鎖相環 (PLL) 在當今的高科技世界中無處不在。幾乎所有商業和軍用產品都在其運行中使用它們，相位（或 PM）噪聲是一個主要問題。頻率（或 FM）噪聲密切相關（瞬時頻率是相位的時間導數）并且通常在相位噪聲的保護傘下考慮（也許兩者都可以被認為是“角度噪聲”）。幅度（或 AM）噪聲是另一個考慮因素。

雖然兩者都會影響 PLL 性能，但振幅噪聲通常是自限性的，不會產生任何影響。因此，PLL 輸出和 RF 組件的相位噪聲是主要問題。當然，輸出相位噪聲是最重要的問題——它主要取決于每個組件的相位噪聲。

許多因素都會導致元件相位噪聲，例如電源、EMI 和半導體異常等等。了解這些因素使我們能夠實施組件相位噪聲的緩解策略，并最終實施輸出相位噪聲。

我們討論的 PLL 屬于模擬硬件類型，而不是數字或軟件類型。這種 PLL 的一般拓撲結構是一個單環路系統，其中包含精密參考、參考分頻器、反饋分頻器、可能的預分頻器、電壓或電流（也稱為電荷泵）鑒相器、環路濾波器和壓控振蕩器 (VCO) .這些組件可能都是分立的，或者其中一些可能包含在 IC 中。無論如何，我們展示了如何分析一般的相位噪聲，以及 RF 分量相位噪聲如何通過 PLL 傳播以確定其輸出相位噪聲。

在第 1 部分中，我們討論了相位噪聲的一些簡要理論和典型測量及其分析（建模、仿真和傳播），并詳細展示了大多數計算機輔助設計 (CAD) 應用程序使用的方法。

相位噪聲的簡要理論和典型測量

相位噪聲是一個重要而復雜的課題，研究正在進行中，對其起源的理解也很脆弱，數學基礎也有問題。然而，許多近似值和變通方法被用來產生極好的理論和實踐結果。1,2,3這是一個成熟的學科，有很多可用的文獻。有幾種儀器可以精確測量相位噪聲，并且無數帶有 PLL 的現場系統都具有受控的相位噪聲特性。

在這里，我們簡要回顧時域和頻域中的相位噪聲理論，以及基帶 (BB) 領域（對 RF 載波信號進行相位調制的 BB 噪聲信號）和 RF 領域（RF由 BB 噪聲信號進行相位調制的載波信號）。

此外，我們還總結了頻域中兩個領域的典型相位噪聲測量，當然，它們是同一現象的不同等效表示，并給出相同的結果。

BB 領域被認為是不太重要的領域，但對于相位噪聲的起源很重要，并且提供比 RF 領域更好的測量精度。RF 領域被認為是更重要的領域，并且對相位噪聲的可觀察表現很感興趣，盡管它的測量精度不如 BB 領域。1,8此外，我們調查了兩種測量類型的等效性。

正如所有物理學中眾所周知的那樣，存在確定性和非確定性（也稱為隨機、隨機或概率）過程。在 PLL 中，這些過程是信號，可以在時域和頻域兩個域中表示，兩個域通過傅立葉變換通過變換理論相關聯。

要使用（在本例中為連續）變換理論，系統被建模為（連續）線性時不變網絡，這意味著 PLL 必須處于鎖定狀態。相反，處于解鎖狀態的 PLL 模型是非線性的；因此，不能應用變換理論。

此外，域之間的轉換對于確定性信號是直接的，對于隨機信號是間接的。直接意味著直接在時域和頻域之間進行變換，因為存在直接變換。間接是指域之間的轉換有一個中間步驟，就是計算隨機信號的自相關函數，取其時間平均，然后進行變換，因為直接變換是不存在的。6個

然后，在 RF 系統或 RF 組件中，當已知和未知來源的內部和/或外部 BB 隨機（噪聲）信號對系統或組件的內部 RF 確定性（載波）進行相位調制時，會產生相位噪聲） 信號。當然，相位噪聲是一種隨機現象或信號，因此充滿了間接變換。

通常，對于頻域中的隨機信號，作為電壓譜密度 (VSD) 的頻譜是不存在的。然而，頻譜確實以功率譜密度 (PSD) 的形式存在，只有幅度信息而沒有相位信息。相比之下，對于頻域中的確定性信號，頻譜通常確實以 VSD 形式存在，具有幅度和相位信息，當然，擴展后也具有 PSD。

此外，在 BB 領域的頻域中，頻譜是低通（或準低通）函數，而對于 RF 領域，頻譜是帶通函數。此外，在本次討論中，我們僅使用正單邊 (OS) 頻譜和正單邊帶 (SSB) 相位噪聲信息，而不是雙邊 (TS) 頻譜和雙邊帶 (DSB) 相位-噪音信息。

我們還注意到，在時域中，相位噪聲通常稱為相位抖動，而在頻域中，它通常稱為規定相位噪聲。這兩個域中的現象通過瞬時頻率定義為相位的時間導數而相關聯。1,8,10

考慮到上述背景，我們簡要回顧了時域和頻域的一些理論以及BB 領域的域之間的轉換。在這個領域，我們的理論和分析原則上基本上存在，因為我們的隨機（噪聲）信號在時域（這是我們的分析開始的地方）沒有解析表達式。因此，經過變換后，頻域上沒有解析表達式。我們有以下數學表示和變換步驟：6,7,8

1.時域函數或相位波形，它是一個真實的（非復雜的）隨機過程，具有零均值高斯概率密度函數，?(t)：

其中t是時間。

2. (1)的自相關函數，R?(t,τ)：

其中τ是測量之間的正時間增量，Eop{...}是統計平均運算符。

3. 等式 2 的時間平均值的傅立葉變換，給出非歸一化 (UN) BB頻域函數或 PSD，W?(ξ)或WdB?(ξ)：

其中ξ是頻率，Aop{...}是時間平均算子，Fop{...}是傅里葉變換算子。典型的相位波形圖及其 UN BB PSD如圖 1a 和 1b所示。

1. (a) 基帶 (BB) 相位波形 ?(t)，(b) 非歸一化 (UN) BB 功率譜密度 (PSD)，Wdb ? (ξ)，(c) 的相位噪聲理論中的典型圖) RF 電壓波形 v(t)，以及 (d) UN RF PSD，Wdbv(ξ)。

接下來，我們簡要回顧時域和頻域中的類似理論以及射頻領域的域間轉換。在這個領域，我們的理論和分析是相當分析的，因為在時域中我們的確定性（載波）信號有一個相當分析的表達式（這又是我們分析的起點）。因此，經過變換后，在頻域上有一個相當解析的表達式。

對于≤ 0.2 弧度（≤ 11.5°）的“合理”相位波形偏差（也稱為小角度...、小調制指數...或窄帶 PM...近似值），其中 PM 頻譜與DSB AM 頻譜——這是所有實際相位噪聲問題的情況——我們有以下數學表示和變換步驟（為簡潔起見未顯示細節）：7、8、10

4.時域函數或電壓波形（也是BB參數的函數），v(t)：

其中V是統計平均振幅，f0是載波頻率，Θ是初始相位（V是一般振幅的特例，V + a(t)，其中a(t)是統計零均值a(t)= 0的振幅噪聲，因為如前所述，它是自我限制的并且沒有任何后果）：

5. 等式 4 的自相關函數（同樣也是 BB 參數的高斯概率密度函數），Rv(τ)：

其中Rφ(0)是Rφ(τ)，其中τ = 0，這是φ(t)的方差。

6. 等式 4 的時間平均值的傅立葉變換（同樣也是 BB 參數的函數）給出 UN RF頻域函數或 PSD，Wv(ξ)或WdBv(ξ)：

其中d(ξ–f0)是 Dirac delta 或單位脈沖函數，W?(ξ–f0)是 UN BB PSD，W?(ξ)，通過調制過程從 BB 領域轉換到 RF 領域。典型的電壓波形圖及其 UN RF PSD如圖 1c 和 1d所示。

需要注意的是，如果?(t)是嚴格平穩的（一個合理的假設），則可以證明v(t)至少是廣義平穩的。在這種情況下，Weiner-Khinchin 定理成立，R?(t,τ)和Rv(t,τ)僅成為 τ 的函數，[R?(t,τ)→R?(τ)和Rv(t,τ)→Rv(τ)]，因此不需要找到R?(τ)和Rv(τ)的時間平均值。因此，W?(ξ)和Wv(ξ)是R?(τ)和Rv(τ)本身的傅里葉變換。1,6,7,9

然后，根據上述簡要理論，我們總結了頻域中 BB 和 RF 領域相位噪聲的典型測量。

BB 領域的測量

在上面的 UN BB PSD 中，選擇了一個特定的頻率，并將其在 1 Hz 帶寬中的功率除以低通頻譜上的總積分功率，得到歸一化 (NM) BB PSD，L?(ξ)或LdB?(ξ)：

其中ξ是特定頻率，Pz是總積分低通功率，dBz 是相對于Pz的分貝數。測量是間接的，使用信號源分析儀，解調、測量、處理和顯示 BB 信號以產生L?(ξ)或LdB?(ξ)[W?(ξ)包含 DSB 信息，因此因子L?(ξ)的計算需要 2給 SSB 信息]。它被認為比在 RF 領域所做的更準確。1,8

射頻領域的測量

在上面的 UN RF PSD 中，選擇了一個特定的載波偏移頻率。它在 1 Hz 帶寬內的功率除以帶通頻譜上的總積分功率，得到 NM RF PSD、Lv(f)或LdBv(f)：

其中f是載波的特定偏移頻率 (f=ξ? f0其中ξ≥f0),Pc是總積分帶通功率，dBc 是相對于Pc的分貝數。測量是直接的，使用具有相位噪聲處理能力的頻譜分析儀測量、處理和顯示射頻信號以產生Lv(f)或LdBv(f)。它被認為不如在 BB 領域中所做的那樣準確。1,8

兩種測量的等效性

如前所述，L?(ξ)或LdB?(ξ)和Lv(f)或LdBv(f)是同一現象的不同表示，邏輯上應該對所有實際相位噪聲問題給出相同的結果（其中，也如前所述，相位偏差被認為是“合理的”）。因此，對于這種情況，它們是等價的并且給出相同的結果，稱為 NM PSD、L(f)或LdB(f)。BB 和 RF 領域下標 (?和v) 被刪除并且不使用下標（即使是“合理”條件也有一些異常，必須使用具有學術和實踐論據的近似值）：1,10

其中，典型顯示的f是 x 軸載波的偏移頻率，單位為 Hz，對數標度，LdB(f)是 y 軸的 NM RF PSD，單位為 dBc/Hz，線性標度規模，對于上述間接和直接測量，最終將一切與 RF 領域相關聯（圖 2）。

2. 頻域中基帶和射頻領域相位噪聲的典型測量。

需要注意的是，如果不滿足“合理”條件，則必須使用貝塞爾函數數學將L?(ξ)與Lv(f)聯系起來。因此，這兩種測量不會等同，會給出不同的結果，并且會被認為是災難性的問題。

相位噪聲的分析（建模、仿真和傳播）

3. 用于相位噪聲分析（建模、仿真和傳播）的一般相位噪聲模型。

有了以上信息，我們現在開始分析 PLL 中的相位噪聲，以及一般如何對其進行建模和仿真。還討論了 RF 分量相位噪聲如何通過 PLL 傳播以確定其輸出相位噪聲。通常，相位噪聲可以使用“通用相位噪聲模型”（圖 3）及其標準整數冪級數進行有效建模：

其中h是加權系數，f是載波的偏移頻率。1,7然后使用任何標準應用程序對其進行仿真（在本例中，我們使用 MATLAB）。最后，組件相位噪聲通過 PLL 的傳播以確定其輸出相位噪聲是使用通用 PLL 模塊“圖表和相位噪聲傳播模型”完成的（圖 4）。

4. 用于相位噪聲分析（建模、仿真和傳播）的通用 PLL 框圖和相位噪聲傳播模型。

此外，為了簡化分析，所有組件的相位噪聲都近似為不相關（合理的假設），以便它們的 NM PSD 直接相加，而不必處理相關信號，這會使分析變得非常復雜。然后使用以下相位噪聲分析程序進行分析：4,5

1. PLL 必須表示為（在本例中為連續的）線性時不變網絡，這意味著它必須鎖定在其輸出之一。

2. 所有組件的相位噪聲必須近似為不相關。

3. 每個組件的相位噪聲圖都是從其數據表中獲得的，“通用相位噪聲模型”（圖 3）適合每個組件的圖，以確定匹配的通用模型的部分（其中一些可能不存在）每個組件的情節。

4. 對于每個組件的擬合通用相位噪聲模型，一個相位噪聲點，LdBj(fk)(j,k=0,a;1,b ;2,c;3,d;4,e)，在每個獲得段用于計算（通常使用段內的中點）。將所有對數值轉換為線性值，LdBj(fk)TLj(fk)：

5. 每個組件的擬合通用相位噪聲模型系數hj是使用來自步驟 4 的相位噪聲點（其中一些可能為零）計算的：

6. 來自步驟 5 的每個組件的擬合通用相位噪聲模型系數hj用于形成每個組件的相位噪聲模型Lci(f)：

可以對其進行模擬以產生分量相位噪聲曲線。

7. 來自步驟 6 的每個組件的相位噪聲模型Lci(f)乘以其適用的傳遞函數（輸出或誤差；稍后討論）幅度平方，|T(f)|2，得到其傳播的相位噪聲模型，Lco(f)：

可以對其進行模擬以產生組件傳播的相位噪聲曲線。

8. 來自步驟 7 的每個組件的傳播相位噪聲模型Lco(f)與所有其他相加在一起以獲得輸出相位噪聲模型L至(f)：

可以對其進行仿真以產生輸出相位噪聲曲線。

這就是我們的相位噪聲分析（建模、仿真和傳播）過程。如前所述，這是大多數 CAD 應用程序用于相位噪聲分析的方法。

審核編輯：劉清