MTF描述了不同空間頻率時，從物空間到像空間的調制傳遞函數的模數。MTF是評估透鏡組性能的常用方式，并且在設計過程中，MTF經常會作為優化目標或公差分析目標。

調制傳遞函數（Modulation Transfer Function，MTF）是用來形容光學系統成像質量的重要指標。通過對光學系統像空間進行傅里葉變換，可以得到一張分析圖表，來描述像面上對比度和空間頻率之間的對應關系。

空間頻率是通過聚焦的像空間上每毫米周期數（Cycles）來定義的，或者在無焦像空間中用每毫弧度或其他角度單位中的周期數來定義。“周期數（Cycles）”是描述正弦強度分布MTF響應的最精確的用詞。很多情況下也會使用“線對數（Line pairs）”這一詞，但嚴格來講這一詞只用來形容黑白相間線對目標，而非灰度值正弦變化的目標。這兩種情況在OpticStudio都可以計算。

在本文中，我們探討了OpticStudio中可用的各種采樣方法和MTF算法，以及如何在評價函數中分別使用這些算法。每個算法都有其相對應的優化操作數，其中對比度優化是針對MTF優化的首選。

MTF 示例

如下所示的幾何位圖圖像分析（Geometric Bitmap Image Analysis）中，我們可以看到顯示三個男孩部分的圖像有較好的成像質量，然而我們如何定義它有多好呢？我們可以采用不同線對數的條紋圖的對比度來量化評估成像的結果。

下圖所示為透鏡組的MTF圖表，它提供了在透鏡可以支持的最大空間頻率下任意空間頻率處的對比度。在這個例子中，我們將顯示的最大空間頻率設為100 cycles/mm。圖中黑線表示衍射極限下的成像結果，即相同F數，但無像差的透鏡組所能達到最好的對比度。

注：在幾何位圖圖像分析中顯示的模擬圖片的分辨率受限于圖像的壓縮以及顯示器的分辨率。Opticstudio提供的原始圖片的分辨率達到攝影相片的標準。

夫瑯禾費(FFT)MTF

MTF分析功能可以用圖表的形式提供透鏡系統支持的所有空間頻率下MTF的結果，這一功能使用的MTF算法是以夫瑯禾費衍射理論為基礎的。其計算方法為追跡光瞳上網格排布的一組光線，使用快速傅里葉變化（Fast Fourier Transform）進行計算（因此該方法也稱為FFT MTF）。其MTF計算結果實質為關于物方正弦強度空間頻率的函數的模數（Modulation）。FFT MTF也可以計算實部、虛部、相位或方波強度分布（即黑白相間條紋）的結果。

基于FFT的計算點擴散函數和MTF的方法是眾所周知的，該方法基于夫瑯禾費衍射理論。其主要假設有：

F數足夠大使得標量衍射理論成立

衍射PSF能量顯著區域遠小于光學系統出瞳到像面的距離

出瞳相對入瞳沒有明顯畸變。這表示入瞳上均勻分布的光線在出瞳上也應是合理的均勻分布

高采樣率以滿足準確模擬PSF的要求

大多數光學系統都滿足基于夫瑯禾費衍射理論的FFT MTF算法所必須的簡化假設。

當我們進行優化時，通常情況下只對系統特定空間頻率有要求，這時沒有必要對所有空間頻率的MTF進行計算。因此可以使用操作數MTF*可以計算特定空間頻率下的MTF結果。分析圖表所使用的采樣方法為網格采樣，在使用操作數時您可以選擇繼續使用這種采樣方法，或使用更快速的稀疏采樣方法。稀疏采樣是操作數默認的采樣方法，并且幾乎所有的優化案例中我們都建議您使用這種采樣方法。請查閱幫助手冊獲取更全面的信息The Optimize Tab (sequential UI mode)>Automatic Optimization Group>Merit Function Editor (automatic optimization group>Optimization Operands (Alphabetically)。

稀疏采樣計算的收斂速度非常非常快，某種意義上類似于高斯求積分法。稀疏采樣計算任意精度的MTF所使用的光線數量遠小于網格采樣。并且更重要的是，在夫瑯禾費理論適用的所有情況下，稀疏采樣的精度非常高。

以OpticStudio示例文件中一個雙高斯系統在50lp/mm處計算多波長MTF為例，下述表格展示了兩種方法隨著采樣率逐漸提高后的收斂速度及計算結果：

下表為相同數據下，邊緣視場的計算結果：

通常來講對于優化和公差分析這樣的應用需求，收斂到1%已經足夠了。即便使用儀器測量MTF也無法達到0.1%以下的重復精度。在優化過程中，我們不需要使用很高精度進行計算，通常只需要三位有效數字。兩種采樣方法都可以在足夠的采樣率下收斂到任意精度，然而快速稀疏采樣在保證精度的前提下，計算速度會快很多個量級。

網格采樣目前只會在一種情況下收斂更快：當像差非常大且MFT計算結果非常低（低于5%）。此時的MTF結果通常不會用來評價系統性能，并且一般不會作為優化或公差分析的目標。這種情況下OpticStudio將自動切換至網格采樣進行計算。需要注意的是，此種情況下最好使用幾何MTF進行計算。

幾何MTF

假設我們要分析一個35mm F/1.8的單反相機鏡頭。系統在最大光圈時像差最嚴重。當減小系統光闌，像差隨之減小，像面上的成像質量提高。但像面成像質量不會一直提高：光闌的衍射作用會逐漸增大，在光圈減小到一定程度時會阻止成像質量繼續提高。

在系統存在許多個波長的波前差時，我們推薦您使用幾何MTF計算以及優化操作數GMT*。幾何MTF的計算方法是對幾何點數據進行傅里葉變換，并使用高斯求積進行采樣。

使用幾何MTF最主要的優點在于，相比衍射MTF，幾何MTF計算速度非常快。在系統存在較大像差時，使用幾何MTF計算更加準確，而衍射MTF則需要龐大的采樣率來使結果收斂。在這樣的應用條件下，幾何MTF比衍射MTF的計算速度快100倍以上。

幾何MTF計算可以考慮光學表面的散射作用，表面的散射會增加像面的噪底，進而降低MTF。此外，操作數GMTF在全局搜索優化中非常有用，用戶可以有效地搜索所有參數空間來確定更好的局部極值，即更好的光學結構。

惠更斯MTF

惠更斯MTF并不是基于快速傅里葉變換進行計算的。其前提假設只包括系統F數足夠大以使標量衍射理論成立，以及采樣率足夠高來正確計算PSF。從知識庫文章"What is a Point Spread Function"中您可以了解更多惠更斯計算理論的相關內容。

事實上所有成像系統都滿足計算惠更斯PSF所需要的前提假設。惠更斯MTF的計算速度要比FFT(Fraunhofer) MTF慢。但在FFT MTF前提假設不成立的情況下，惠更斯MTF計算會得到更準確的結果。

以下這種情況只能使用惠更斯MTF進行計算：系統中主光線無法完成追跡，則無法建立以主光線為中心參考的球面。在計算許多波前參數是都需要參考球面。在這樣的情況下，可以改用惠更斯PSF和MTF進行計算。存在這種情況的應用實例之一是多鏡面望遠鏡，其主光線并沒有傳播到像面上。

由于主光線無法追跡到像面，光程差（OPD）無法進行計算，因此基于光程差得到的所有參數都無法計算：

由于惠更斯計算不以任意一根光線作為參考，惠更斯MTF和PSF計算可以得到完美的結果。

此示例文件已保存在OpticStudio的示例文件夾中，其目錄地址為：{Zemax}SamplesNon-sequentialMiscellaneousMultiple mirror telescope.ZOS.

惠更斯計算還有一點好處在于可以考慮多重結構（Multi-configuration）。這對于設計多鏡面望遠鏡非常有幫助，特別是基準線很長的光學儀器系統，這種系統中主鏡被拆分并相隔很長的距離。在這種情況下系統一般不會使用一個共用的入瞳，因為這樣的話會使過少的光線到達主鏡面導致效率很低。在這樣的情況下只有使用惠更斯計算。

如果想要基于惠更斯MTF進行優化或公差分析，您可以使用操作數MTH*。

方法比較

基于夫瑯禾費衍射理論的快速傅里葉變換法是最常見的一種方法。OpticStudio計算透鏡系統支持的所有空間分辨率下的MTF（雖然只顯示那些目標空間頻率的MTF）并將其繪制為MTF vs空間頻率的曲線圖。當進行優化或公差分析時，只有那些目標空間頻率會被計算，對于給定精度的前提下其計算速度會比較快。如果需要的話，可以選擇網格采樣進行計算。

對于那些像差較大的光學系統，幾何MTF會以非常快的速度計算出近似MTF。當設計處于探索階段時，使用幾何MTF是個非常好的選擇，其速度和計算均方根點列圖半徑的速度相當。

對于不符合夫瑯禾費理論的前提假設或主光線不能被追跡的系統，我們可以改用惠更斯計算，惠更斯計算MTF的結果非常準確，但唯一的缺點是計算速度相比較慢。

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審核編輯：湯梓紅