摘要

計算物理以計算機為工具，以計算方法和計算軟件為手段，近年來發展迅速，在研究物質結構及物理規律方面成功解決了大量傳統物理難以解決的難題，已經成為研究自然的理論—計算—實驗鼎力三足。文章簡要介紹了計算物理的起源和發展，重點關注了計算物理在凝聚態物理方面的應用，介紹了包括精確對角化、數值重正化群、蒙特卡羅、動力學平均場等方法，并闡述了各個方法的特點。在探究新奇物理現象、發展計算方法兩方面，討論了計算凝聚態物理的未來發展方向。

01 引言

作為過去20年間發展最為迅速的領域之一，計算物理以計算機為工具，以計算方法和計算軟件為手段，研究和發現物質結構及其運動規律，在物理學的各個分支學科發揮了重要的作用，已成為與實驗物理和理論物理同等重要并可持續發展的二級學科。最初，物理學家運用早期的計算機研究由相互作用的單個分子組成的物質的狀態方程[1]和非線性動力學問題[2]，計算物理學應運而生。20世紀50年代，以蒙特卡羅方法為代表的數值模擬，解決了大量統計物理和與之相關的問題。

70年代中期，Wilson提出了數值重正化群方法[3]，解決了物理學中的近藤問題[4]。與此同時，密度泛函理論也有了快速的發展，它廣泛用于研究各類材料中的電子結構，解釋了實驗測量的結果，還成功地預測了一些材料的基本特性。發展至今，計算物理研究的范圍不斷拓展，從基本物理現象擴展到材料科學、化學、信息、生命等領域，已成為解決傳統物理研究范式難以解決的難題、減少實驗成本甚至替代實驗、揭示新的物理規律和效應的必要手段。

凝聚態系統是一個由大量電子和原子核形成的相互作用的量子系統，凝聚態物理是過去40年來物理學研究中發展最快的學科領域之一。通過建模的持續改進和發展高性能計算，計算物理搭建了理論與實驗、微觀與宏觀的橋梁，為凝聚態領域提供了嶄新而有效的科學研究方法。計算凝聚態物理針對以固體材料為主的凝聚態系統，研究組成材料原子的空間結構，原子與電子電荷、自旋和軌道自由度的耦合，以及由此涌現出的各種量子態，并發展相應的計算方法。從量子力學出發，計算凝聚態物理在原子層級上設計和確定具有不同功能、結構和組分的材料體系，對材料的電子能帶結構及其與晶格的相互作用進行計算研究，隨之確定材料的基本特性。在此基礎上，研究多電子相互作用系統中出現的強關聯問題，尋找不同競爭因素所導致的各種衍生量子現象，展示系統在電、光、磁等外場調控下產生的物理效應，揭示導致諸多效應的物理機理。

近40年來，包括分數量子霍爾效應、銅氧化物高溫超導體、鐵基超導體、龐磁阻、重費米子、量子臨界等在內的大量關聯量子現象的發現，豐富了凝聚態物理的研究內涵，促進了多體量子理論的快速發展。諸多新現象來源于系統中電子電荷、自旋、軌道和晶格等微觀自由度之間的共存與競爭，通常出現在低維系統中，其共同的特征是電子間的庫侖相互作用與量子漲落都很強，不能通過已有的固體理論框架進行解釋。當這些自由度之間的關聯趨強，傳統的研究手段如微擾論并不適用，強關聯電子行為也不能通過朗道費米液體理論和Landau—Ginzburg—Wilson對稱性破缺理論來描述。想要解決這些問題，必須發展新的理論及計算方法。

從定義在格點上的考慮一些基本的相互作用模型出發，科研工作者研究了量子多體系統的物理性質。提出的模型包括Hubbard模型、t—J模型、費米子—自旋耦合模型、Heisenberg模型等，各類強關聯格點模型受到了廣泛的關注，取得了重要的結果。例如，盡管Hubbard模型極大地簡化了固體中的電子—電子相互作用，其仍能描述多種物理現象，包括金屬—絕緣體轉變、磁序相變、條紋相和超導配對對稱性等。經歷了高溫超導體發現之后的一系列發展，如今Hubbard模型的研究具有更豐富的內涵，如Anderson—Hubbard模型、Holstein—Hubbard模型等包括了無序、電聲相互作用等因素，為我們提供了更廣闊的應用前景。

類似地，Heisenberg模型的研究幫助人們深入理解了量子自旋系統中的新穎物理，如籠目系統中的反鐵磁基態，或借助量子蒙特卡羅方法研究自旋玻色子系統等。值得注意的是，求解這些統計模型或量子多體模型并不存在普適的方法，常用的有如下4種方法：精確對角化；數值重正化群，包括Wilson數值重正化群、密度矩陣重正化群、張量重正化群等；量子蒙特卡羅模擬；動力學平均場方法。針對不同的系統和不同研究對象，科研人員通常采用合適的計算方法以解決具體的問題。本文余下的部分安排如下：第2節，簡述計算凝聚態物理的內涵和歷史；第3節，介紹計算凝聚態物理領域主要的模型和方法；第4節，簡要探討相關領域近期的研究進展與發展方向。

02 計算物理：內涵和歷史

計算物理是針對給定物理系統，結合數值算法和計算機編程技術，研究物質結構與規律為目的的一門學科。簡單而言，計算物理就是利用先進的計算能力，通過數值計算或模擬去解決復雜的物理問題。在真實系統中，由于涉及許多現實世界因素難以有效地改變，因此研究的效率與范圍受到影響；而由于能夠方便地設置環境參數，計算物理提供了深度理解系統物理規律的可能[5]。在嘗試眾多解決方案的過程中，計算物理有助于根據已知的物理學規律，發現新的物理現象、探索新的物理效應，解決或解釋實驗及工程中出現的物理問題；通過對一些具有極端條件而難以使用其他方法來研究的物理系統進行數值模擬，計算物理能幫助我們發現新的物理規律，拓展對物質世界的認知。

計算物理學起源于二戰期間的曼哈頓計劃，研究人員在無法解析地解決問題并且需要處理的數據太多時，通常運用計算物理進行模擬。在我國，計算物理始于20世紀50年代，源于國家安全領域重大需求，特別是“兩彈一星”任務的牽引。物理學家運用早期的電子計算機研究數值積分、微分方程的數值解、物質狀態方程[1]和非線性動力學問題[2]，將微觀世界的一舉一動展現在人們眼前。在發展的初始階段，計算物理主要作為理論物理的輔助工具，用于解決理論或實驗物理研究中遇到的復雜計算問題；或者用于解釋實驗測量或觀察到的現象，補充實驗表征和測試方法。通常，只有通過計算模擬確定了相關材料的物理特性，才能認為給定的現象或材料特性已被完全理解。

從20世紀40年代第一臺計算機被發明以來，在幾十年間，計算機性能都按照每18個月翻倍的摩爾定律飛速發展。1982年，Wilson憑借數值重正化群獲得諾貝爾物理學獎，宣告了計算機協助解決復雜物理問題時代的到來。80年代后期，在李政道先生的組織下，美國哥倫比亞大學等研究機構聯合IBM公司共同推動和開發了并行計算機，促進了高性能計算技術與理論的發展。計算機的發展增強了運算能力，也促使計算物理被用于解決各種領域的數值問題，如生物物理學、天體物理學、化學、材料科學等。

最近，隨著單核處理器性能進步的逐漸放緩，并行處理已經成為高性能計算的代表。如圖1所示，一系列重要計算方法的提出和完善，催生了一大批重要科研成果的產生，展示了計算物理領域的蓬勃發展。如今，由于設備的高計算能力和高存儲帶寬，以及標準編程語言和工具的可用性[6]，圖形處理單元(GPU)已成為大規模并行計算的選擇。使用多個GPU能夠縮短問題求解時間并提高離散化的精度，而這正是計算凝聚態物理研究需要的。

圖1 計算物理領域中一些重要方法和代表性的文章。方法的發展和完善幫助我們深化了對各類系統物性的認識

作為發展最為迅速的學科之一，計算物理也為眾多受限于現實條件難以進行實驗的課題提供了一個可靠的研究手段，甚至是唯一的手段。一方面，對于復雜的物理系統，例如量子多體相互作用系統，盡管已經發展了系統的理論框架，然而嚴格求解方程或求解由這些方程導出的新方程或公式是幾乎不可能的，甚至近似求解都非常困難。

另一方面，對于一些現實中的極端條件，例如500 GPa以上的超高壓、固體系統中1 mK之下的極低溫、50 T以上的穩恒強磁場，目前還很難或甚至不可能開展實際的實驗研究。而計算物理則能為以上情況提供合適的解決方案，并成為了與實驗物理和理論物理同等重要的物理學學科，也是支撐物理學及其交叉學科發展的一個重要支柱。

從規模上看，從事計算物理研究的人員，已經超過了從事理論物理研究的人數。計算模擬拓展了物理學研究的深度及廣度，縮短了研究周期，降低了研究成本，加快了研究進程。對于不同的尺度，計算物理的研究內容和方法存在很大不同。因此要進行研究，首先要根據研究對象明確并建立基本的物理模型，在此基礎上發展有效的計算方法，之后通過大規模的數值計算與模擬找到問題的解。計算方法的研究包含兩部分：一是運用物理或計算數學的思想建立求解問題的核心算法；二是根據物理對象及算法，建立相應的計算軟件及數據庫。算法是研究的核心，是決定計算模擬效率及可靠性的關鍵。

作為一個能夠、且已經改變傳統物理學研究范式的學科，計算物理的應用范圍和數據處理效率隨著機器計算能力不斷增強、算法不斷優化得以大幅提升。隨著信息化時代網絡的普及和發展，計算物理由于其研究成本可控、結果可重復、實用性得到了廣泛認可[7，8]。通過有效地屏蔽掉次要因素的影響，計算研究能夠從理論高度去概括性地研究復雜體系的物理特性，探索實際體系中的核心或關鍵科學因素，提高前沿探索的有效性和時效性。同時，它還能夠預測新的物理現象、物理效應、物理規律和新材料，實現復雜數據的可視化、實驗的實時控制與分析。

隨著研究逐漸聚焦于非線性問題、隨機環境與非解析解，計算物理還能根據已有的理論框架或模型，解決傳統解析研究無法解決的問題。此外，一些全新的理論在建立初期通常沒有合適的實驗系統用于檢驗，計算物理能夠幫助揭示新的物理效應和規律[9]；或輔助研究人員高效探索新型材料物性并獲得高于實驗的測量精度[7]。

03 量子多體計算：計算凝聚態物理的模型和方法 3.1 精確對角化

目前，精確對角化是比較成熟的計算凝聚態物理方法，是研究量子多體系統物理性質重要的工具。它不僅能為近似理論計算和量子蒙特卡羅方法提供基準，也有助于深入了解熱力學極限中無法解決多體問題的微妙特性。對于一個有限格點的量子系統，哈密頓量總是可以用一個矩陣來表示。精確對角化方法求解了矩陣的本征值和本征矢量，通過一些最低的本征值和本征矢量計算各種基態期望值和相關函數來研究該系統的物理性質。這種方法的優點是不需要做任何近似，缺點是能處理的系統尺寸很小，或者說粒子數很少。

這是由于系統總自由度數，即哈密頓量的矩陣維數是隨系統尺寸增加而指數增加的。這個問題也被稱之為“指數墻問題”。當然，這種局限性也有可能是表面局限，比如在一維系統中相干長度小于晶格大小時，利用該方法也能得到代表性的物理結果[10]。有限溫度精確對角化算法，也被應用于研究模型的動力學或有限溫度熱力學性質。通過與蒙特卡羅方法和動力學平均場的結合，拓展了精確對角化方法可以涉及的理論深度。

其他比較成熟的研究方法有Wilson數值重正化群和密度矩陣重正化群。而包括量子蒙特卡羅、張量重正化群、動力學平均場在內的一系列方法，盡管如圖2所示經歷了一定程度的發展，相對而言還不夠完善，仍需進一步改進。

圖2 計算物理領域中一些重要方法的發展歷程。橢圓形框內描述了左側對應方法的特點

3.2 密度泛函理論

20世紀60年代之前，一般采用近似的方法/理論，例如Hartree近似等來計算凝聚態體系的電子結構。盡管這些方法具有一定的局限性，但它們仍為相關研究提供了工具。60年代，Kohn及其合作者提出密度泛函理論(DFT)[11]并建立了Kohn—Sham方程[12]，結合局域密度泛函近似，奠定了當代電子結構計算的基礎。為此，Kohn和計算化學的創始人Pople分享了1998年的諾貝爾化學獎。80年代，量子蒙特卡羅方法的進步促進了密度泛函理論的發展，一系列適合不同電子密度、提高計算精度的局域密度泛函應運而生。而隨著密度泛函理論的不斷發展，加以計算方法和計算機性能的進步，計算凝聚態物理也逐漸從定性地解釋實驗數據，轉向了定量地用第一性原理預測實際材料中的物化性質。

密度泛函理論的發展引領了對電子結構的研究，被視作計算凝聚態物理的一個重大突破。在諸多領域如核物理、分子物理、化學等受到了重視并被廣泛應用。事實上，密度泛函理論不僅廣泛地影響了多個學科，同樣也得到了各個研究領域的反饋。在密度泛函理論發展的很長一段時間內，由于其在具體應用時對平均場近似的依賴性，物理學界對密度泛函缺乏足夠的重視[8]。20世紀80年代初，隨著局域密度近似下交換關聯能參數化的建立以及廣義梯度近似的發展，人們開始大量使用密度泛函理論描述化學反應。在推進理論化學發展的同時，密度泛函也逐漸成為了計算凝聚態物理中一種重要的方法。

3.3 蒙特卡羅方法

量子蒙特卡羅算法的根源可以追溯到20世紀50年代，當時Ulam和von Neumann提出了一種想法，通過隨機方法(即在矩陣索引空間中隨機行走)來計算矩陣的函數。1962年，該想法被Kalos等人首次應用于物理問題。1973年，Kalos等人首次報道了這一概念在多體問題上的應用[13]。1977年，Suzuki等人完成了對量子自旋系統的模擬[14]。

此后，量子蒙特卡羅方法迎來了飛速發展。其主要思想是在計算機上模擬實際過程的概率，然后加以統計處理，該方法適用問題的關鍵點在于隨機性。早期的蒙特卡羅方法主要運用Suzuki—Trotter分解模型的維度分開處理，計算其配分函數[15]以研究量子磁學模型[16]；利用Metropolis算法在相空間中進行有效抽樣，滿足細致平衡。由于該算法更新較慢，Wolff等集團更新算法被逐步提出[17]。通常在路徑積分基礎上，一個D維量子系統等價于一個D+1維經典系統，因此計算量子多體模型的配分函數也可以通過蒙特卡羅模擬來實現。

如今，量子蒙特卡羅方法具有廣泛的應用。20世紀80年代初，Blankenbecler等人提出了行列式量子蒙特卡羅算法[18]，用以研究相互作用費米子系統；近年來，該方法也被用于研究費米面或狄拉克費米子與臨界玻色場耦合的問題[19]。對于相互作用玻色子系統和自旋系統，1962年發展起來的Handscomb方法適用于具有最近鄰相互作用的自旋1/2 Heisenberg模型，避免了路徑積分中固有的系統誤差[16]。

此外，變分蒙特卡羅結合了用于計算電子哈密頓量期望值的蒙特卡羅積分和基態的變分原理，引入了“重要抽樣”的思想。而約束路徑量子蒙特卡羅方法，通過將基態從任意初始狀態的投影轉換為Slater行列式空間中的重要抽樣分支隨機游走并約束隨機游走的路徑，符號問題可以部分克服，屬于在可控近似下求解相互作用費米子體系的一種方法。

3.4 數值重正化群

20世紀70年代初期，Wilson介紹了重正化群的基本概念及以他名字命名的數值重正化群方法。在Wilson的公式中，短程、高能漲落被逐步整合，以獲得長程、低能下的有效描述。重正化群方法為研究人員提供了用于研究關聯/漲落系統的實用工具，對二級相變附近的系統、高能物理學中基本相互作用的概念性理解、量子電動力學中的點電荷發散問題、量子色動力學中的漸進自由問題等起到了關鍵作用。1992年，White提出了密度矩陣重正化群方法[20]，利用約化密度矩陣的特征矢在實空間中的局域性對希爾伯特空間進行降維，通過對變分優化系數的反復迭代，能夠有效求解多體波函數。

如今密度矩陣重正化群已成為研究一維短程關聯系統最為精確和系統的方法，在Hubbard、Heisenberg等模型中給出了接近精確解的結果。此外，密度矩陣重正化方法與量子信息理論之間的緊密聯系開始發力于復雜量子信息理論計算，本身可以通過對其內在原理的新見解以更集中的方式應用。從這個意義上說，密度重正化方法將處于凝聚態物理和量子計算之間日益增長的糾纏的前沿[21]。

密度矩陣重正化群主要處理低維強關聯的哈密頓量，而當系統的維數超過一維時，由于糾纏熵隨系統尺寸增加而增加，所需的計算資源也將隨系統尺寸指數增加，使得該方法的應用范圍受到了很大限制。解決這個問題的途徑之一，就是發展張量網絡態的重正化群方法，也簡稱為張量重正化群方法。2007年，Levin和Nave利用量子信息論的思想發展了張量重正化群方法，可以有效地求解任意二維經典晶格模型，能夠免于符號問題并適用于具有復雜權重的模型[22]。此后，各種基于變分原理的方法，包括對基態能的變分優化及對定域張量的“全更新”方法也相繼被發展起來，用以進一步提高計算精度。需要提到的是，盡管張量重正化群方法仍需發展與完善，但在二維量子格點及三維經典統計模型的一些案例研究中，該方法已經展露出其他方法所不具有的應用潛力。例如，與高溫超導電性有關的二維Hubbard模型，張量重正化群方法對計算其最佳變分基態很有利。對無序和多體局域化，已有一系列方法用于研究該領域，包括對能量本征態全譜的表示[23]，或者對一維多體局域系統所有本征態的編碼方法。

3.5 動力學平均場方法

現如今，尋找適合強關聯系統的模型或方法仍舊是凝聚態物理領域的一個挑戰。由于現有的數值方法具有一定的局限性，因此動力學平均場方法已成為研究人員關注的對象。動力學平均場方法(DMFT)是一種針對高維強關聯體系的數值方法。該方法基于將固態物理的完整多體問題映射到量子雜質模型，該模型本質上是在滿足自洽條件的浴中嵌入少量量子自由度。該方法提供了相關材料電子結構的最小描述，平等地對待Hubbard帶和準粒子帶。1989年，Metzner和Vollhardt運用該方法研究了無窮維Hubbard模型中費米子間的非平庸相關性，提出在空間維度d→∞時，Hubbard模型可以有一個數學上可嚴格定義的高維極限[24]。

此后，該研究獲得了廣泛關注，1992年，Kotliar和Georges研究組取得了突破性的成果[25]，他們將無限維的Hubbard模型映射到自洽的單雜質Anderson模型上，然后將所得到的局域自能修正代回到原先的晶格模型，最后通過一個自洽方程的迭代求解來確定單雜質Anderson模型中的熱庫參數。這種映射在無限配位數的限制下是精確的，且允許人們在所有相互作用強度下非微擾地研究相關晶格電子動力學。與單粒子理論相反，DMFT的平均場是能量相關的，即動態的，從而充分考慮了局域量子漲落。

由此，DMFT為研究關聯晶格模型提供了一個新的理論框架。隨后，Anisimov與Poteryaev等人將動力學平均場方法與電子結構技術相結合，做出了突破性進展。此外Chitra和Kotliar等人的研究表明動力學平均場方法也可以表述為精確譜密度泛函理論(SDFT)的近似值[26]。在此之后，該方法被迅速推廣至各類強關聯模型，取得了極大的成功[27]。

04 發展與未來

當前，凝聚態物理中的強關聯量子多體問題仍是極具挑戰的研究領域。電子間的強關聯限制了從第一性原理出發的解決方案。研究人員一般會面向具體問題建立一個描述系統低能電子的模型(例如Hubbard模型)，隨后通過數值模擬研究系統物性，揭示物理規律。本節將就關聯量子現象的規律及機理中有潛力的研究領域、計算方法的發展兩個方面展望相關領域的未來。

Ⅰ 關聯量子現象的規律及機理中有潛力的研究領域

(1)高溫超導及贗能隙。在世紀之交，諾貝爾獎獲得者Ginzburg曾被問到物理學中哪些問題看起來格外重要，在他的回答中，室溫超導名列前茅。對于高溫超導系統中出現的一系列奇異金屬行為，如線性電阻、電荷—自旋分離等，研究者發現其與贗能隙緊密聯系。贗能隙類似帶隙，實際上是態密度極低的區域，其對高溫超導體的效應一直受到廣泛關注。隨著計算方法和模擬技術的進步，現如今，尋求描述高溫超導的理論模型和研究相應的譜函數包括贗能隙已經成為凝聚態物理中的一個重要課題。

(2)電子—聲子相互作用。強關聯系統中的電子—電子相互作用和電子—聲子相互作用均不可忽視，然而大多數研究局限于電子—電子相互作用，忽視了電子—聲子相互作用對超導、電荷密度波等的重要影響[28]。Holstein模型是一個廣泛研究電子—電子相互作用和電子—聲子相互作用的模型[29]，現如今已經有很多方法應用于這個模型的研究：如約束路徑輔助場量子蒙特卡羅方法、精確對角化、行列式量子蒙特卡羅方法等等。研究該模型及其擴展也是一個很重要的課題。

(3)量子自旋液體的甄別。量子自旋液體被視為自旋系統的“量子無序”基態，在這些基態中，零點漲落非常強，以至于傳統的磁長程序不存在。由于具有大量糾纏的基態，因此量子自旋液體中有相當獨特的物理，如非局域激發、拓撲等。目前，很少材料被證實為量子自旋液體[30]，因此對自旋模型進行計算模擬以避免實驗上的盲目測試是極有必要的。

(4)非平衡、非厄米量子系統。現實中的系統具有復雜性，往往偏離了熱力學平衡態，從而提高研究的難度。現有的理論方法尚不足以應對這類問題，需要發展新的理論和方法。對強關聯格點模型而言，先前的研究往往關注封閉的、具有實數本征能量的厄米系統，厄米性被視作為研究的核心。然而，真實的物理系統是開放的，它們與外部環境進行了能量、粒子和信息的交換，這意味著很多物理量不再是守恒量[31]。因此，相較于厄米系統被作為一個整體，研究者很多時候對非厄米系統的有限子空間更感興趣。在這種情況下，能量可以在特定的量子子系統和它的環境之間進行交換[32]。包括具有增益和損耗的奇偶時間對稱光學系統、耗散的玻色—愛因斯坦凝聚體、激子—極化激子系統和生物網絡等[33，34]。如今，對凝聚態系統的非厄米描述為闡明非彈性碰撞、無序效應和系統—環境耦合提供了有效的框架，而在拓撲絕緣體被發現后，與凝聚態物理相關的拓撲性研究也變得越來越重要[35]。

Ⅱ 計算方法的改進與發展

(5)克服量子多體系統的指數墻問題。在量子多體系統研究中，隨著粒子數/系統尺度的增加，系統的希爾伯特空間維度將呈指數發散，復雜性也指數型增加，以當今計算機的性能還不足以完全解決。這為描述量子多體波函數或計算相關物理量帶來了極大困難，被諾貝爾化學獎得主Kohn稱為“指數墻”。幾十年來，研究人員為解決這一難題做出了大量努力，如密度矩陣重正化群方法應用于針對低維強關聯系統、量子蒙特卡羅方法等。然而，目前還沒有一種能夠解決所有問題的方法。

(6)改善量子蒙特卡羅方法中的負符號問題。在過去的幾十年里，量子蒙特卡羅方法作為解決各個學科難題的有效工具，在化學、凝聚態物理、核物理等領域中起到了舉足輕重的作用。然而，當重要性采樣中特定量子配置的概率變為負時，就會出現符號問題，極大地限制了該方法的應用。一方面來說，減輕甚或解決符號問題是計算凝聚態物理的核心課題之一；另一方面，Mondaini等人討論了行列式量子蒙特卡羅方法中的符號問題與量子臨界行為的關系[36]，使得相關研究更具挑戰性。

(7)張量重正化群方法的發展和完善。現如今，蒙特卡羅方法已被證明是一種成功的非微擾數值方法。然而，符號問題的存在使得該方法的使用受到了限制。2007年，Levin和Nave提出張量重正化群方法，通過使用奇異值分解近似計算張量網絡的收縮，能夠免于符號問題并適用于具有復雜權重的模型。張量重正化群具有其他方法所不具有的應用潛力，是富有潛力的研究方向。而一系列問題，張量維數增加時的精度問題、非線性導致的變分優化的穩定性問題、精確計算非厄米轉移矩陣本征值等問題表明該方法仍有很大的進步空間，為相關領域提出了新的研究思路。

(8)發展并推廣動力學平均場方法。動力學平均場經過30年發展，如今需要新的創新帶來突破。一方面，不斷有研究嘗試將動力學平均場理論推廣至非平衡系統，如通過映射到自洽雜質問題降低計算的復雜性[37]，取得了一定進展，但缺乏長時間演化下可靠的雜質求解器仍然限制了該方法的發展。另一方面，對無經驗參數的強關聯電子結構的研究，通常采用線性判別降維算法和動力學平均場方法相結合，而由于該方法需要提前設置部分經驗參數，并不能完全滿足研究的需求。

(9)計算物理需要進一步發展算法和開發軟件，這是一個長期且龐大的工程，需要足夠的人力和物力投入。隨著高性能計算機的發展，開發并擁有自主知識產權的軟件對于科學技術與物質模擬變得越來越重要，無論對國家、學界和個人都是如此。計算凝聚態物理領域中，計算軟件具有較高的開發商業化程度，在材料設計方面發揮了重要作用。其中第一性原理電子結構計算程序開發及其在材料設計方面的應用是一個重要的研究方向，基于密度泛函理論(DFT)發展的計算軟件，如VASP、WIEN2K、CASTEP、QE等軟件包的開發降低了第一性原理方法的使用難度，也促進了相關領域的發展。當前，歐洲是第一性原理軟件發展最活躍的地區，美國、日本也有較強的研究實力。我國在發展軟件方面起步晚、投入少，對軟件的開發和商業化不足，迄今仍然難以擺脫對國外軟件產品的依賴。要改變這種現狀，必須加強計算物理方法和軟件人才的培養，重視并大力支持軟件的商業開發研究。

(10)機器學習方法應用于量子多體系統。隨著人工智能和大數據處理的發展，機器學習方法在物理學多個領域以及各類交叉學科中開始有了廣泛的應用，對計算凝聚態物理產生了重要的影響。隨著機器學習方法的介入，計算物理領域全新的方法論正在逐步形成[8]。例如，可以使用深層神經網絡判斷和刻畫相變、表征量子多體波函數；在張量重正化群中運用自動微分技術；通過機器學習提高蒙特卡羅更新效率等。我們期待機器學習方法能夠為強關聯電子領域提供新的研究視角和思路。

05 結論

計算物理是以計算機為工具，以計算方法和軟件為手段研究物質結構及規律的學科。作為近20年來發展最為迅速的領域之一，計算物理從量子力學出發，能夠在原子層級上設計和確定具有不同功能、結構與組分的材料體系，為解釋諸多物理現象提供有力的研究手段。在出現伊始，計算物理主要用于研究物質狀態方程和非線性動力學問題等。隨著計算機能力的增強，計算物理的研究范圍也越來越廣，不僅解決了諸多解析理論無法解決的問題，將理論與實驗結果有機結合，更做到了預測新的物理現象、物理效應、物理規律和新材料等。隨著凝聚態領域研究的不斷深入，材料的結構與物性越發豐富，研究重點向非線性問題、隨機環境與非解析解轉移，而計算物理由于能根據已有的理論框架或模型、解決傳統解析研究無法解決的問題，受到了廣泛的關注與期待，也面臨著困難與挑戰。在面臨電子強關聯和量子漲落大的前提下，發展新的理論與計算方法是迫切而必要的。

當前，面對強關聯電子體系，精確對角化、數值重正化群、量子蒙特卡羅模擬和動力學平均場方法是4種較為常用的方法。每種方法各有優劣，在面向不同適用范圍的同時具有相應的優點和局限性。這些方法并不能滿足研究人員對于計算精度和可計算建模等方面的需求，諸如指數墻問題、量子蒙特卡羅中負符號問題等問題的存在說明現有計算方法仍有很大的改進和發展空間。此外，關聯量子現象的規律及機理如高溫超導機理、量子自旋液體態、非厄米量子系統等問題仍然是廣大研究者關注的課題，這些課題的研究以及解決都和計算物理的發展息息相關。

審核編輯：劉清