LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)

連續(xù)系統(tǒng)的描述：電路圖建立微分方程

1.數(shù)學(xué)模型

二階常系數(shù)線性微分方程

2.相似系統(tǒng)

相似系統(tǒng)：能用相同方程描述的系統(tǒng)

微分方程的模擬框圖

基本部件：

基本運(yùn)算：數(shù)乘、微分、相加

基本部件：加法器、數(shù)乘器、積分器

積分器的抗干擾性比微分器好(用積分器代替微分器)

2.模擬框圖

模擬框圖：將微分方程用基本部件的相互聯(lián)接表征出來(lái)的圖，簡(jiǎn)稱框圖。

例1 已知y’’(t) + ay’(t)+ by(t) = f(t)，畫(huà)出框圖。

解：將方程改寫(xiě)為 y”(t) = f(t) –ay’(t) –by(t)

繪制步驟為：

(1)畫(huà)出兩個(gè)積分器；

(2)以最后一個(gè)積分器的輸出端為y(t)；

(3)左邊第一個(gè)積分器的輸入端就是y”(t)，也是加法器的輸出。

例2 已知y“（t） + 3y'（t）+ 2y（t） = 4f'（t） + f（t），畫(huà)框圖。

解：該方程右端含f(t)的導(dǎo)數(shù)，引入輔助函數(shù)畫(huà)出框圖。 設(shè)輔助函數(shù)x(t)滿足

x“（t） + 3x'（t）+ 2x（t） = f（t）

移項(xiàng)整理得： x”(t) = -3x’(t)-2x(t) + f(t)

根據(jù)求和器列方程

微分方程的經(jīng)典解法

經(jīng)典解

齊次解是對(duì)應(yīng)齊次微分方程的解：

特解的函數(shù)形式與激勵(lì)的函數(shù)形式有關(guān)。

2.齊次解的常用函數(shù)形式

不同特征根所對(duì)應(yīng)的齊次解

3.特解的常用函數(shù)形式

不同激勵(lì)所對(duì)應(yīng)的特解

上式第一項(xiàng)系數(shù)C1 + Q0= 2，不能區(qū)分C1和Q0。

連續(xù)系統(tǒng)的初始值

結(jié)論：微分方程等號(hào)右端含有δ(t)時(shí)，僅在等號(hào)左端y(t)的最高階導(dǎo)數(shù)中含有δ(t)，則y(t)的次高階躍變，其余連續(xù)； 若右端不含沖激函數(shù)，則不會(huì)躍變。

零輸入響應(yīng)

求解步驟

(1)設(shè)定齊次解；

(2)代入初始值，求待定系數(shù)

零狀態(tài)響應(yīng)

求解步驟

(1)設(shè)定齊次解；

(2)設(shè)定特解，代入方程求解；

(3)代入初始值，求待定系數(shù)。

響應(yīng)分類

固有響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)

固有響應(yīng)僅與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，而與激勵(lì)的函數(shù)形式無(wú)關(guān)。

齊次解的函數(shù)形式僅與特征方程的根有關(guān)，特征方程的根稱為系統(tǒng)的“固有頻率”，齊次解常稱為系統(tǒng)的固有響應(yīng)或自由響應(yīng)。

強(qiáng)迫響應(yīng)與激勵(lì)的函數(shù)形式有關(guān)。

特解的函數(shù)形式與激勵(lì)的函數(shù)形式有關(guān)，常稱為強(qiáng)迫響應(yīng)。

暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

暫態(tài)響應(yīng)是指響應(yīng)中暫時(shí)出現(xiàn)的分量，隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，它將消失。

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是穩(wěn)定的分量，若存在，通常表現(xiàn)為階躍函數(shù)和周期函數(shù)。 比如，電路系統(tǒng)中的直流穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

Matlab求解系統(tǒng)的響應(yīng)

求LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的函數(shù)lsim，其調(diào)用格式為:

y=lsim（sys， f， t）

式中，t表示計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)的抽樣點(diǎn)向量； f是系統(tǒng)輸入信號(hào)，sys是LTI系統(tǒng)模型，用來(lái)表示微分方程。

系統(tǒng)模型sys要借助tf函數(shù)獲得，其調(diào)用方式為:

sys=tf（b， a）

式中，b和a分別為微分方程的右端和左端各項(xiàng)的系數(shù)。 比如：