前言

眾所周知，增量式SD-ADC相比傳統結構而言，需要在每次測量開始之前進行復位，以此清零積分器積分電容上的剩余電荷以及數字濾波器中寄存器。然后，在ADC連續轉換時，清零這一操作需要額外操作一次。如果不進行清零直接進行轉換，ADC的精度會損失多少？本文針對這個問題進行了Matlab建模，分析了在兩種常用數字濾波器，級聯積分濾波器（CoI）和SINC濾波器下這一情況的影響。

調制器及測試平臺的Matlab實現

本文Matlab建模了一個常用的二階Sigma-Delta調制器模型，在這個模型中沒有進行系數縮放，具體代碼如下：

clear
format long

Vref=2.5;
M=256; % Sinc濾波器抽取率
L=3;   % Sinc濾波器階數
N=10000; % 測試的直流輸入點數

for j=1:N;
Vin(j)=3/N*j-1.5;

% Second_order SD Modulator
Vout1=0;
Vout2=0;
Vout1(1)=0;%rand(1)*5-2.5;
Vout2(1)=0;%rand(1)*5-2.5;
bs=0;
for i=2:M*L;
    if bs(i-1)>0.5;
        Vout1(i)=Vout1(i-1)+(Vin(j)-Vref);
        Vout2(i)=Vout2(i-1)+Vout1(i-1)+(Vin(j)-Vref)*2;
    else
        Vout1(i)=Vout1(i-1)+(Vin(j)+Vref);
        Vout2(i)=Vout2(i-1)+Vout1(i-1)+(Vin(j)+Vref)*2;
    end

    if Vout2(i)>0;
        bs(i)=1;
    else
        bs(i)=0;
    end
end

Dout1(j)=sinc3_filter(M,L,bs);
Dout2(j)=coi_filter(M*L,bs);
end

E_sinc=Vin-(Dout1*5-2.5);
E_coi =Vin-(Dout2*5-2.5);
figure(1)
plot(Vin,E_sinc,'r');
title('使用SINC3濾波器的轉換誤差')
figure(2)
plot(Vin,E_coi,'b');
title('使用CoI濾波器的轉換誤差')

這個代碼實現的功能包括：

• 一個二階單比特量化的Sigma-Delta調制器；
• 產生N個從-1.5~1.5的直流值輸入調制器；
• 分別使用Sinc3濾波器和CoI濾波器對調制器輸出進行處理；
• 計算ADC在兩種濾波器下分別的轉換誤差。

其中，兩種濾波器Matlab函數的實現代碼分別為：

Sinc3濾波器

function Dout=sinc3_filter(M,L,bs)

sigma1=0;
sigma2=0;
sigma3=0;
delta1=0;
delta2=0;
delta3=0;
sigma3_reg=0;

for i=1:length(bs)
  sigma1=sigma1+bs(i);
  sigma2=sigma2+sigma1;
  sigma3=sigma3+sigma2;
    delta1_temp=sigma3-sigma3_reg;
    delta2_temp=delta1_temp-delta1;
    delta3_temp=delta2_temp-delta2;
  if(mod(i,M)==0)
    sigma3_reg=sigma3;
    delta1=delta1_temp;
    delta2=delta2_temp;
    delta3=delta3_temp;
  end
end

Dout=delta3/M^3;
end

CoI濾波器

function Dout=coi_filter(N,bs)

sigma1=0;
sigma2=0;

for i=1:N
  sigma2=sigma2+sigma1;
  sigma1=sigma1+bs(i);
end
Dout=sigma2/(N*(N-1)/2);

end

復位/不復位時兩種濾波器的轉換誤差對比

存在復位時，在代碼中每次轉換開始之前將兩個積分器的輸出的初值設置為0，如下代碼所示：

Vout1(1)=0;
Vout2(1)=0;

這種情況下，兩種濾波器的轉換誤差如下圖所示：

上圖中使用兩種濾波器的轉換誤差幾乎相近，這與文獻[1]中的結論相符，即：在相同的轉換時鐘周期下，Sinc3濾波器可以實現與CoI幾乎相同的轉換誤差。

不復位時，調制器的積分器1和積分器2的輸出會保持為上一次結束時的終態值，實際中這一值會和輸入電壓大小，熱噪聲等調制器的非理想因素相關，因此很難在模型中根據原理給出。為了簡便起見，本文模型通過產生一個±VREF的隨機數賦給積分器1和積分器2的輸出初態來實現近似的效果，代碼如下所示：

Vout1(1)=rand(1)*5-2.5;
Vout2(1)=rand(1)*5-2.5;

這種情況下，兩種濾波器的轉換誤差如下圖所示：

如上圖所示，不復位時，使用sinc3濾波器并未使轉換精度降低太多，而使用CoI濾波器轉換精度急劇下降。這是因為兩者對輸出碼處理的權重不同導致的。對Sinc3濾波器而言，在假設轉換周期數為N，那么第一個輸出碼的權重為1，所有輸出碼權重和為(N/3) ^3^ ，因此第一個輸出碼對最終輸出數據影響的比重為：1/((N/3) ^3^ )。而對CoI濾波器而言，第一個輸出碼的權重為(N-1),所有輸出碼權重和為N*(N-1)/2，因此第一個輸出碼對最終輸出數據影響的比重為：2/N. 當不進行復位操作時，直接的影響為第一個輸出碼（或前幾個輸出碼）所攜帶的量化噪聲很大，而相比采用CoI濾波器而言，采用Sinc3濾波器時第一個輸出碼的比重小了很多，因此這個因為沒有復位造成的超大量化噪聲被更好地稀釋，從而對輸出碼的影響相比采用CoI濾波器急劇降低，基本可以忽略不復位的影響。

（感興趣的讀者可以進一步證明，第一級積分器不復位對CoI濾波器的影響比第二級積分器不復位的影響大很多。）

總結

由上述模型可以發現，設計增量式Sigma-Delta調制器時，如果采用Sinc濾波器，那么即使在開始轉換的時候不進行復位，積分器仍然保存上次轉換結束所殘余的輸出值，也不會對輸出結果造成太多的誤差。因此，如果設計者所設計的增量式SD-ADC采用了Sinc濾波器，那么可以不設計額外的復位操作，尤其是連續轉換時，這樣仍然不會影響ADC的精度。