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基本邏輯關(guān)系

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基本概念

邏輯常量與變量 ：邏輯常量只有兩個，即0和1，用來表示兩個對立的邏輯狀態(tài)。邏輯變量與普通代數(shù)一樣，也可以用字母、符號、數(shù)字及其組合來表示，但它們之間有著本質(zhì)區(qū)別，因?yàn)檫壿嬜兞康娜≈抵挥袃蓚€，即0和1，而沒有中間值。

邏輯運(yùn)算 ：在邏輯代數(shù)中，有與、或、非三種基本邏輯運(yùn)算。表示邏輯運(yùn)算的方法有多種，如語句描述、邏輯代數(shù)式、真值表、卡諾圖等。

邏輯函數(shù) ：邏輯函數(shù)是由邏輯變量、常量通過運(yùn)算符連接起來的代數(shù)式。同樣，邏輯函數(shù)也可以用表格和圖形的形式表示。

02

數(shù)字電路基本邏輯運(yùn)算

與運(yùn)算 : 只有當(dāng)一件事情 的幾個條件全部具備之后，這件事情才會發(fā)生。這種關(guān)系稱與運(yùn)算。邏輯表達(dá)式為 Y = AB

真值表：

或運(yùn)算 : 當(dāng)一件事情的幾個條件中只要有一個條件得到滿足，這件事就會發(fā)生，這種關(guān)系稱為或運(yùn)算。邏輯表達(dá)式為 Y = A + B

真值表：

非運(yùn)算 ：一件事情的發(fā)生是以其相反的條件為依據(jù)。這種邏輯關(guān)系為非運(yùn)算。記作

異或運(yùn)算 ：如果a、b兩個值不相同，則異或結(jié)果為1。如果a、b兩個值相同，異或結(jié)果為0。它的邏輯表達(dá)式為 Y = A ⊕ B =

真值表：

同或運(yùn)算 ：如果a、b兩個值不相同，則異或結(jié)果為0。如果a、b兩個值相同，異或結(jié)果為1。它的邏輯表達(dá)式為 Y = A ⊙ B =

真值表：

03

常用邏輯運(yùn)算律

接下來的這些常用的邏輯運(yùn)算律會在日常化簡邏輯表達(dá)式上有很大幫助。

02

邏輯函數(shù)及其化簡(卡諾圖)

01

卡諾圖的構(gòu)成

复制卡諾圖是一種包含一些小方塊的幾何圖形，圖中每個小方塊稱為一個單元，每個單元對應(yīng)一個最小項(xiàng)。 **兩個相鄰的最小項(xiàng)在卡諾圖中也必須是相鄰的。** 卡諾圖中相鄰的含義:幾何相鄰性，即幾何位置上相鄰，世就是左右緊挨著或者上下相接；對稱相鄰性，即圖形中對稱位置的單元是相鄰的。

例如：

兩變量卡諾圖：

三變量卡諾圖:

四變量卡諾圖：

02

邏輯函數(shù)在卡諾圖上的表示

l 給定邏輯函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表達(dá)式

當(dāng)邏輯函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表達(dá)式時，只需在卡諾圖上找出和表達(dá)式中最小項(xiàng)對應(yīng)的小方格填上1，其余小方格填上0，即可得到該函數(shù)的卡諾圖。

例如，4變量函數(shù)F(A,B,C,D)=∑m(1,5,8,9,10,13)的卡諾圖如圖1所示。

圖1 函數(shù)F(A,B,C)=∑m(1,5,8,9,10,13)的卡諾圖

l 邏輯函數(shù)為一般“與-或”表達(dá)式

當(dāng)邏輯函數(shù)為一般“與-或”表達(dá)式時，可根據(jù)“與”的公共性和“或”的疊加性作出相應(yīng)卡諾圖。

例如，4變量函數(shù)F(A,B,C,D)=ABC’D+ABCD+AB’CD的卡諾圖如圖2所示。

圖2 函數(shù)F(A,B,C,D)= ABC'D+ABCD+AB'CD的卡諾圖

填寫該函數(shù)卡諾圖時，只需在4變量卡諾圖上依次找出和“與項(xiàng)”ABC'D、ABCD、AB'CD對應(yīng)的小方格填上1，便可得到該函數(shù)的卡諾圖。當(dāng)邏輯函數(shù)表達(dá)式為其他形式時，可將其變換成上述形式后再作卡諾圖。為了敘述的方便，通常將卡諾圖上填1的小方格稱為1方格，填0的小方格稱為0方格。0方格有時用空格表示。

03

******卡諾圖上最小項(xiàng)的合并規(guī)律

卡諾圖的一個重要特征是，它從圖形上直觀、清晰地反映了最小項(xiàng)的相鄰關(guān)系。當(dāng)一個函數(shù)用卡諾圖表示后，究竟哪些最小項(xiàng)可以合并呢？下面以2、3、4變量卡諾圖為例予以說明。

l 兩個小方格相鄰, 或處于某行(列)兩端時，所代表的最小項(xiàng)可以合并，合并后可消去一個變量。

l 四個小方格組成一個大方格、或組成一行（列）、或處于相鄰兩行（列）的兩端、或處于四角時，所的表的最小項(xiàng)可以合并，合并后可消去兩個變量。

l 八個小方格組成一個大方格、或組成相鄰的兩行（列）、或處于兩個邊行（列）時，所代表的最小項(xiàng)可以合并，合并后可消去三個變量。

至此，以3、4變量卡諾圖為例，討論了2，4，8個最小項(xiàng)的合并方法。依此類推，不難得出n個變量卡諾圖中最小項(xiàng)的合并規(guī)律。

歸納起來，n個變量卡諾圖中最小項(xiàng)的合并規(guī)律如下：

（1）卡諾圈中小方格的個數(shù)必須為2m個，m為小于或等于n的整數(shù)。

（2）卡諾圈中的2m個小方格有一定的排列規(guī)律，具體地說，它們 含有m個不同變量，(n-m)個相同變量 。

（3）卡諾圈中的 2m個小方格對應(yīng)的最小項(xiàng)可用(n-m)個變量的“與”項(xiàng)表示 ，該“與”項(xiàng)由這些最小項(xiàng)中的相同變量構(gòu)成。

（4） 當(dāng)m=n時，卡諾圈包圍了整個卡諾圖，可用1表示 ，即n個變量的全部最小項(xiàng)之和為1。

04

******卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

首先，有這么幾點(diǎn)需要明確：

l 列出邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式 ，由最小項(xiàng)表達(dá)式確定變量的個數(shù)（如果最小項(xiàng)中缺少變量，應(yīng)按例的方法補(bǔ)齊）。

l 畫出最小項(xiàng)表達(dá)式對應(yīng)的卡諾圖。

l 將卡諾圖中的1格畫圈。 一個也不能漏圈，否則最后得到的表達(dá)式就會與所給函數(shù)不等；1格允許被一個以上的圈所包圍。

l ** 圈的個數(shù)應(yīng)盡可能得少。**即在保證1格一個也不漏圈的前提下，圈的個數(shù)越少越好。因?yàn)橐粋€圈和一個與項(xiàng)相對應(yīng)，圈數(shù)越少，與或表達(dá)式的與項(xiàng)就越少。

l 按照2k個方格來組合（即圈內(nèi)的1格數(shù)必須為1，2，4，8等），圈的面積越大越好。 因?yàn)槿υ酱螅上サ淖兞烤驮蕉?，與項(xiàng)中的變量就越少。

l 每個圈應(yīng)至少包含一個新的1格，否則這個圈是多余的。

l 用卡諾圖化簡所得到的最簡與或式不是唯一的。

例子：

用卡諾圖化簡法化簡下式為最簡單與或邏輯式

Y = ABCD+ BCD + BD

首先可先把他化成最小項(xiàng)之和的形式：

Y = ABCD + (A + A’)BCD + (A + A’) B (C + C’) D

然后我們例如卡諾圖，將可能合并的最小項(xiàng)圈出，并按照前面所述的原則進(jìn)行化簡后與或式中的乘積項(xiàng)，于是我們得到化簡后的表達(dá)式：

Y = BD