在使用濾波器的應用中，幅度響應通常比相位響應更受關注。但在某些應用中，濾波器的相位響應很重要。這方面的一個例子可能是過濾器是過程控制循環的元素。這里關注的是總相移，因為它可能會影響環路穩定性。用于構建濾波器的拓撲是否在某些頻率下產生符號反轉可能很重要。

將活動篩選器可視化為兩個級聯篩選器可能很有用。一個是理想濾波器，體現傳遞方程;另一個是用于構建濾波器的放大器。如圖 1 所示。閉合負反饋環路中使用的放大器可以被視為具有一階響應的簡單低通濾波器。增益隨高于某個斷點的頻率而滾降。此外，如果放大器用于反相配置，則實際上在所有頻率下都會有額外的180°相移。

圖1.濾波為兩個傳遞函數的級聯。過濾器設計是一個兩步過程。

首先，選擇濾波器響應;然后，選擇電路拓撲來實現它。濾波器響應是指衰減曲線的形狀。通常，這是經典的反應之一，例如巴特沃斯，貝塞爾或某種形式的切比雪夫。雖然通常選擇這些響應曲線來影響幅度響應，但它們也會影響相位響應的形狀。為了在本討論中進行比較，幅度響應將被忽略，并認為基本上是恒定的。

濾波器復雜性通常由濾波器“階數”定義，該階數與儲能元件（電感器和電容器）的數量有關。濾波器傳遞函數分母的階數定義了頻率增加時的衰減率。漸近濾波器滾降速率為 –6 n dB/倍頻程或 –20 n dB/十倍頻程，其中n 是極數。八度是頻率的加倍或減半;十年是頻率的十倍增加或減少。因此，一階（或單極）濾波器的滾降率為–6 dB/倍頻程或–20 dB/十倍頻程。同樣，二階（或2極）濾波器的滾降率為–12 dB/倍頻程或–40 dB/十倍頻程。高階濾波器通常由級聯的一階和二階模塊組成。當然，可以用單個活動級構建三階甚至四階部分，但是對分量值的敏感性以及分量之間相互作用對頻率響應的影響急劇增加，使得這些選擇的吸引力降低。

傳遞方程

首先，我們將看一下傳遞方程的相位響應。對于相同階次的所有濾波器選項，傳遞函數的相移將是相同的。對于單極點低通情況，傳遞函數具有相移Φ，由下式給出

(1)

其中：
ω = 頻率（弧度每秒）
ω0= 中心頻率（弧度每秒）

以弧度每秒為單位的頻率等于以赫茲 （f） 為單位的頻率的 2π 倍，因為在 2° 周期中有 360π 弧度。由于表達式是無量綱比率，因此可以使用 f 或 ω。

中心頻率也可以稱為截止頻率（單極點低通濾波器的幅度響應下降3 dB—約30%）的頻率。就相位而言，中心頻率將處于相移為其極限值–50°的90%的點（在本例中）。圖2為半對數圖，計算了公式1從低于中心頻率二十倍頻到高于中心頻率二十倍頻的范圍。中心頻率（=1）的相移為–45°。

圖2.單極點低通濾波器關于中心頻率的相位響應（同相響應，左軸;反相響應，右軸）。

同樣，單極點高通濾波器的相位響應由下式給出：

(2)

圖3評估了公式2從低于中心頻率二十倍頻程到高于中心頻率二十倍頻程的系數。歸一化中心頻率（=1）的相移為+45°。

很明顯，高通和低通相位響應相似，僅偏移了90°（π/2弧度）。

圖3.中心頻率為1的單極點高通濾波器的相位響應（同相響應，左軸;反相響應，右軸）。

對于二階低通情況，傳遞函數具有相移，其近似公式為

(3)

其中α是濾波器的阻尼比。它將確定幅度響應的峰值和相變的尖銳度。它是電路Q值的倒數，這也決定了幅度滾降或相移的陡峭程度。北海的α為1.414（Q為0.707），產生最大平坦的響應。較低的α值將導致幅度響應出現峰值。

圖4.中心頻率為2的1極點低通濾波器的相位響應（同相響應，左軸;反相響應，右軸）。

圖4評估了該方程（使用α = 1.414），從低于中心頻率二十倍頻到高于中心頻率二十倍頻。這里的中心頻率（=1）顯示–90°的相移。2極點高通濾波器的相位響應近似公式為：

(4)

在圖5中，計算了這個方程（再次使用α = 1.414），從低于中心頻率二十倍頻程到高于中心頻率（=1）二十倍頻程，顯示相移為–90°。

Figure 5. Phase response of a 2-pole, high-pass filter with a center frequency of 1 (in-phase response, left axis; inverted response, right axis).

Again, it is evident that the high-pass and low-pass phase responses are similar, just shifted by 180° (π radians).

In higher-order filters, the phase response of each additional section is cumulative, adding to the total. This will be discussed in greater detail later. In keeping with common practice, the displayed phase shift is limited to the range of ±180°. For example, –181° is really the same as +179°, 360° is the same as 0°, and so on.

First-Order Filter Sections

First-order sections can be built in a variety of ways. The most straightforward way is illustrated in Figure 6, simply using a passive R-C configuration. The center frequency of this filter is 1/(2πRC). It is commonly followed by a noninverting buffer amplifier to prevent loading by the circuit following the filter, which could alter the filter response. In addition, the buffer can provide some drive capability. The phase will vary with frequency as shown in Figure 2, with 45° phase shift at the center frequency, exactly as predicted by the transfer equation, since there are no extra components to modify the phase shift. That response will be referred to as the in-phase, first-order, low-pass response. The buffer will add no phase shift, as long as its bandwidth is significantly greater than that of the filter.

Figure 6. Passive, low-pass filter.

Remember that the frequency in these plots is normalized, i.e., the ratio to the center frequency. If, for example, the center frequency were 5 kHz, the plot would provide the phase response to frequencies from 50 Hz to 500 kHz.

An alternative structure is shown in Figure 7. This circuit, which adds resistance in parallel to continuously discharge an integrating capacitor, is basically a lossy integrator. The center frequency is again 1/(2πRC). Because the amplifier is used in the inverting mode, the inversion introduces an additional 180° of phase shift. The input-to-output phase variation with frequency, including the amplifier’s phase inversion, is shown in Figure 2 (right axis). This response will be referred to as the inverted, first-order, low-pass response.

Figure 7. Active, single-pole, low-pass filter using an op amp in the inverting mode.

The circuits shown above, which attenuate the high frequencies and pass the low frequencies, are low-pass filters. Similar circuits also exist to pass high frequencies. The passive configuration for a first-order, high-pass filter is shown in Figure 8; and its phase variation with normalized frequency is shown in Figure 3 (in-phase response).

Figure 8. Passive, high-pass filter.

The plot in Figure 3 (left axis) will be referred to as the in phase, first-order, high-pass response. The active configuration of the high-pass filter is shown in Figure 9. The phase variation with frequency is shown in Figure 3 (right axis). This will be referred to as the inverted, first-order, high-pass response.

Figure 9. Active, single-pole, high-pass filter.

Second-Order Sections

A variety of circuit topologies exists for building second-order sections. To be discussed here are the Sallen-Key, the multiple-feedback, the state-variable, and its close cousin, the biquad. They are the most common and are relevant here. More complete information on the various topologies is given in the References.

Sallen-Key, Low-Pass Filter

廣泛使用的Sallen-Key配置，也稱為壓控電壓源（VCVS），于1955年由麻省理工學院林肯實驗室的R. P. Sallen和E. L. Key首次推出（見參考文獻3）。圖10是二階低通濾波器的示意圖。這種配置受歡迎的一個原因是，其性能基本上與運算放大器的性能無關，因為放大器主要用作緩沖器。由于跟隨器連接的運算放大器不用于基本Sallen-Key電路中的電壓增益，因此其增益帶寬要求并不重要。這意味著，對于給定的運算放大器帶寬，與涉及可變反饋環路中的放大器動態的其他拓撲相比，可以使用該固定（單位）增益設計更高頻率的濾波器。信號相位通過濾波器保持（同相配置）。Q = 0.707（或阻尼比，α = 1/Q為1.414—巴特沃茲響應）的Sallen-Key低通濾波器的相移與頻率的關系圖如圖4（左軸）所示。為了簡化比較，這將是此處要考慮的二階部分的標準性能。

圖 10.2極點，薩倫鍵，低通濾波器。

薩倫鍵高通濾波器

為了將Sallen-Key低通轉換為高通配置，頻率確定網絡中的電容和電阻互換，如圖11所示，同樣使用單位增益緩沖器。相移與頻率的關系如圖5（左軸）所示。這是同相、二階、高通響應。

圖 11.2極，薩倫鍵，高通濾波器。

Sallen-Key濾波器中的放大器增益可以通過將反饋路徑中的阻性衰減器連接到運算放大器的反相輸入來提高。但是，改變增益會影響頻率確定網絡的方程，并且必須重新計算分量值。此外，放大器的動態特性更可能需要仔細檢查，因為它們會向環路引入增益。

多反饋 （MFB） 低通濾波器

多反饋濾波器是一種單放大器配置，基于運算放大器作為反饋環路內的積分器（反相配置）（見圖12）。因此，傳遞函數對運算放大器參數的依賴性大于Sallen-Key實現。由于運算放大器在高頻下的開環增益有限，因此很難產生高Q值、高頻部分。指導原則是，運算放大器的開環增益應至少比諧振（或截止）頻率下的幅度響應高20 dB（即×10），包括濾波器Q引起的峰值。Q引起的峰值將具有A幅度的幅度0:

(5)

其中H是電路的增益。

圖 12.2 極點、多反饋 （MFB）、低通濾波器。

多反饋濾波器反轉信號的相位。這相當于將濾波器本身的相移增加了180°。相位與頻率的變化如圖4（右軸）所示。這將被稱為反相、二階、低通響應。有趣的是，在多重反饋情況下，實現給定響應的最高值和最低值分量之間的差異高于Sallen-Key實現。

多反饋 （MFB） 高通濾波器

關于多重反饋、低通情況的評論也適用于高通情況。多反饋、高通濾波器的原理圖如圖13所示，其理想相移與頻率的關系如圖5所示（右軸）。這被稱為反相、二階、高通響應。

圖 13.2極點、多反饋（MFB）、高通濾波器。

這種類型的濾波器可能更難在高頻下穩定實現，因為它基于微分器，與所有微分器電路一樣，該微分器電路在較高頻率下保持更大的閉環增益，并且傾向于放大噪聲。

狀態變量

狀態變量實現如圖 14 所示。這種配置提供了最靈活、最精確的實現，但代價是犧牲了更多的電路元件，包括三個運算放大器。所有三個主要參數（增益、Q和ω0）可獨立調整;同時提供低通、高通和帶通輸出。濾波器的增益也是獨立可變的。

由于狀態變量濾波器的所有參數都可以獨立調整，因此可以最大限度地減少分量擴散。此外，由于溫度和組件公差引起的不匹配被最小化。積分器部分使用的運算放大器對運算放大器增益帶寬的限制與多反饋部分所述相同。

圖 14.2極點，狀態變量濾波器。

低通部分的相移與頻率的關系將是反二階響應（見圖4，右軸），高通部分將具有反相的高通響應（見圖5，右軸）。

雙二次（雙二）

狀態變量濾波器的近親是雙二階濾波器（參見圖 15）。該電路的名稱最初由J. Tow于1968年使用（見參考文獻6），后來由L. C. Thomas于1971年使用（見參考文獻5），其依據是傳遞函數是兩個二次項的比率。該電路是狀態可變電路的略有不同的形式。在此配置中，單獨的高通輸出不可用。但是，有兩個低通輸出，一個同相（LOWPASS1），一個異相（LOWPASS2）。

圖 15.標準雙二極，2極部分。

通過增加第四個放大器部分，可以實現高通、陷波（低通、標準和高通）和全通濾波器。具有高通部分的雙二階圖如圖16所示。

圖 16.2極點雙二階濾波器（帶高通部分）。

LOWPASS1部分的相移與頻率的關系將是同相、二階、低通響應（見圖4，左軸）。LOWPASS2 部分將具有倒置的二階響應（參見圖 4，右軸）。HIGHPASS部分具有反轉的相移（見圖5，右軸）。

結論

我們已經看到，用于構建濾波器的拓撲將對其實際相位響應產生影響。這可能是用于確定所用拓撲的因素之一。表1比較了本文討論的各種低通濾波器拓撲的相移范圍。

表 1.低通濾波器拓撲相移范圍。

低通濾波器
篩選器拓撲	單相	相位變化
單極，無源	同相	0° 至 –90°
單極，有源	倒	180° 至 90°
2極，薩倫鑰匙	同相	0° 至 –180°
2 極，多反饋	倒	180° 至 0°
2 極，狀態變量	倒	180° 至 0°
2 極雙二階低通1	同相	0° 至 –180°
2 極雙二階低通2	倒	180° 至 0°

同樣，表2比較了各種高通拓撲。

表 2.高通濾波器拓撲相移范圍。

高通濾波器
篩選器拓撲	單相	相位變化
單極，無源	同相	–90° 至 0°
單極，有源	倒	–90° 至 –180°
2極，薩倫鑰匙	同相	180° 至 0°
2 極，多反饋	倒	0° 至 –180°
2 極，狀態變量	倒	0° 至 –180°
2 極，雙二極	倒	0° 至 –180°

相移隨Q的變化

上面的二階響應都使用了 0.707 的 Q。圖17顯示了隨著Q的變化，低通濾波器對相位響應的影響（高通的結果相似）。繪制了 Q = 0.1、0.5、0.707、1、2、5、10 和 20 值的相位響應。值得注意的是，在Q值較低時，相位可能會開始變化，遠低于截止頻率。

圖 17.相移隨Q的變化而變化。

雖然不是本文的主題，但幅度響應與Q的變化也可能令人感興趣。圖18顯示了Q在上述范圍內變化時二階部分的幅度響應。

當在多級濾波器中使用高Q值部分時，高Q值部分發生的峰值可能會引起人們的興趣。雖然從理論上講，這些部分的級聯順序沒有任何區別，但在實踐中，通常最好將低Q值部分放在高Q值部分之前，這樣峰值就不會導致超過濾波器的動態范圍。雖然此圖適用于低通部分，但高通響應將顯示類似的峰值。

圖 18.2極點濾波器中的幅度峰值隨Q的變化而變化。

高階濾波器

傳遞函數可以級聯以形成高階響應。當濾波器響應級聯時，在任何頻率下，dB增益（和衰減）都會增加，相位角也會增加。如前所述，多極點濾波器通常由級聯二階濾波器構建，外加一個用于奇階濾波器的附加一階部分。兩個級聯的一階部分無法提供單個二階部分提供的寬范圍Q。

傳遞函數的四階濾波器級聯如圖19所示。在這里，我們看到濾波器由兩個二階部分構建。

圖 19.4極點濾波器的級聯傳遞函數。

圖20顯示了以三種不同方式構建四階濾波器對相位響應的影響。第一個是用兩個Sallen-Key（SK）巴特沃斯部分建造的。第二個由兩個多反饋（MFB）巴特沃茲部分組成。第三個由一個SK部分和一個MFB部分組成。但是，正如兩個級聯的一階截面不構成二階截面一樣，兩個級聯的二階巴特沃斯截面也不等于四階巴特沃斯截面。巴特沃斯濾波器的第一部分有一個f0的 1 和 Q 的 0.5412 （α = 1.8477）。第二部分有一個f0的 1 和 Q 的 1.3065 （α = 0.7654）。

如前所述，SK部分是同相的，而MFB部分是反相的。圖20比較了這三個四階部分的相移。SK和MFB濾波器具有相同的響應，因為兩個反相部分產生同相響應（–1 × –1 = +1）。采用混合拓撲結構（SK和MFB）構建的濾波器產生180°偏移（+1 × –1 = –1）的響應。

圖 20.具有各種拓撲結構的四階相位響應。

請注意，正如預期的那樣，總相移是二階截面（360°與180°）的兩倍。高通濾波器將具有類似的相位響應，偏移180°。

這種級聯的想法可以用于高階濾波器，但任何超過八階的東西在實踐中都很難組裝。

以后的文章將研究帶、陷波（帶抑制）和全通濾波器中的相位關系。

審核編輯：郭婷：郭婷