眾所周知,有限元分析中的應(yīng)力計(jì)算是一個(gè)人們經(jīng)常討論的話題。本文結(jié)合前段時(shí)間一位名叫Marcus的網(wǎng)友(以下簡(jiǎn)稱小M)發(fā)來的問題,從另一個(gè)工程師們常常忽略的方面——軟件繪圖顯示設(shè)置的角度來談?wù)剳?yīng)力結(jié)果的問題,希望能引起讀者的思考和共鳴。
一、寫在文前
實(shí)際上,有限元模型的應(yīng)力解答分成很多種,以ANSYS軟件為例,在Mechanical APDL和Mechanical(WB)中就包括積分點(diǎn)應(yīng)力、單元節(jié)點(diǎn)應(yīng)力、平均節(jié)點(diǎn)應(yīng)力、僅表面平均的節(jié)點(diǎn)應(yīng)力、跨體平均節(jié)點(diǎn)應(yīng)力、不跨體平均節(jié)點(diǎn)應(yīng)力等等。即便是基于同一個(gè)結(jié)果文件,繪制出來的應(yīng)力分布圖也會(huì)有所差異。
在很多情況下,不同軟件之間比較計(jì)算結(jié)果也存在類似的問題。在比較有限元分析的應(yīng)力結(jié)果時(shí),也需要統(tǒng)一顯示選項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)。是不是感覺會(huì)有點(diǎn)繞 ?當(dāng)然這里說的顯示選項(xiàng)統(tǒng)一,并不總能保證可以發(fā)現(xiàn)結(jié)果在精度上是否存在問題,但也的確是軟件使用者不能忽視的問題的另一個(gè)方面。下面來看具體的問題。
二、教你識(shí)別應(yīng)力結(jié)果顯示中的“假象”
小M最初發(fā)來的問題,只是兩張?jiān)贏NSYS Mechanical APDL中顯示的應(yīng)力分布圖片,他發(fā)現(xiàn)在不同的顯示模式下,應(yīng)力等值線圖中標(biāo)注的最大應(yīng)力值存在著明顯的差異,那么到底哪個(gè)才是對(duì)的呢?
針對(duì)這個(gè)問題,我?guī)退M(jìn)行了分析。在討論問題的過程中,小M又陸續(xù)發(fā)來了一系列不同模型的計(jì)算結(jié)果的圖片,這些進(jìn)一步豐富了我們下面所要討論的問題。
實(shí)際上,這個(gè)問題至少可以從顯示模式、單元類型、網(wǎng)格密度等幾個(gè)不同的方面來進(jìn)行討論。為了讓讀者能跟上我們的思路,還是大致按照小M的提問和我的回答過程來敘述這個(gè)問題。
1、線性四面體單元較粗網(wǎng)格劃分的情況
小M最初發(fā)來的是兩張如下所示的應(yīng)力等值線圖。
在這個(gè)問題中,涉及到Mechanical APDL中增強(qiáng)圖形顯示模式。可能現(xiàn)在使用Mechanical APDL的用戶已經(jīng)不多,更多的用戶會(huì)選擇使用ANSYS Workbench中的Mechanical進(jìn)行結(jié)構(gòu)計(jì)算。不過即使是Workbench用戶,繼續(xù)閱讀本文下面的內(nèi)容也會(huì)有所啟發(fā),因?yàn)橄嚓P(guān)問題的背景原理是相通的。
在這兩張應(yīng)力圖中,增強(qiáng)顯示模式的應(yīng)力最大值大約為218,而非增強(qiáng)模式則約為204,差異還是很明顯的。那么應(yīng)以哪一個(gè)為準(zhǔn)呢?我第一反應(yīng)是這個(gè)問題的網(wǎng)格是不夠精密的,所以就讓小M發(fā)一下這次計(jì)算所采用的網(wǎng)格圖。
如下圖所示,這是他發(fā)來的網(wǎng)格圖,這次計(jì)算是采用的線性的四面體單元。
為了跟后面的計(jì)算結(jié)果相區(qū)別,我們姑且將這個(gè)模型稱之為較粗的線性四面體網(wǎng)格模型。
我在看到這個(gè)網(wǎng)格后,建議小M加密網(wǎng)格再來算一次,一方面能夠縮小兩種顯示模式下的應(yīng)力值的差距,另一方面,也必然能夠得到更精確的結(jié)果。
2、局部加密的線性四面體網(wǎng)格情況
小M也是很認(rèn)真,加密到局部幾乎是黑乎乎的程度,以至于不得不將視圖局部放大,才能看到所關(guān)心部位在加密后的網(wǎng)格情況,如下圖所示。
基于局部加密后的網(wǎng)格,分別得到增強(qiáng)顯示模式以及非增強(qiáng)顯示模式下的應(yīng)力分布結(jié)果如下圖所示。
從上述顯示的應(yīng)力結(jié)果可知,是否采用增強(qiáng)顯示模式,最大應(yīng)力值已經(jīng)幾乎沒有什么差異了。而且顯示的應(yīng)力最大值也與較粗網(wǎng)格的結(jié)果有了顯著的不同,精度的話肯定提高了,但是顯示云圖上似乎毛毛刺還不是很“絲滑”,這個(gè)結(jié)果的精度到底怎么樣呢?這可能還需要結(jié)合其他單元的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行橫向的綜合比較。由此可見,線性的四面體單元的確效率不高,因?yàn)榫W(wǎng)格的確已經(jīng)很密了。
那么,能不能基于上述結(jié)果簡(jiǎn)單下結(jié)論,即:網(wǎng)格較粗時(shí)不同顯示模式的應(yīng)力數(shù)值就會(huì)有顯著差異,而細(xì)致一些的網(wǎng)格就不會(huì)有差異呢?答案其實(shí)是否定的。目前只能說,線性四面體單元加密后的計(jì)算結(jié)果,對(duì)于顯示模式變得不敏感了。
另一方面,四面體網(wǎng)格的應(yīng)力結(jié)果在不同顯示模式下的差異暴露出了計(jì)算精度(網(wǎng)格密度)方面存在的問題。但是,能不能反過來說不同顯示模式下沒有差異,就說明精度足夠呢?答案同樣是否定的。
What?網(wǎng)友小M感覺已經(jīng)被我徹底繞暈了!可能很多讀者讀到這里時(shí)也都有著和小M一樣的感受吧?
為了繼續(xù)解答大家的疑問,我們接著往下看小M同學(xué)分析的六面體網(wǎng)格情況。
3、較粗的線性六面體網(wǎng)格劃分情況
如下圖所示為線性的六面體單元的網(wǎng)格,為了與后面的計(jì)算相區(qū)分,我們姑且稱之為較粗的線性六面體單元網(wǎng)格。注意,這個(gè)模型并非全六面體網(wǎng)格,但至少在關(guān)心的區(qū)域是六面體的。
基于這一網(wǎng)格計(jì)算的應(yīng)力解答,分別在增強(qiáng)顯示模式和非增強(qiáng)顯示模式下提取應(yīng)力分布圖,如下圖所示。
由上述計(jì)算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),采用線性的六面體網(wǎng)格劃分時(shí),即使網(wǎng)格較粗,但是打開和關(guān)閉增強(qiáng)顯示模式,等值線圖顯示的應(yīng)力最大值卻幾乎沒有差異。
但是另一方面,也注意到應(yīng)力的數(shù)值和前面加密的線性四面體網(wǎng)格相比,卻有著顯著的差別。即便應(yīng)力的分布較為“絲滑”,也不能夠認(rèn)定其是準(zhǔn)確的。
小M認(rèn)為,既然這個(gè)粗的六面體網(wǎng)格的結(jié)果在兩種顯示模式下都沒有區(qū)別了,那么這個(gè)線性六面體單元加密后應(yīng)該更加沒有區(qū)別。饒是如此,他還是計(jì)算了下面的加密線性六面體網(wǎng)格的情況。
4、較細(xì)的線性六面體網(wǎng)格情況
小M繼續(xù)發(fā)來了較細(xì)的線性六面體單元網(wǎng)格圖,如下圖所示。
基于局部加密的線性六面體單元計(jì)算的應(yīng)力結(jié)果,分別得到增強(qiáng)和非增強(qiáng)兩種圖形顯示模式下的應(yīng)力分布圖如下。
由上述計(jì)算結(jié)果可知,線性六面體單元在網(wǎng)格加密后的結(jié)果不出所料,對(duì)不同的顯示模式依然不敏感。另一方面,從應(yīng)力的最大數(shù)值上來看,倒是與加密的線性四面體網(wǎng)格的計(jì)算結(jié)果較為接近了。
5、較粗二次單元四面體網(wǎng)格情況
緊接著,小M又計(jì)算了二次單元的四面體網(wǎng)格情況,網(wǎng)格密度大致與前面線性四面體單元較粗的網(wǎng)格水平相當(dāng),如下圖所示。
基于這個(gè)網(wǎng)格的應(yīng)力計(jì)算結(jié)果,分別提取了打開或關(guān)閉增強(qiáng)顯示模式下的應(yīng)力等值線圖,如下圖所示。
由上述結(jié)果可知,采用二次的四面體單元進(jìn)行劃分時(shí),不同顯示模式的結(jié)果還是有著比較明顯的差異,但這種差異顯然沒有線性單元那么顯著。另一方面,從應(yīng)力的最大值角度來看,與前面加密網(wǎng)格的線性四面體單元、線性六面體單元的結(jié)果也都很接近了。
至此,很多人可能還想看看二次四面體網(wǎng)格加密情況的計(jì)算結(jié)果,實(shí)際上已經(jīng)沒有必要了。
三、結(jié)果匯總與討論
為了對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較,首先把以上各種情況的結(jié)果匯總到下面的表格中,圖中應(yīng)力數(shù)值均精確到整數(shù)。
由上述表格中匯總的數(shù)據(jù)比較,結(jié)合ANSYS手冊(cè)中關(guān)于增強(qiáng)顯示模式的說明,可以得到如下幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)或結(jié)論:
1、結(jié)論總結(jié)
(1)無論線性單元還是二次單元,當(dāng)采用四面體劃分時(shí),是否選擇增強(qiáng)模式顯示,應(yīng)力結(jié)果的最大值都存在顯著的差異。之所以會(huì)有這樣的差異,是由于增強(qiáng)顯示模式在顯示應(yīng)力解時(shí),只針對(duì)實(shí)體的外表面單元進(jìn)行平均,而不考慮內(nèi)部單元。如果四面體單元在外表面僅有一個(gè)節(jié)點(diǎn)而其余部分均處于體的內(nèi)部時(shí),顯然是不參與計(jì)算的,因此四面體單元無論是線性還是二次,在兩種模式下顯示的應(yīng)力結(jié)果會(huì)有顯著差異。而且,由于打開增強(qiáng)模式時(shí),由于參與平均的單元數(shù)少且表面應(yīng)力值一般較大,因此其顯示的數(shù)值一般更高,即偏于“保守”。這里對(duì)保守加了引號(hào)的原因,是因?yàn)檫@并不意味著偏于安全。
(2)是否打開增強(qiáng)模式下的應(yīng)力數(shù)值差異會(huì)隨著四面體網(wǎng)格的加密而變得不顯著。盡管沒有讓小M再補(bǔ)充計(jì)算二次四面體單元網(wǎng)格加密后的情況,但結(jié)論也肯定是成立的。
(3)當(dāng)采用六面體網(wǎng)格劃分時(shí),由于表面的節(jié)點(diǎn)僅屬于表層單元,因此無論增強(qiáng)模式打開與否,因此顯示的應(yīng)力數(shù)值幾乎沒有差異。當(dāng)然,加密后也同樣沒有差異。表格中盡管沒有對(duì)二次六面體單元的情況進(jìn)行計(jì)算,結(jié)論也肯定是成立的。在這里需要注意的是,線性六面體單元計(jì)算的情形,即使兩種顯示模式下的結(jié)果數(shù)值沒有差異,且應(yīng)力的等值線圖也很“絲滑”了,也不能簡(jiǎn)單判定這個(gè)計(jì)算結(jié)果就是準(zhǔn)確的。
2、討論:到底哪一個(gè)應(yīng)力結(jié)果是對(duì)的?
① 那么到底哪種情況下的應(yīng)力結(jié)果是準(zhǔn)確的呢?
是的,到目前為止還沒有給出這個(gè)問題的答案,這是因?yàn)檫@個(gè)問題并不是本文所討論的重點(diǎn)。實(shí)際上,應(yīng)力的數(shù)值精確與否跟圖形顯示模式的選取之間沒有實(shí)質(zhì)性的關(guān)系,注意不是沒有關(guān)系,而是沒有實(shí)質(zhì)性的關(guān)聯(lián)。
② 哪個(gè)結(jié)果更準(zhǔn)確,這其實(shí)是屬于另一個(gè)問題。
前面的問題僅僅是在討論不同的顯示模式對(duì)結(jié)果數(shù)值顯示的影響,而并不涉及哪個(gè)分析方案計(jì)算得出的精度更高。
③ 下面簡(jiǎn)單討論一下上述問題計(jì)算結(jié)果的精度問題。
由于二次四面體單元的插值函數(shù)包含完備的二次項(xiàng),因此它的計(jì)算結(jié)果精度要高一些。另外,線性單元加密后無論是四面體還是六面體,計(jì)算結(jié)果也比較接近了,且與二次四面體單元的計(jì)算結(jié)果的差異也僅在2%左右,這幾個(gè)數(shù)值幾乎已經(jīng)是一致的了,因此可以認(rèn)為這些解答都已經(jīng)足夠準(zhǔn)確。
當(dāng)然,與二次四面體單元的較粗網(wǎng)格相比,線性單元要達(dá)到相似精度,就需要進(jìn)行網(wǎng)格加密。本問題中,小M實(shí)際采用的線性單元,其實(shí)是SOLID185的四面體退化形式以及六面體形式,這些線性單元的插值函數(shù)僅包含交叉乘積項(xiàng)而沒有完備的二次項(xiàng),因此只有使用相對(duì)較密的網(wǎng)格才能逼近問題的正確解答。
綜上所述,應(yīng)力計(jì)算是有限元分析中很重要的方面。拋開計(jì)算精度不講,查看應(yīng)力的數(shù)值時(shí),還需要注意顯示模式選擇方面所帶來的差異性。在不同的軟件進(jìn)行結(jié)果對(duì)比時(shí),尤其要注意這類問題,在模式上不進(jìn)行對(duì)標(biāo),僅查看和比較數(shù)值是沒有意義的。
至此,小M終于徹底明白了,讀者朋友們明白了嗎?
[編者按]
本文中,作者對(duì)一個(gè)看似簡(jiǎn)單的問題進(jìn)行了認(rèn)真的剖析,針對(duì)網(wǎng)友小M的問題進(jìn)行了深入淺出、由此及彼、由表及里的全面講解。實(shí)際上,這也折射出作者在授課過程中一貫的技術(shù)風(fēng)格——善于從實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)問題,并基于扎實(shí)的理論基礎(chǔ)知識(shí)和對(duì)軟件應(yīng)用的深刻理解,在深入細(xì)致的分析后得到正確的認(rèn)知。
審核編輯 :李倩
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原文標(biāo)題:尚曉江博士:從繪圖模式角度來識(shí)別應(yīng)力結(jié)果顯示中的“假象”
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