提起傅里葉變換，你會(huì)有何種表情，是恐懼，痛苦，還是。。。其實(shí)，傅里葉變換真真正正的不復(fù)雜，不需要你苦讀一百遍高數(shù)，只要能真正理解其中的含義，掌握它就是分分鐘的事。

1 什么是頻域

從我們出生，我們看到的世界都以時(shí)間貫穿，股票的走勢(shì)、人的身高、汽車的軌跡都會(huì)隨著時(shí)間發(fā)生改變。這種以時(shí)間作為參照來觀察動(dòng)態(tài)世界的方法我們稱其為 時(shí)域分析。而我們也想當(dāng)然的認(rèn)為，世間萬(wàn)物都在隨著時(shí)間不停的改變，并且永遠(yuǎn)不會(huì)靜止下來。但如果我告訴你，用另一種方法來觀察世界的話，你會(huì)發(fā)現(xiàn)世界是 永恒不變的，你會(huì)不會(huì)覺得我瘋了？我沒有瘋，這個(gè)靜止的世界就叫做頻域。

先舉一個(gè)公式上并非很恰當(dāng)，但意義上再貼切不過的例子：

在你的理解中，一段音樂是什么呢？

這是我們對(duì)音樂最普遍的理解，一個(gè)隨著時(shí)間變化的震動(dòng)。但我相信對(duì)于樂器小能手們來說，音樂更直觀的理解是這樣的：

好的！下課，同學(xué)們?cè)僖姟?/p>

是的，其實(shí)這一段寫到這里已經(jīng)可以結(jié)束了。上圖是音樂在時(shí)域的樣子，而下圖則是音樂在頻域的樣子。所以頻域這一概念對(duì)大家都從不陌生，只是從來沒意識(shí)到而已。

現(xiàn)在我們可以回過頭來重新看看一開始那句癡人說夢(mèng)般的話：世界是永恒的。

將以上兩圖簡(jiǎn)化：

時(shí)域：

頻域：

在時(shí)域，我們觀察到鋼琴的琴弦一會(huì)上一會(huì)下的擺動(dòng)，就如同一支股票的走勢(shì)；而在頻域，只有那一個(gè)永恒的音符。

所以

你眼中看似落葉紛飛變化無(wú)常的世界，實(shí)際只是躺在上帝懷中一份早已譜好的樂章。

抱歉，這不是一句雞湯文，而是黑板上確鑿的公式：傅里葉同學(xué)告訴我們，任何周期函數(shù)，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的疊加。在第一個(gè)例子里我們可以理解為，利用對(duì)不同琴鍵不同力度，不同時(shí)間點(diǎn)的敲擊，可以組合出任何一首樂曲。

而貫穿時(shí)域與頻域的方法之一，就是傳中說的傅里葉分析。傅里葉分析可分為傅里葉級(jí)數(shù)（Fourier Serie）和傅里葉變換(Fourier Transformation)，我們從簡(jiǎn)單的開始談起。 2 傅里葉級(jí)數(shù)(Fourier Series)的頻譜 還是舉個(gè)栗子并且有圖有真相才好理解。

如果我說我能用前面說的正弦曲線波疊加出一個(gè)帶 90 度角的矩形波來，你會(huì)相信嗎？你不會(huì)，就像當(dāng)年的我一樣。但是看看下圖：

第一幅圖是一個(gè)郁悶的正弦波 cos（x）

第二幅圖是 2 個(gè)賣萌的正弦波的疊加 cos (x) +a.cos (3x)

第三幅圖是 4 個(gè)發(fā)春的正弦波的疊加

第四幅圖是 10 個(gè)便秘的正弦波的疊加

隨著正弦波數(shù)量逐漸的增長(zhǎng)，他們最終會(huì)疊加成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的矩形，大家從中體會(huì)到了什么道理？

（只要努力，彎的都能掰直！）

隨著疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時(shí)繼續(xù)上升的部分使其變?yōu)樗?平線。一個(gè)矩形就這么疊加而成了。但是要多少個(gè)正弦波疊加起來才能形成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn) 90 度角的矩形波呢？不幸的告訴大家，答案是無(wú)窮多個(gè)。

（上帝：我能讓你們猜著我？）

不僅僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來的。這是沒有接觸過傅里葉分析的人在直覺上的第一個(gè)難點(diǎn)，但是一旦接受了這樣的設(shè)定，游戲就開始有意思起來了。

還是上圖的正弦波累加成矩形波，我們換一個(gè)角度來看看：

在這幾幅圖中，最前面黑色的線就是所有正弦波疊加而成的總和，也就是越來越接近矩形波的那個(gè)圖形。而后面依不同顏色排列而成的正弦波就是組合為矩形波的 各個(gè)分量。這些正弦波按照頻率從低到高從前向后排列開來，而每一個(gè)波的振幅都是不同的。一定有細(xì)心的讀者發(fā)現(xiàn)了，每?jī)蓚€(gè)正弦波之間都還有一條直線，那并不 是分割線，而是振幅為 0 的正弦波！也就是說，為了組成特殊的曲線，有些正弦波成分是不需要的。

這里，不同頻率的正弦波我們成為頻率分量。

好了，關(guān)鍵的地方來了！！

如果我們把第一個(gè)頻率最低的頻率分量看作“1”，我們就有了構(gòu)建頻域的最基本單元。

對(duì)于我們最常見的有理數(shù)軸，數(shù)字“1”就是有理數(shù)軸的基本單元。

時(shí)域的基本單元就是“1 秒”，如果我們將一個(gè)角頻率為的正弦波 cos（t）看作基礎(chǔ)，那么頻域的基本單元就是

有了“1”，還要有“0”才能構(gòu)成世界，那么頻域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一個(gè)周期無(wú)限長(zhǎng)的正弦波，也就是一條直線！所以在頻域，0 頻率也被稱為直流分量，在傅里葉級(jí)數(shù)的疊加中，它僅僅影響全部波形相對(duì)于數(shù)軸整體向上或是向下而不改變波的形狀。

接下來，讓我們回到初中，回憶一下已經(jīng)死去的八戒，啊不，已經(jīng)死去的老師是怎么定義正弦波的吧。

正弦波就是一個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)在一條直線上的投影。所以頻域的基本單元也可以理解為一個(gè)始終在旋轉(zhuǎn)的圓

想看動(dòng)圖的同學(xué)請(qǐng)戳這里：

File:Fourier series square wave circles animation.gif

以及這里：

File:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif

點(diǎn)出去的朋友不要被 wiki 拐跑了，wiki 寫的哪有這里的文章這么沒節(jié)操是不是。

介紹完了頻域的基本組成單元，我們就可以看一看一個(gè)矩形波，在頻域里的另一個(gè)模樣了：

這是什么奇怪的東西？

這就是矩形波在頻域的樣子，是不是完全認(rèn)不出來了？教科書一般就給到這里然后留給了讀者無(wú)窮的遐想，以及無(wú)窮的吐槽，其實(shí)教科書只要補(bǔ)一張圖就足夠了：頻域圖像，也就是俗稱的頻譜，就是——

再清楚一點(diǎn)：

可以發(fā)現(xiàn)，在頻譜中，偶數(shù)項(xiàng)的振幅都是0，也就對(duì)應(yīng)了圖中的彩色直線。振幅為 0 的正弦波。

動(dòng)圖請(qǐng)戳：

File:Fourier series and transform.gif

老實(shí)說，在我學(xué)傅里葉變換時(shí)，維基的這個(gè)圖還沒有出現(xiàn)，那時(shí)我就想到了這種表達(dá)方法，而且，后面還會(huì)加入維基沒有表示出來的另一個(gè)譜——相位譜。

但是在講相位譜之前，我們先回顧一下剛剛的這個(gè)例子究竟意味著什么。記得前面說過的那句“世界是靜止的”嗎？估計(jì)好多人對(duì)這句話都已經(jīng)吐槽半天了。想象 一下，世界上每一個(gè)看似混亂的表象，實(shí)際都是一條時(shí)間軸上不規(guī)則的曲線，但實(shí)際這些曲線都是由這些無(wú)窮無(wú)盡的正弦波組成。我們看似不規(guī)律的事情反而是規(guī)律 的正弦波在時(shí)域上的投影，而正弦波又是一個(gè)旋轉(zhuǎn)的圓在直線上的投影。那么你的腦海中會(huì)產(chǎn)生一個(gè)什么畫面呢？

我們眼中的世界就像皮影戲的大幕布，幕布的后面有無(wú)數(shù)的齒輪，大齒輪帶動(dòng)小齒輪，小齒輪再帶動(dòng)更小的。在最外面的小齒輪上有一個(gè)小人——那就是我們自 己。我們只看到這個(gè)小人毫無(wú)規(guī)律的在幕布前表演，卻無(wú)法預(yù)測(cè)他下一步會(huì)去哪。而幕布后面的齒輪卻永遠(yuǎn)一直那樣不停的旋轉(zhuǎn)，永不停歇。這樣說來有些宿命論的 感覺。說實(shí)話，這種對(duì)人生的描繪是我一個(gè)朋友在我們都是高中生的時(shí)候感嘆的，當(dāng)時(shí)想想似懂非懂，直到有一天我學(xué)到了傅里葉級(jí)數(shù)……

3 傅里葉級(jí)數(shù)（Fourier Series）的相位譜

上一章的關(guān)鍵詞是：從側(cè)面看。這一章的關(guān)鍵詞是：從下面看。

在這一章最開始，我想先回答很多人的一個(gè)問題：傅里葉分析究竟是干什么用的？這段相對(duì)比較枯燥，已經(jīng)知道了的同學(xué)可以直接跳到下一個(gè)分割線。

先說一個(gè)最直接的用途。無(wú)論聽廣播還是看電視，我們一定對(duì)一個(gè)詞不陌生——頻道。頻道頻道，就是頻率的通道，不同的頻道就是將不同的頻率作為一個(gè)通道來進(jìn)行信息傳輸。下面大家嘗試一件事：

先在紙上畫一個(gè) sin（x），不一定標(biāo)準(zhǔn)，意思差不多就行。不是很難吧。

好，接下去畫一個(gè) sin（3x）+sin（5x）的圖形。

別說標(biāo)準(zhǔn)不標(biāo)準(zhǔn)了，曲線什么時(shí)候上升什么時(shí)候下降你都不一定畫的對(duì)吧？

好，畫不出來不要緊，我把 sin（3x）+sin（5x）的曲線給你，但是前提是你不知道這個(gè)曲線的方程式，現(xiàn)在需要你把 sin（5x）給我從圖里拿出去，看看剩下的是什么。這基本是不可能做到的。

但是在頻域呢？則簡(jiǎn)單的很，無(wú)非就是幾條豎線而已。

所以很多在時(shí)域看似不可能做到的數(shù)學(xué)操作，在頻域相反很容易。這就是需要傅里葉變換的地方。尤其是從某條曲線中去除一些特定的頻率成分，這在工程上稱為濾波，是信號(hào)處理最重要的概念之一，只有在頻域才能輕松的做到。

再說一個(gè)更重要，但是稍微復(fù)雜一點(diǎn)的用途——求解微分方程。（這段有點(diǎn)難度，看不懂的可以直接跳過這段）微分方程的重要性不用我過多介紹了。各行各業(yè)都 用的到。但是求解微分方程卻是一件相當(dāng)麻煩的事情。因?yàn)槌艘?jì)算加減乘除，還要計(jì)算微分積分。而傅里葉變換則可以讓微分和積分在頻域中變?yōu)槌朔ê统ǎ?大學(xué)數(shù)學(xué)瞬間變小學(xué)算術(shù)有沒有。

傅里葉分析當(dāng)然還有其他更重要的用途，我們隨著講隨著提。 下面我們繼續(xù)說相位譜：

通過時(shí)域到頻域的變換，我們得到了一個(gè)從側(cè)面看的頻譜，但是這個(gè)頻譜并沒有包含時(shí)域中全部的信息。因?yàn)轭l譜只代表每一個(gè)對(duì)應(yīng)的正弦波的振幅是多少，而沒 有提到相位。基礎(chǔ)的正弦波A.sin (wt+θ)中，振幅，頻率，相位缺一不可，不同相位決定了波的位置，所以對(duì)于頻域分析，僅僅有頻譜（振幅譜）是不夠的，我們還需要一個(gè)相位譜。那么這個(gè) 相位譜在哪呢？我們看下圖，這次為了避免圖片太混論，我們用 7 個(gè)波疊加的圖。

鑒于正弦波是周期的，我們需要設(shè)定一個(gè)用來標(biāo)記正弦波位置的東西。在圖中就是那些小紅點(diǎn)。小紅點(diǎn)是距離頻率軸最近的波峰，而這個(gè)波峰所處的位置離頻率軸 有多遠(yuǎn)呢？為了看的更清楚，我們將紅色的點(diǎn)投影到下平面，投影點(diǎn)我們用粉色點(diǎn)來表示。當(dāng)然，這些粉色的點(diǎn)只標(biāo)注了波峰距離頻率軸的距離，并不是相位。

這里需要糾正一個(gè)概念：時(shí)間差并不是相位差。如果將全部周期看作 2Pi 或者 360 度的話，相位差則是時(shí)間差在一個(gè)周期中所占的比例。我們將時(shí)間差除周期再乘 2Pi，就得到了相位差。
在完整的立體圖中，我們將投影得到的時(shí)間差依次除以所在頻率的周期，就得到了最下面的相位譜。所以，頻譜是從側(cè)面看，相位譜是從下面看。下次偷看女生裙底被發(fā)現(xiàn)的話，可以告訴她：“對(duì)不起，我只是想看看你的相位譜。”

注意到，相位譜中的相位除了0，就是 Pi。因?yàn)?cos（t+Pi）=-cos（t），所以實(shí)際上相位為 Pi 的波只是上下翻轉(zhuǎn)了而已。對(duì)于周期方波的傅里葉級(jí)數(shù)，這樣的相位譜已經(jīng)是很簡(jiǎn)單的了。另外值得注意的是，由于 cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi 和 3pi，5pi，7pi 都是相同的相位。人為定義相位譜的值域?yàn)?-pi，pi]，所以圖中的相位差均為 Pi。

最后來一張大集合：

4 傅里葉變換（Fourier Tranformation） 相信通過前面三章，大家對(duì)頻域以及傅里葉級(jí)數(shù)都有了一個(gè)全新的認(rèn)識(shí)。但是文章在一開始關(guān)于鋼琴琴譜的例子我曾說過，這個(gè)栗子是一個(gè)公式錯(cuò)誤，但是概念典型的例子。所謂的公式錯(cuò)誤在哪里呢？

傅里葉級(jí)數(shù)的本質(zhì)是將一個(gè)周期的信號(hào)分解成無(wú)限多分開的（離散的）正弦波，但是宇宙似乎并不是周期的。曾經(jīng)在學(xué)數(shù)字信號(hào)處理的時(shí)候?qū)戇^一首打油詩(shī)：

“ 往昔連續(xù)非周期，

回憶周期不連續(xù)，

任你 ZT、DFT，

還原不回去。 （請(qǐng)無(wú)視我渣一樣的文學(xué)水平……）

在這個(gè)世界上，有的事情一期一會(huì)，永不再來，并且時(shí)間始終不曾停息地將那些刻骨銘心的往昔連續(xù)的標(biāo)記在時(shí)間點(diǎn)上。但是這些事情往往又成為了我們格外寶貴 的回憶，在我們大腦里隔一段時(shí)間就會(huì)周期性的蹦出來一下，可惜這些回憶都是零散的片段，往往只有最幸福的回憶，而平淡的回憶則逐漸被我們忘卻。因?yàn)椋?是一個(gè)連續(xù)的非周期信號(hào)，而回憶是一個(gè)周期離散信號(hào)。

是否有一種數(shù)學(xué)工具將連續(xù)非周期信號(hào)變換為周期離散信號(hào)呢？抱歉，真沒有。

比如傅里葉級(jí)數(shù)，在時(shí)域是一個(gè)周期且連續(xù)的函數(shù)，而在頻域是一個(gè)非周期離散的函數(shù)。這句話比較繞嘴，實(shí)在看著費(fèi)事可以干脆回憶第一章的圖片。

而在我們接下去要講的傅里葉變換，則是將一個(gè)時(shí)域非周期的連續(xù)信號(hào)，轉(zhuǎn)換為一個(gè)在頻域非周期的連續(xù)信號(hào)。

算了，還是上一張圖方便大家理解吧：

或者我們也可以換一個(gè)角度理解：傅里葉變換實(shí)際上是對(duì)一個(gè)周期無(wú)限大的函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換。

所以說，鋼琴譜其實(shí)并非一個(gè)連續(xù)的頻譜，而是很多在時(shí)間上離散的頻率，但是這樣的一個(gè)貼切的比喻真的是很難找出第二個(gè)來了。

因此在傅里葉變換在頻域上就從離散譜變成了連續(xù)譜。那么連續(xù)譜是什么樣子呢？

你見過大海么？

為了方便大家對(duì)比，我們這次從另一個(gè)角度來看頻譜，還是傅里葉級(jí)數(shù)中用到最多的那幅圖，我們從頻率較高的方向看。

以上是離散譜，那么連續(xù)譜是什么樣子呢？

盡情的發(fā)揮你的想象，想象這些離散的正弦波離得越來越近，逐漸變得連續(xù)……

直到變得像波濤起伏的大海：

很抱歉，為了能讓這些波浪更清晰的看到，我沒有選用正確的計(jì)算參數(shù)，而是選擇了一些讓圖片更美觀的參數(shù)，不然這圖看起來就像屎一樣了。

不過通過這樣兩幅圖去比較，大家應(yīng)該可以理解如何從離散譜變成了連續(xù)譜的了吧？原來離散譜的疊加，變成了連續(xù)譜的累積。所以在計(jì)算上也從求和符號(hào)變成了積分符號(hào)。

不過，這個(gè)故事還沒有講完，接下去，我保證讓你看到一幅比上圖更美麗壯觀的圖片，但是這里需要介紹到一個(gè)數(shù)學(xué)工具才能然故事繼續(xù)，這個(gè)工具就是——

5 宇宙耍帥第一公式：歐拉公式 虛數(shù)i這個(gè)概念大家在高中就接觸過，但那時(shí)我們只知道它是-1 的平方根，可是它真正的意義是什么呢?

這里有一條數(shù)軸，在數(shù)軸上有一個(gè)紅色的線段，它的長(zhǎng)度是1。當(dāng)它乘以 3 的時(shí)候，它的長(zhǎng)度發(fā)生了變化，變成了藍(lán)色的線段，而當(dāng)它乘以-1 的時(shí)候，就變成了綠色的線段，或者說線段在數(shù)軸上圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了 180 度。 我們知道乘-1 其實(shí)就是乘了兩次 i 使線段旋轉(zhuǎn)了 180 度，那么乘一次 i 呢——答案很簡(jiǎn)單——旋轉(zhuǎn)了 90 度。

同時(shí)，我們獲得了一個(gè)垂直的虛數(shù)軸。實(shí)數(shù)軸與虛數(shù)軸共同構(gòu)成了一個(gè)復(fù)數(shù)的平面，也稱復(fù)平面。這樣我們就了解到，乘虛數(shù)i的一個(gè)功能——旋轉(zhuǎn)。

現(xiàn)在，就有請(qǐng)宇宙第一耍帥公式歐拉公式隆重登場(chǎng)——

這個(gè)公式在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的意義要遠(yuǎn)大于傅里葉分析，但是乘它為宇宙第一耍帥公式是因?yàn)樗奶厥庑问健?dāng)x等于 Pi 的時(shí)候。

經(jīng)常有理工科的學(xué)生為了跟妹子表現(xiàn)自己的學(xué)術(shù)功底，用這個(gè)公式來給妹子解釋數(shù)學(xué)之美：”石榴姐你看，這個(gè)公式里既有自然底數(shù)e，自然數(shù) 1 和0，虛數(shù)i還有圓周率 pi，它是這么簡(jiǎn)潔，這么美麗啊！“但是姑娘們心里往往只有一句話：”臭屌絲……“

這個(gè)公式關(guān)鍵的作用，是將正弦波統(tǒng)一成了簡(jiǎn)單的指數(shù)形式。我們來看看圖像上的涵義：

歐拉公式所描繪的，是一個(gè)隨著時(shí)間變化，在復(fù)平面上做圓周運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，隨著時(shí)間的改變，在時(shí)間軸上就成了一條螺旋線。如果只看它的實(shí)數(shù)部分，也就是螺旋線在左側(cè)的投影，就是一個(gè)最基礎(chǔ)的余弦函數(shù)。而右側(cè)的投影則是一個(gè)正弦函數(shù)。

關(guān)于復(fù)數(shù)更深的理解，大家可以參考：

復(fù)數(shù)的物理意義是什么？

這里不需要講的太復(fù)雜，足夠讓大家理解后面的內(nèi)容就可以了。

6 指數(shù)形式的傅里葉變換 有了歐拉公式的幫助，我們便知道：正弦波的疊加，也可以理解為螺旋線的疊加在實(shí)數(shù)空間的投影。而螺旋線的疊加如果用一個(gè)形象的栗子來理解是什么呢？

光波

高中時(shí)我們就學(xué)過，自然光是由不同顏色的光疊加而成的，而最著名的實(shí)驗(yàn)就是牛頓師傅的三棱鏡實(shí)驗(yàn)：

所以其實(shí)我們?cè)诤茉缇徒佑|到了光的頻譜，只是并沒有了解頻譜更重要的意義。

但不同的是，傅里葉變換出來的頻譜不僅僅是可見光這樣頻率范圍有限的疊加，而是頻率從 0 到無(wú)窮所有頻率的組合。

這里，我們可以用兩種方法來理解正弦波：

第一種前面已經(jīng)講過了，就是螺旋線在實(shí)軸的投影。

另一種需要借助歐拉公式的另一種形式去理解：

將以上兩式相加再除2，得到：

這個(gè)式子可以怎么理解呢？

我們剛才講過，e^(it)可以理解為一條逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋線，那么e^(-it)則可以理解為一條順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋線。而 cos (t)則是這兩條旋轉(zhuǎn)方向不同的螺旋線疊加的一半，因?yàn)檫@兩條螺旋線的虛數(shù)部分相互抵消掉了！

舉個(gè)例子的話，就是極化方向不同的兩束光波，磁場(chǎng)抵消，電場(chǎng)加倍。

這里，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的我們稱為正頻率，而順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的我們稱為負(fù)頻率（注意不是復(fù)頻率）。

好了，剛才我們已經(jīng)看到了大海——連續(xù)的傅里葉變換頻譜，現(xiàn)在想一想，連續(xù)的螺旋線會(huì)是什么樣子：

想象一下再往下翻：

是不是很漂亮？

你猜猜，這個(gè)圖形在時(shí)域是什么樣子？

哈哈，是不是覺得被狠狠扇了一個(gè)耳光。數(shù)學(xué)就是這么一個(gè)把簡(jiǎn)單的問題搞得很復(fù)雜的東西。

順便說一句，那個(gè)像大海螺一樣的圖，為了方便觀看，我僅僅展示了其中正頻率的部分，負(fù)頻率的部分沒有顯示出來。

如果你認(rèn)真去看，海螺圖上的每一條螺旋線都是可以清楚的看到的，每一條螺旋線都有著不同的振幅（旋轉(zhuǎn)半徑），頻率（旋轉(zhuǎn)周期）以及相位。而將所有螺旋線連成平面，就是這幅海螺圖了。

好了，講到這里，相信大家對(duì)傅里葉變換以及傅里葉級(jí)數(shù)都有了一個(gè)形象的理解了，我們最后用一張圖來總結(jié)一下：

本文只是介紹了一種對(duì)傅里葉分析新穎的理解方法，對(duì)于求學(xué)，還是要踏踏實(shí)實(shí)弄清楚公式和概念，學(xué)習(xí)，真的沒有捷徑。但至少通過本文，我希望可以讓這條漫長(zhǎng)的路變得有意思一些。

編輯：黃飛