本文提供一種快速、容易使用的工具，用來確定鏡像信號的真實位置和重疊頻率的位置，以及典型頻譜中的諧波頻率。所得數據用于分析模/數轉換器(ADC)和數/模轉換器(DAC)的動態特性。

這個基于Excel、簡單易用的重疊頻率計算器提供了一種在數據采樣系統的第一奈奎斯特頻帶中定位基波諧波的快速方法。此計算器與采樣過程無關，系統可以工作在奈奎斯特采樣、過采樣或欠采樣。這個工具對于確定ADC、DAC在第一奈奎斯特頻帶中的重疊頻譜非常有用。

本文討論了計算第一奈奎斯特頻帶中混疊頻率的方法，包括重疊頻率計算器的詳細使用說明。另外，為了增進理解，文中簡要討論了數據采樣系統或特定數據轉換器中混疊頻率和奈奎斯特頻率的概念。

眾所周知，數據采樣系統中存在頻率混疊現象，當一個信號以低于奈奎斯特頻率的時鐘采樣時將會發生頻率混疊，這里的奈奎斯特頻率是２倍的信號頻帶帶寬。現實世界中的信號頻譜都包含基波諧波，以及頻帶內、外的噪聲。系統固有的非線性和采樣過程的非線性會在輸出波形中產生基波的諧波成分。所有高于f_SAMP/2的高次諧波，f_SAMP為采樣頻率，混疊頻率將會進入第一奈奎斯特頻帶(圖1a、1b)。

圖1a. 時域中的混疊現象

圖1b. 頻域中的混疊現象

離散時域信號的快速傅立葉變換(FFT)頻譜可以劃分到無窮多個f_SAMP/2頻帶，即奈奎斯特頻帶。DC與f_SAMP/2之間的頻譜是第一奈奎斯特頻帶。頻譜分量在不同的奈奎斯特頻帶重復。注意：偶次奈奎斯特頻帶是奇次奈奎斯特頻帶的鏡像(圖2)。

圖2. 多個奈奎斯特頻帶示意圖

ADC中的混疊是由輸入級模擬信號的采樣/保持(T/H)過程產生的。在數字信號處理(DSP)領域，T/H過程等于脈沖序列(由采樣時鐘確定)的頻譜與模擬輸入頻譜的卷積。卷積結果產生了不同奈奎斯特頻帶中的周期性頻譜。當輸入信號包含有大于奈奎斯特頻率(f_SAMP/2)的頻譜成分時，相鄰奈奎斯特頻帶將產生相互重疊，從而產生頻率混疊現象。

DAC中的混疊是由輸出級離散時間采樣的零階保持(ZOH)過程產生的(零階保持器用于避免碼相關的脈沖干擾)。在DSP領域的零階保持過程等于sin(x)/x頻譜(表現為矩形函數，用于保持離散時間樣本)與DAC核輸出脈沖序列頻譜(振幅變化)的卷積。另外，與ADC一樣，不同奈奎斯特頻帶的周期性輸出頻譜是卷積的結果。

從數學角度看，如果沒有頻率混疊，所有低于f_SAMP/2的頻率成分都將出現在頻譜中。然而，由于頻率混疊，任何高于f_SAMP/2的諧波成分(f_HARM)也會作為鏡頻出現，頻率為：|± K x f_SAMP± f_HARM|，其中K = 1, 2, 3, 等。

以下運算用于計算第一奈奎斯特頻帶中的不同諧波：

其中，f_NYQ為奈奎斯特頻率，f_SAMP為采樣頻率，f_FUND為信號基頻，f_HARM為信號諧波頻率，f_LOC為諧波分量在第一奈奎斯特頻帶中的位置。

使用簡單的電子計算器求取不同諧波頻率(f_HARM)的位置(f_LOC)，首先必須確定迭代次數。為簡化此過程，可以下載“重疊頻率計算器” Excel表格。

重疊頻率計算器運算時需要兩個輸入變量：采樣頻率f_SAMP和信號基頻f_FUND。通過這兩個變量，該計算器可以求出奈奎斯特頻率(f_NYQ)，不同諧波頻率的絕對值(f_HARM)，以及重疊頻譜中第一奈奎斯特頻帶的不同諧波。表1給出了一個計算重疊頻率的例子。

表1. 重疊頻率計算(輸入f_SAMP=500.000000, f_FUND=29.96826172)