子有水分子的和，氫氣分子有氫氣分子的和）。我們將利用該方程來(lái)研究在臨界點(diǎn)處氣液連續(xù)相變的問題。

因?yàn)橄嘧兣R界點(diǎn)對(duì)應(yīng)于圖上的拐點(diǎn)，所以此時(shí)壓強(qiáng)對(duì)體積的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)均為0。容易解出臨界點(diǎn)處的體積，溫度和壓強(qiáng)分別是：

以臨界點(diǎn)的狀態(tài)值作為單位將原始的范德瓦爾斯方程改寫成與具體物質(zhì)無(wú)關(guān)的普適方程：

為直觀起見，【圖1】給出了上述普適方程在不同約化溫度下的函數(shù)圖像：

圖1 函數(shù)圖像。其中縱坐標(biāo)是約化壓強(qiáng)，橫坐標(biāo)是約化體積。藍(lán)線代表約化溫度，對(duì)應(yīng)相變臨界點(diǎn)情形，藍(lán)線上面的綠線和紅線代表，下面的紫線和黑線代表

在臨界點(diǎn)附近對(duì)約化壓強(qiáng)，體積，和溫度作小量展開到一階：

其中是臨界點(diǎn)附近的小量。所以普適方程可以寫成關(guān)于小量的形式：

為直觀起見，【圖2】給出了上式在不同下的函數(shù)圖像：

圖2 函數(shù)圖像。其中縱坐標(biāo)是約化壓強(qiáng)在臨界點(diǎn)附近展開對(duì)應(yīng)的小量，橫坐標(biāo)是約化體積在臨界點(diǎn)附近展開對(duì)應(yīng)的小量。黑線代表在臨界溫度時(shí)的關(guān)系，紅線和紫線代表臨界溫度以上的關(guān)系，藍(lán)線和綠線代表臨界溫度以下的關(guān)系

將上面關(guān)于小量的普適方程在附近泰勒展開：

從【圖2】可以看出，在臨界溫度以下時(shí)，即時(shí)，由于曲線的非單調(diào)性（即關(guān)于的多值性），所以體系必然存在氣液相變。在相變發(fā)生時(shí)，根據(jù)兩相平衡條件，相和相（這里分別指代液相和氣相）的溫度，壓強(qiáng)，和化學(xué)勢(shì)（吉布斯自由能）必須相同。根據(jù)兩相壓強(qiáng)相等的力學(xué)平衡條件可以得到：

根據(jù)等溫線上兩相化學(xué)勢(shì)相等的化學(xué)平衡條件可以得到：

將間的小量關(guān)系代入上式得到：

若假設(shè)，則上述方程約化成：

所以意味著和同號(hào)，與【圖2】（）矛盾。所以先前的假設(shè)錯(cuò)誤。正確的關(guān)系只能是，也就是（關(guān)于縱軸對(duì)稱）。注意到這個(gè)關(guān)系對(duì)應(yīng)到【圖1】就是和關(guān)于臨界體積呈對(duì)稱分布。

接下來(lái)將化學(xué)平衡的結(jié)果代入到力學(xué)平衡的結(jié)果得到: , 。這個(gè)結(jié)果對(duì)應(yīng)于從臨界溫度下方趨于臨界點(diǎn)時(shí)，氣相和液相間存在體積差, 也就是兩相間存在密度差（即兩相間不對(duì)稱，處于有序狀態(tài)!）。

但當(dāng)我們從臨界溫度上方趨于臨界點(diǎn)時(shí), 容易看出此時(shí)由于 曲線單調(diào), 為了同時(shí)滿足熱學(xué)平衡, 力學(xué)平衡和化學(xué)平衡條件, 只能取 , 對(duì)應(yīng)于此時(shí)的氣相和液相間不存在體積差, 也就是兩相間不存在密度差。所以嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，高于臨界溫度時(shí)其實(shí)只有一相（叫氣相也行，叫液相也行，因?yàn)閮上嚅g不存在密度差所以兩相完全對(duì)稱，處于無(wú)序狀態(tài)！無(wú)法區(qū)分誰(shuí)是氣體誰(shuí)是液體）。所以密度差是個(gè)關(guān)鍵的指標(biāo)，它表征了體系當(dāng)前進(jìn)入到了哪種序。我們把這個(gè)關(guān)鍵的指標(biāo)叫做“序參量”！在我們現(xiàn)在考慮的氣液相變的例子里，兩相的密度差就可以充當(dāng)體系的序參量。

我們下面看它的臨界行為。當(dāng)從臨界溫度下方趨于臨界點(diǎn)時(shí)：

當(dāng)從臨界溫度上方趨于臨界點(diǎn)時(shí)：因?yàn)椋浴?/p>

所以如【圖3】所示，當(dāng)從臨界溫度下方趨于臨界點(diǎn)時(shí)，序參量（密度差）是以的方式趨于0的；當(dāng)從臨界溫度上方趨于臨界點(diǎn)時(shí)，序參量（密度差）恒為0。所以我們得出在氣液相變問題里序參量的臨界指數(shù)是1/2！因?yàn)榇藭r(shí)序參量（密度差，基本對(duì)應(yīng)吉布斯自由能的一階導(dǎo)數(shù)）在臨界溫度處連續(xù)，所以我們也稱這種相變叫“連續(xù)相變”。

圖3 - 序參量（密度差）-溫度在臨界點(diǎn)附近的行為。縱坐標(biāo)是序參量（密度差），橫坐標(biāo)是溫度。序參量在臨界點(diǎn)左側(cè)非零標(biāo)志著體系進(jìn)入有序相，右側(cè)是零標(biāo)志著體系進(jìn)入無(wú)序相

下面看等溫壓縮率的臨界行為：

所以我們發(fā)現(xiàn)不管是從臨界溫度下方還是上方趨于臨界點(diǎn)，等溫壓縮率都是以的方式趨于無(wú)窮大（發(fā)散）的（見【圖4】）！所以我們得出在氣液相變問題里等溫壓縮率的臨界指數(shù)是1！

圖4 - 等溫壓縮率-溫度 在臨界溫度附近的發(fā)散行為。縱坐標(biāo)是等溫壓縮率，橫坐標(biāo)是溫度

因?yàn)榈葴貕嚎s率基本上是體積對(duì)壓強(qiáng)的一階導(dǎo)數(shù)，而體積又基本上是吉布斯自由能對(duì)壓強(qiáng)的一階導(dǎo)數(shù)，所以等溫壓縮率基本上是吉布斯自由能對(duì)壓強(qiáng)的二階導(dǎo)數(shù)。也就是說(shuō)在臨界溫度處，吉布斯自由能對(duì)壓強(qiáng)的二階導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)奇異性（發(fā)散）！吉布斯自由能對(duì)熱力學(xué)參數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)一般對(duì)應(yīng)到體系的響應(yīng)函數(shù)。所以此時(shí)響應(yīng)函數(shù)在臨界點(diǎn)附近出現(xiàn)奇異性。這種連續(xù)相變一般被稱作“二級(jí)相變”。

下面看等容比熱的臨界行為（由于此時(shí)氣液相變系統(tǒng)的所有信息是以關(guān)于, , 的物態(tài)方程而不是以自由能或配分函數(shù)的形式給出的，所以這里等容比熱的計(jì)算相當(dāng)繁瑣，這里直接給出結(jié)論）：

所以我們發(fā)現(xiàn)不管是從臨界溫度下方還是上方趨于臨界點(diǎn)，等容比熱都是以的方式發(fā)生奇異性（間斷點(diǎn)）的！所以我們得出在氣液相變問題里等容比熱的臨界指數(shù)是0！

根據(jù)先前關(guān)于小量的物態(tài)方程易知：當(dāng)固定在等溫線（即）時(shí)，偏離壓強(qiáng)和體積臨界值的小量間滿足三次方的關(guān)系：（見【圖5】）。或者用原始的量可以把關(guān)系表示成: 。這里的臨界指數(shù)3也是標(biāo)定氣液相變臨界行為的一個(gè)特征指標(biāo)！

圖5 - 縱坐標(biāo)是壓強(qiáng)偏離的小量，橫坐標(biāo)是體積偏離的小量。綠線代表壓強(qiáng)相對(duì)體積的三次方的臨界行為，黑線代表原始未作近似的嚴(yán)格的臨界溫度上壓強(qiáng)-體積的行為。可以發(fā)現(xiàn)在坐標(biāo)原點(diǎn)附近，黑線基本與綠線重合

2平均場(chǎng)近似下Ising模型的連續(xù)相變

考慮一個(gè)任意維度下的Ising模型。在平均場(chǎng)近似下，我們把Ising形式的相互作用等效成了外磁場(chǎng)的一部分，使得體系被近似成一個(gè)等效的“無(wú)相互作用”體系。在統(tǒng)計(jì)力學(xué)的框架下通過對(duì)Ising形式正則配分函數(shù)的操作，容易得到關(guān)于平均磁化的自洽方程。當(dāng)外場(chǎng)時(shí)（也就是考慮自發(fā)磁化），臨界點(diǎn)附近的平均磁化是個(gè)小量。所以將自洽方程關(guān)于小量展開得到：

其中特征溫度。上述自洽方程其中一個(gè)解是，其余兩個(gè)解是否存在取決于以下方程右側(cè)是否大于0：

當(dāng)時(shí)，方程右側(cè)小于0，故原方程只有這個(gè)解；

當(dāng)時(shí)，方程右側(cè)大于0，故原方程除了有的解，還有

這兩個(gè)解。由于對(duì)應(yīng)的Helmholtz自由能比時(shí)的自由能來(lái)得高，所以是非穩(wěn)定態(tài)必須舍去。所以當(dāng)體系從臨界溫度下方逼近臨界點(diǎn)時(shí)，的臨界行為是：

當(dāng)體系從臨界溫度上方逼近臨界點(diǎn)時(shí)，。

所以如【圖6】所示，當(dāng)從臨界溫度下方趨于臨界點(diǎn)時(shí)，序參量（平均自發(fā)磁化）是以的方式趨于0的；當(dāng)從臨界溫度上方趨于臨界點(diǎn)時(shí)，序參量（平均自發(fā)磁化）恒為。所以我們得出在平均場(chǎng)近似下Ising模型里序參量的臨界指數(shù)是！這個(gè)結(jié)果和之前氣液相變里序參量（密度差）的臨界指數(shù)完全一樣！

圖6 - 在外場(chǎng)時(shí)，縱軸代表平均磁化，橫軸代表溫度。紅線是嚴(yán)格按照平均場(chǎng)近似下的自洽方程給出的平均磁化-溫度的函數(shù)關(guān)系，綠線和紫線是按照臨界點(diǎn)附近對(duì)自洽方程作小量展開近似后出來(lái)的結(jié)果。可以發(fā)現(xiàn)在臨界點(diǎn)附近，它們與紅線基本完全重合

下面看等溫磁化率的臨界行為。由于此時(shí)需要考慮磁場(chǎng)的變動(dòng)，所以我們需要使用原始帶的自洽方程：

所以體系的磁化率是：

根據(jù)之前的結(jié)論，當(dāng)外場(chǎng)趨于0且從臨界溫度下方趨于臨界點(diǎn)時(shí), ，所以：

當(dāng)從臨界溫度上方趨于臨界點(diǎn)時(shí)，, ，所以：

所以我們發(fā)現(xiàn)不管是從臨界溫度下方還是上方趨于臨界點(diǎn)，等溫磁化率都是以的方式（類似宏觀順磁性的居里定律）趨于無(wú)窮大（發(fā)散）的（見【圖7】）！所以我們得出在平均場(chǎng)近似下Ising模型里等溫磁化率的臨界指數(shù)是1！這個(gè)結(jié)果和之前氣液相變里等溫壓縮率的臨界指數(shù)完全一樣！

圖7 - 等溫磁化率-溫度在臨界溫度附近的發(fā)散行為。縱坐標(biāo)是等溫磁化率，橫坐標(biāo)是溫度

下面考慮無(wú)外磁場(chǎng)時(shí)比熱的臨界行為。思路是從Ising體系的正則配分函數(shù)出發(fā)求得內(nèi)能，然后通過內(nèi)能在臨界點(diǎn)附近的行為推斷出比熱的臨界行為：

當(dāng)從臨界溫度下方趨于臨界點(diǎn)時(shí)，, ，所以：

所以當(dāng)從臨界溫度下方趨于臨界點(diǎn)時(shí)比熱是：

當(dāng)從臨界溫度上方趨于臨界點(diǎn)時(shí)，,，所以容易看出比熱是：

所以我們發(fā)現(xiàn)不管是從臨界溫度下方還是上方趨于臨界點(diǎn)，比熱都是以的方式發(fā)生奇異性（間斷點(diǎn)）的！所以我們得出在平均場(chǎng)近似下Ising模型里比熱的臨界指數(shù)是0！這個(gè)結(jié)果和之前氣液相變里等容比熱的臨界指數(shù)完全一樣！

最后看固定在臨界溫度上，當(dāng)外磁場(chǎng)很弱的情況下，和（或）的關(guān)系：

因?yàn)樵谂R界點(diǎn)附近且很小，所以也很小。所以里宗量很小。所以方程右端可以展開成

所以如【圖8】所示，當(dāng)固定在臨界溫度時(shí)（且外場(chǎng)很小時(shí)），磁場(chǎng)和平均磁化或平均磁矩間滿足三次方的關(guān)系：或。這里的臨界指數(shù)3也是標(biāo)定平均場(chǎng)近似下Ising模型臨界行為的一個(gè)特征指標(biāo)！這個(gè)結(jié)果和之前氣液相變里偏離壓強(qiáng)和體積臨界值的小量間滿足的關(guān)系所對(duì)應(yīng)的臨界指數(shù)3，即，完全一樣！

圖8 - 縱坐標(biāo)是磁場(chǎng)，橫坐標(biāo)是平均磁化。綠線代表磁場(chǎng)相對(duì)平均磁化的三次方的臨界行為，藍(lán)線代表原始未作近似的嚴(yán)格的臨界溫度上磁場(chǎng)-平均磁化的行為。可以發(fā)現(xiàn)在坐標(biāo)原點(diǎn)附近，藍(lán)線基本與綠線重合

3連續(xù)相變的唯象理論 — Landau二級(jí)相變理論

從（1）和（2）的分析中可以發(fā)現(xiàn)體系在臨界點(diǎn)處發(fā)生相變的過程其實(shí)是一種從高溫時(shí)的無(wú)序態(tài)到低溫時(shí)的有序態(tài)的變化過程。其中氣液相變例子里的序就是液體和氣體的密度差（或體積差），平均場(chǎng)近似下Ising模型例子里的序就是平均磁化。這種序的變化本質(zhì)上體現(xiàn)出的是體系對(duì)稱性的破缺，是刻畫相變特征的極重要的內(nèi)稟參數(shù)，被叫做“序參量”。所以我們可以唯象地把序參量寫進(jìn)一個(gè)叫做Landau自由能的表達(dá)式中。假定這個(gè)Landau自由能在臨界點(diǎn)附近解析，則它可以被展開成關(guān)于序參量的多項(xiàng)式函數(shù)。然后體系真實(shí)的自由能對(duì)應(yīng)于Landau自由能的極小值/穩(wěn)定態(tài)。【注意這個(gè)內(nèi)稟序參量的變化不能人為直接控制，只能通過間接調(diào)控外界壓強(qiáng)和溫度等間接控制。】

值得注意的是：因?yàn)槲覀兗俣w系具有反演不變性，所以這里的Landau自由能函數(shù)里沒有關(guān)于序參量的三次方項(xiàng)。

首先考慮自發(fā)磁化，即當(dāng)外場(chǎng)時(shí)Landau自由能函數(shù)的行為：

所以可以解出三個(gè)極值點(diǎn)，其中1個(gè)零解加上另外一對(duì)互為相反數(shù)的非零解（注意：取決于和的具體符號(hào)，因?yàn)樵诟?hào)里面，這一對(duì)解在有些時(shí)候不一定存在）：

我們希望找到穩(wěn)定的極值點(diǎn)，也就是最小的地方作為系統(tǒng)可以穩(wěn)定存在的狀態(tài)。所以基于這個(gè)要求，首先必須讓四次項(xiàng)前面的系數(shù)以保證當(dāng)時(shí)不會(huì)變成負(fù)無(wú)窮大（那樣的話系統(tǒng)的穩(wěn)定態(tài)就要落在的地方以保證能量最低，這顯然是不合理的）。由于，所以二次項(xiàng)前面的系數(shù)的正負(fù)直接決定了是否存在非零解。

當(dāng)時(shí)，非零解根號(hào)里的宗量小于0，此時(shí)只存在的唯一解。為了知道的解對(duì)應(yīng)的極小值（穩(wěn)定態(tài)）還是極大值（非穩(wěn)定態(tài)），我們看對(duì)序參量的二階導(dǎo)數(shù)在處的符號(hào)，如果是正號(hào)就意味著這對(duì)應(yīng)穩(wěn)定態(tài)，否則就是非穩(wěn)定態(tài)：

所以處對(duì)應(yīng)能量的極小值，確實(shí)對(duì)應(yīng)時(shí)的穩(wěn)定態(tài)。為直觀起見，作出此時(shí)的函數(shù)關(guān)系草圖（【圖9】類似一個(gè)“”型曲線）：

圖9 - ，，縱坐標(biāo)是自由能，橫坐標(biāo)是序參量。容易看出處對(duì)應(yīng)該函數(shù)的極小值（穩(wěn)定態(tài)），所以此時(shí)系統(tǒng)處于高溫下的無(wú)序相（完全對(duì)稱！）

從另一方面看，又代表高于相變臨界溫度時(shí)的無(wú)序相。所以我們以序參量 為橋梁找到一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，即：時(shí)。

當(dāng)時(shí)，非零解根號(hào)里的宗量大于0，此時(shí)存在3個(gè)極值點(diǎn)，即最開始列出的：

為了知道這3個(gè)解對(duì)應(yīng)的極小值（穩(wěn)定態(tài)）還是極大值（非穩(wěn)定態(tài)），我們看對(duì)序參量的二階導(dǎo)數(shù)在這3處的符號(hào)，如果是正號(hào)就意味著對(duì)應(yīng)穩(wěn)定態(tài)，否則就是非穩(wěn)定態(tài)：

所以處對(duì)應(yīng)能量的極大值，是非穩(wěn)定態(tài)。而處對(duì)應(yīng)能量極小值，是穩(wěn)定態(tài)。所以體系此時(shí)處于的穩(wěn)定態(tài)。為直觀起見，作出此時(shí)的函數(shù)關(guān)系草圖（【圖10】類似一個(gè)“”型曲線）：

圖10 - ，，縱坐標(biāo)是自由能，橫坐標(biāo)是序參量。容易看出處對(duì)應(yīng)該函數(shù)的極大值（非穩(wěn)定態(tài)），處對(duì)應(yīng)該函數(shù)的極小值（穩(wěn)定態(tài)）。所以此時(shí)系統(tǒng)處于低溫下的有序相（對(duì)稱性破缺！）

從另一方面看，又代表低于相變臨界溫度時(shí)的有序相。所以我們以序參量為橋梁又找到一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，即：時(shí) 。

所以綜上所述，我們找到了Landau自由能函數(shù)二次項(xiàng)前面的系數(shù)A和溫度T在臨界溫度附近的關(guān)系，即：時(shí)；而時(shí)。

出于連續(xù)性的考慮可以推斷出恰好在臨界溫度時(shí)。為直觀起見，作出此時(shí)的函數(shù)關(guān)系草圖（【圖11】類似一個(gè)“”型曲線）：

圖11 -，，縱坐標(biāo)是自由能，橫坐標(biāo)是序參量。容易看出處對(duì)應(yīng)該函數(shù)的極小值（穩(wěn)定態(tài)），但相較于圖9，此處在極小值點(diǎn)附近有一個(gè)接近于平坦的谷底，對(duì)應(yīng)于相變臨界點(diǎn)處關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度趨于無(wú)窮大。溫度稍微提升一點(diǎn)圖11就會(huì)進(jìn)入圖9的無(wú)序相，溫度稍微下降一點(diǎn)就會(huì)進(jìn)入圖10的有序相

根據(jù)上述和溫度的關(guān)系，可以把在處作泰勒展開到一階：

其中。當(dāng)從臨界溫度下方趨于臨界點(diǎn)時(shí)，由于還在有序相，所以：

當(dāng)從臨界溫度上方趨于臨界點(diǎn)時(shí)，由于在無(wú)序相，所以。所以當(dāng)從臨界溫度下方趨于臨界點(diǎn)時(shí)，序參量是以的方式趨于0的；當(dāng)從臨界溫度上方趨于臨界點(diǎn)時(shí)，序參量恒為0。所以我們得出Landau二級(jí)相變理論里序參量的臨界指數(shù)是1/2！這個(gè)結(jié)果和之前氣液相變里序參量（密度差）的臨界指數(shù)以及平均場(chǎng)近似下Ising模型里序參量（平均自發(fā)磁化）的臨界指數(shù)完全一樣！

下面看Landau二級(jí)相變理論里磁化率的臨界行為。磁化率的計(jì)算牽涉到磁場(chǎng)的變化。所以我們必須使用帶有磁場(chǎng)的Landau自由能展開。這個(gè)附加的磁場(chǎng)是通過與序參量（這里的可以解釋成磁矩）一次方形式的耦合進(jìn)入到Landau自由能的，即：

【注意如果我們處理的不是磁性體系和磁化率，而是希望用Landau自由能描述氣液相變里壓縮系數(shù)的臨界行為的話，只需要把這里的序參量解釋成密度差（或體積差），外場(chǎng)解釋成壓強(qiáng)即可。】

在系統(tǒng)穩(wěn)定態(tài)處Landau自由能取極值：

所以體系磁化率是：

當(dāng)從臨界溫度下方趨于臨界點(diǎn)時(shí)，由于還在有序相，且磁場(chǎng)為0，所以，代入到上面關(guān)于的表達(dá)式得到：

當(dāng)從臨界溫度上方趨于臨界點(diǎn)時(shí)，由于在無(wú)序相，且磁場(chǎng)為0，所以，代入到上面關(guān)于的表達(dá)式得到：

所以我們發(fā)現(xiàn)不管是從臨界溫度下方還是上方趨于臨界點(diǎn)，磁化率都是以的方式趨于無(wú)窮大（發(fā)散）的！所以我們得出Landau二級(jí)相變理論里磁化率的臨界指數(shù)是1！這個(gè)結(jié)果和之前氣液相變里等溫壓縮率的臨界指數(shù)以及平均場(chǎng)近似下Ising模型里等溫磁化率的臨界指數(shù)完全一樣！

下面再看Landau二級(jí)相變理論里比熱的臨界行為。在比熱的討論里和外磁場(chǎng)沒關(guān)系，所以。所以Landau自由能的形式退化成：

體系的化學(xué)勢(shì)（吉布斯自由能）取在Landau自由能的極小值（穩(wěn)定態(tài)）處。所以在臨界溫度以下（）時(shí)，體系的化學(xué)勢(shì)取在Landau自由能的地方，即：

在臨界溫度以上（）時(shí)，體系的化學(xué)勢(shì)取在Landau自由能的地方，即：

所以臨界溫度以下（）時(shí)體系的熵是：

臨界溫度以上（）時(shí)體系的熵是：

所以可以進(jìn)一步求出從臨界溫度下方趨于臨界點(diǎn)時(shí)體系的比熱是：

從臨界溫度上方趨于臨界點(diǎn)時(shí)體系的比熱是：

所以我們發(fā)現(xiàn)不管是從臨界溫度下方還是上方趨于臨界點(diǎn)，比熱都是以的方式發(fā)生奇異性（間斷點(diǎn)）的！所以我們得出Landau二級(jí)相變理論里比熱的臨界指數(shù)是0！這個(gè)結(jié)果和之前氣液相變里等容比熱的臨界指數(shù)以及平均場(chǎng)近似下Ising模型里比熱的臨界指數(shù)完全一樣！

最后看固定在臨界溫度上，當(dāng)外磁場(chǎng)很弱的情況下，和的關(guān)系。此時(shí)二次項(xiàng)前面的系數(shù)，并且因?yàn)榻酉聛?lái)的計(jì)算牽涉到磁場(chǎng)的變化，所以我們必須使用帶有磁場(chǎng)的Landau自由能展開。這個(gè)附加的磁場(chǎng)是通過與序參量 （這里的可以解釋成磁矩）一次方形式的耦合進(jìn)入到Landau自由能的。所以Landau自由能的形式是：

在系統(tǒng)穩(wěn)定態(tài)處Landau自由能取極值：

所以固定在臨界溫度時(shí)（且外場(chǎng)很小時(shí)），磁場(chǎng)和序參量間滿足三次方的關(guān)系：。這里的臨界指數(shù)3也是標(biāo)定Landau二級(jí)相變理論的一個(gè)特征指標(biāo)！這個(gè)結(jié)果和之前氣液相變里偏離壓強(qiáng)和體積臨界值的小量間滿足的關(guān)系所對(duì)應(yīng)的臨界指數(shù)3，即，以及平均場(chǎng)近似下Ising模型里的磁場(chǎng)和平均磁化或平均磁矩間滿足的關(guān)系所對(duì)應(yīng)的臨界指數(shù)3，即或，完全一樣！

4對(duì)稱性和普適類

所以從上面的分析中我們發(fā)現(xiàn)在臨界點(diǎn)附近：氣液相變，平均場(chǎng)近似下的Ising模型，和更為抽象一般的Landau二級(jí)相變理論都給出了完全相同的一組臨界指數(shù)！看起來(lái)相互間沒有任何關(guān)系的體系（氣液相變，Ising鐵磁相變體系，和Landau二級(jí)相變理論所描述的更為抽象一般的體系），出發(fā)點(diǎn)和處理手法也完全不同（氣液相變里是從非理想氣體所滿足的物態(tài)方程出發(fā)，Ising鐵磁相變體系是從平均磁化滿足的自洽方程出發(fā)，Landau二級(jí)相變理論是從作為序參量的多項(xiàng)式函數(shù)的Landau自由能出發(fā)），竟然在臨界點(diǎn)附近的行為表現(xiàn)出驚人的一致性！！！

這種一致性產(chǎn)生的根本原因在于：氣液連續(xù)相變，Ising鐵磁相變體系，和Landau二級(jí)相變所描述的更為抽象的體系具有完全相同的對(duì)稱性，即所謂的對(duì)稱性！所以它們所描述的體系處于完全相同的普適類里！如果把普適類看成是一類幾何/拓?fù)鋵?duì)象，那么這些臨界指數(shù)就可以看成是標(biāo)定這個(gè)幾何/拓?fù)鋵?duì)象特征的“拓?fù)洳蛔兞俊保∵@些“拓?fù)洳蛔兞俊焙途唧w物質(zhì)（可以類比成對(duì)象局域的幾何性質(zhì)）無(wú)關(guān)，而只與體系的對(duì)稱性（可以類比成對(duì)象本身的拓?fù)湫再|(zhì)，比如虧格和纏繞數(shù)）有關(guān)，具有普適性。

然而值得注意的是，這個(gè)普適性也是有限度的。比如這三套理論對(duì)于比熱臨界指數(shù)的估計(jì)都是0（這與實(shí)驗(yàn)中測(cè)出的非零的比熱臨界指數(shù)差別很大），這是因?yàn)樗鼈兺耆雎缘袅梭w系本身的熱漲落效應(yīng)，所以它們只能給出一種特殊的普適類。對(duì)于具有別的對(duì)稱性的體系（比如二維XY模型），它將屬于別的普適類。別的普適類將由別的一組臨界指數(shù)標(biāo)定。

所以自然界中千差萬(wàn)別的體系可以被劃分進(jìn)不同的普適類里，每個(gè)普適類內(nèi)部的所有系統(tǒng)在臨界點(diǎn)附近都是完全等價(jià)的，所以只要研究清楚普適類里其中一個(gè)系統(tǒng)在臨界點(diǎn)處的行為，我們就可以直接推斷出別的和它在同一個(gè)普適類里的其它系統(tǒng)在臨界點(diǎn)處的行為！所以對(duì)不同的具體系統(tǒng)的物理性質(zhì)的研究可以轉(zhuǎn)化為對(duì)不同普適類的抽象數(shù)學(xué)性質(zhì)的研究！而這也是相變和臨界現(xiàn)象問題里最引人入勝的地方之一。

是呢環(huán)保局：郭婷