示例5–估計建筑物的高度

假設我們要用非常不精確的高度測量儀來估計建筑物的高度，我們知道，建筑高度不會隨時間變化，至少在短期測量過程中是如此。

數值示例

建筑真實高度是50米。高度測量儀測量誤差（標準偏差）為5米。十個測量值分別為：48.54m、47.11m、55.01m、55.15m、49.89m、40.85m、46.72m、50.05m、51.27m、49.95m。迭代0初始化可以通過簡單的觀察來估計建筑物的高度，預計建筑高度為：

=60m

現在我們將初始化估計不確定度，一個人的估計誤差（標準差）約為15米：σ=15，因此，方差為225：σ2=225。

p0,0=225

預測現在，我們將根據初始化值預測下一個狀態：由于我們系統是恒定的，即建筑物不會改變其高度：

推導出來的估計不確定性（方差）也沒有變化：

p1,0=p0,0=225

迭代1步驟1-測量第一次測量為：z1=48.54m由于高度計測量誤差的標準偏差（σ）為5，方差（σ2）為25，因此測量不確定度為：r1=25。步驟2-更新計算卡爾曼增益：

估計當前狀態：

更新當前估計的不確定度：

步驟3-預測由于我們系統是恒定的，即建筑物不會改變其高度：

推導估計不確定度（方差）也沒有變化：

p2,1=p1,1=22.5

迭代2經過一個迭代后，來自上一次迭代的預測估計變為當前迭代中的上一次估計：

=49.69m

推導的估計不確定度變為先前的估計不確定度：

p2,1=22.5

步驟1-測量第二次測量為：z2=47.11m測量不確定度為：r2=25步驟2-更新計算卡爾曼增益：

估計當前狀態：

更新當前估計的不確定度：

步驟3-預測由于我們系統是恒定的，即建筑物不會改變其高度：

=

=48.47m

推導估計不確定度（方差）也沒有變化：

p3,2=p2,2=11.84

迭代3-10下表總結了后續迭代的計算：

下表對真實值、測量值和估計值進行了比較：

如圖可見，經過7次測量，估計值收斂到約49.5米。下表對測量不確定度和估計不確定度進行了比較：

在濾波器第一輪迭代時，估計不確定度接近測量不確定度，并迅速降低，10次測量后，估計不確定度（σ2）為2.47，即估計誤差標準偏差為：σ=1.57米。因此，我們可以說建筑高度估計為：49.57±1.57m。下圖顯示了卡爾曼增益：

如圖所見，卡爾曼增益正在逐漸減小，使測量權重越來越小。

總結：

在本例中，我們使用一維卡爾曼濾波器測量了建筑物高度，與α?β?γ不同，本示例中的卡曼增益是動態的，取決于測量設備的精度。卡爾曼濾波器使用的初始值不是很精確，因此，狀態更新方程中的測量權重比較高，估計不確定度也很高，在后續每次迭代中，測量權重較低；因此，估計的不確定度也較低。卡爾曼濾波器輸出包括估計和估計不確定度。

一維卡爾曼濾波器的完整模型

為了使得一維卡爾曼濾波器模型更加完整，我們需要在協方差推導方程中添加過程噪聲變量。

過程噪聲：

在現實世界中，動態系統模型存在不確定性，例如，當我們想要估計電阻器的電阻值時，我們假設一個恒定的動態模型，即電阻在測量之間不改變。然而，由于環境溫度的波動，電阻可能略有變化，當用雷達跟蹤彈道導彈時，動態模型的不確定性包括目標加速度的隨機變化，由于可能的飛機機動，不確定性對飛機來說更為重要。相反，當我們使用GPS接收機估計靜態對象的位置時，由于靜態對象不移動，動態模型的不確定性為零；動態模型的不確定性稱為過程噪聲，在文獻中，它也被稱為對象干擾、驅動噪聲、動力學噪聲、模型噪聲和系統噪聲。過程噪聲產生估計誤差。在前面的示例中，我們估計了建筑物的高度。由于建筑物的高度沒有變化，我們沒有考慮過程噪聲。過程噪聲方差用字母q表示。協方差推導方程應包括過程噪聲。對于恒定動態系統模型的協方差推導方程為：

pn+1,n=pn,n+qn

以下是更新后的一維卡爾曼濾波方程：

注意1：狀態推導方程和協方差推導方程取決于系統類型。注意2: 上表展示了針對特定情況定制的卡爾曼濾波器方程的特殊形式，方程的一般形式將在后面的矩陣表示法中給出，現在，我們的目標是理解卡爾曼濾波器的概念。