在本系列的第一篇文章中，檢查了濾波器階段與濾波器實現拓撲的關系。在第二篇文章中，檢查了低通和高通響應的濾波器傳遞函數的相移。本文將重點介紹帶通響應。雖然濾波器主要針對其幅度響應而設計，但相位響應在某些應用中可能很重要。

為了便于審查，有源濾波器的傳遞函數實際上是濾波器傳遞函數和放大器傳遞函數的級聯（見圖1）。

圖1.濾波為兩個傳遞函數的級聯。

帶通傳遞函數

將低通原型的分子更改為

將濾波器轉換為帶通功能。這將在傳遞函數中放置一個零。分子中的 s 項給了我們一個零，分子中的 s 項給了我們一個極點。零將給出頻率上升響應，而極點將給出頻率下降響應。

二階帶通濾波器的傳遞函數為：

ω0 這里是頻率 （F0= 2 π ω0），此時濾波器的增益達到峰值。

H0是電路增益（Q峰值），定義為：

其中 H 是濾波器實現的增益。

Q對于帶通響應具有特殊含義。它是過濾器的選擇性。它被定義為：

其中 FL 和 FH 是響應從最大值開始 –3 dB 的頻率。

濾波器的帶寬 （BW） 描述為：

可以證明諧振頻率（F0） 是 F 的幾何平均值L和 FH，這意味著 F0將出現在 F 之間的中間L和 FH在對數刻度上。

另外，請注意，帶通響應的裙邊將始終圍繞F對稱0在對數刻度上。

帶通濾波器對各種Q值的幅度響應如圖2所示。在此圖中，中心頻率處的增益歸一化為1 （0 dB）。

圖2.歸一化帶通濾波器幅度響應。

同樣，本文主要關注相位響應，但了解濾波器的幅度響應很有用。

在這里要注意一句話是恰當的。帶通濾波器可以通過兩種不同的方式定義。窄帶情況是我們上面顯示的經典定義。然而，在某些情況下，如果高截止頻率和低截止頻率相距甚遠，則帶通濾波器由單獨的高通和低通部分構成。在這種情況下，廣泛相距意味著至少相隔兩個八度（頻率為×4）。這是寬帶情況。我們主要關注本文的窄帶情況。對于寬帶情況，將濾波器評估為單獨的高通和低通部分。

雖然帶通濾波器可以根據標準響應來定義，例如巴特沃斯、貝塞爾或切比雪夫，但它們通常也由其Q和F定義0.

帶通濾波器的相位響應為：

請注意，沒有單極點帶通濾波器這樣的東西。

圖3.歸一化帶通濾波器相位響應。

圖3評估了公式6從低于中心頻率二十倍頻到高于中心頻率二十倍頻的曲線。中心頻率的相移為0°。中心頻率為1，Q為0.707。這與上一篇文章中使用的 Q 相同，盡管在那篇文章中我們使用了α。請記住α = 1/Q。

檢查顯示，該曲線的形狀與低通曲線（以及高通曲線）的形狀基本相同。然而，在這種情況下，相移從低于中心頻率的90°到中心頻率的0°到高于中心頻率的–90°。

在圖4中，我們研究了帶通濾波器在Q值變化時的相位響應。如果我們看一下傳遞函數，我們可以看到相位變化可以在相對較大的頻率范圍內發生，并且變化的范圍與電路的Q成反比。同樣，檢查表明曲線與低通（和高通）響應的曲線具有相同的形狀，只是范圍不同。

圖4.具有不同Q值的歸一化帶通濾波器相位響應。

放大器傳遞函數

在前幾期中已經表明，傳遞函數基本上是單極點濾波器的傳遞函數。雖然放大器的相移通常被忽略，但它會影響復合濾波器的整體傳輸。本文任意選擇AD822用于濾波器仿真。選擇它部分是為了盡量減少對濾波器傳遞函數的影響。這是因為放大器的相移頻率遠高于濾波器本身的轉折頻率。AD822的傳遞函數如圖5所示，該信息直接取自數據手冊。

圖5.AD822波特圖增益和相位。

示例1：Q = 20的1 kHz、2極點帶通濾波器

第一個例子是從一開始就設計為帶通的濾波器。我們任意選擇1 kHz的中心頻率和20的Q。由于Q值偏高，我們將使用雙放大器帶通（DABP）配置。同樣，這是一個任意的選擇。

我們使用參考文獻 1 中的設計公式。合成電路如圖6所示：

圖6.1 kHz，Q = 20 DABP帶通濾波器。

在本文中，我們主要關注相位，但我認為檢查幅度響應很有用。

圖7.1 kHz，Q = 20 DABP帶通濾波器幅度響應。

我們在圖8中看到相位響應：

圖8.1 kHz，Q = 20 DABP帶通濾波器相位響應。

請注意，DABP 配置是同相的。圖 8 與圖 3 匹配。

示例2：1 kHz、3極點0.5 dB切比雪夫低通至帶通濾波器變換

濾波器理論基于低通原型，然后可以將其操縱成其他形式。在本例中，將使用的原型是1 kHz、3極點、0.5 dB切比雪夫濾波器。選擇切比雪夫濾波器是因為如果響應不正確，它會更清楚地顯示。例如，通帶中的波紋不會對齊。在這種情況下，巴特沃斯過濾器可能太寬容了。選擇3極點濾波器，以便變換極點對和單極點。

LP原型的極點位置（來自參考文獻1）為：

第一階段是極對，第二階段是單極。請注意對兩個完全獨立的參數使用 α 的不幸約定。左側的α和β是 s 平面中的極點位置。這些是轉換算法中使用的值。右邊的α是1/Q，這是物理濾波器的設計公式想要看到的。

低通原型現在轉換為帶通濾波器。參考文獻 1 中概述的公式字符串用于轉換。原型濾波器的每個極點將轉換為一極對。因此，3極原型在轉換時將具有六個極（3極對）。此外，原點將有六個零。沒有單極帶通這樣的東西。

轉換過程的一部分是指定所得濾波器的3 dB帶寬。在這種情況下，此帶寬將設置為 500 Hz。轉換結果：

實際上，將較低增益、較低Q值的部分放在串中的第一個位置可能會很有用，以最大限度地提高信號電平處理能力。前兩級增益要求的原因是它們的中心頻率將相對于總濾波器的中心頻率衰減（即，它們將位于其他部分的裙邊）。

由于得到的Q是中等的（小于20），因此將選擇多重反饋拓撲。參考文獻1中多反饋帶通濾波器的設計公式用于設計濾波器。圖9顯示了濾波器本身的原理圖。

圖9.1 kHz、6 極點、0.5 dB 切比雪夫帶通濾波器。

在圖10中，我們查看了整個濾波器的相移。該圖顯示了單獨第一部分（第1部分）、前兩部分一起（第2部分）和整個濾波器（第3部分）的相移。這些顯示了“實際”濾波器部分的相移，包括放大器的相移和濾波器拓撲的反轉。

圖 10 中有幾個細節需要注意。首先，相位響應是累積的。第一部分顯示了180°的相位變化（濾波器函數的相移，不考慮濾波器拓撲的相移）。第二部分顯示了360°的相變，這是由于有兩個部分，兩個部分各180°。請記住，360° = 0°。第三部分顯示了540°的相移，每個部分為180°。另請注意，在高于10 kHz的頻率下，由于放大器響應，我們開始看到相位略有滾降。我們可以看到，滾降再次是累積的，每個部分都在增加。

圖 10.1 kHz、6極點、0.5 dB切比雪夫帶通濾波器的相位響應。

在圖11中，我們可以看到整個濾波器的幅度響應。

圖 11.1 kHz、6 極點、0.5 dB切比雪夫帶通濾波器的幅度響應。

結論

本文考慮帶通濾波器的相移。在本系列的前幾篇文章中，我們研究了與濾波器拓撲以及高通和低通拓撲相關的相移。在以后的文章中，我們將介紹陷波和全通濾波器。在最后一部分中，我們將將它們聯系在一起，并研究相移如何影響濾波器的瞬態響應，研究群延遲、脈沖響應和階躍響應，以及這對信號意味著什么。

審核編輯：郭婷