如果您想要設計電磁線圈， COMSOL Multiphysics? 軟件的 AC/DC 模塊與優化模塊可以幫助您快速實現并進行迭代改進。今天，我們將研究如何進行線圈系統優化設計，并通過改變線圈的驅動電流來實現所需的磁場分布。還將介紹三種不同的優化目標和約束。如果您對線圈建模或優化感興趣，這篇文章將滿足您的好奇心！

磁場模型與優化問題陳述

我們今天要研究的問題是十匝軸對稱線圈結構的優化，如下圖所示。xy 平面兩側的五匝線圈中的每一匝都是對稱但獨立驅動的。

帶有五個獨立驅動線圈對的十匝線圈。目標是改變中心線處的磁場（綠色突出顯示）。

線圈旋轉軸對稱，且關于 z=0 平面對稱，因此我們可以將計算模型簡化為二維軸對稱模型，如下圖所示。建模域被無限元域 截斷。我們使用理想磁導體邊界條件來模擬關于 z = 0 平面的對稱性。因此，我們的模型簡化為四分之一圓域，有五個獨立的線圈，這些線圈使用線圈域 特征建模。

計算模型示意圖。

如果所有線圈都以相同的 10A 電流驅動，我們可以繪制沿中心線的磁通密度的 z 分量，如下圖所示。我們想要通過優化來改變沿一部分中心線的場分布。

沿線圈中心線的磁場分布。我們希望在優化區域內磁場。

從上圖可以看出，由于每個線圈的電流為 10A，我們可以看到沿著一部分中心線存在磁場。我們希望通過調整線圈電流來改變磁場分布。我們的控制變量是五個獨立的線圈電流：。這些控制變量有界限：。也就是說，電流不能太大，否則線圈會過熱。

我們將研究三種不同的優化問題：

1. 使中心線處的磁場盡可能接近期望的目標值
2. 最小化驅動線圈所需的功率，以及在幾個點上對場最小值的約束
3. 最小化沿中心線的磁場梯度，以及在某一點上對場的約束

針對特定場值進行優化

我們用更數學化的語言描述這些優化問題。第一個優化問題可以寫成：

這里的目標是最小化計算得到的 Bz 與目標值之間的差異，其中目標值 B0 = 250μT，將 Bz 沿線圈中心線從 z = 0 到 z = L0進行積分。注意，該目標是相對于 L0 和 B0 歸一化的。這樣做是為了使這個目標函數的大小約為 1。對于任何優化問題，都應該對目標函數進行縮放。

現在，我們看看這個問題在 COMSOL Multiphysics 中的實現過程。我們首先在模型中添加一個優化 接口，該接口包含兩個特征。第一個特征是全局控制變量，如下面的屏幕截圖所示。我們可以看到設置了五個控制變量：I1,...,I5。這些變量用于通過磁場接口的五個線圈特征指定電流。

這些變量的初始值、上界和下界也由兩個全局參數 I_init 和 I_max 指定。另請注意，比例因子 設置為控制變量的幅值也接近 1。在所有三個示例中，我們將對控制變量使用相同的設置。

設置全局控制變量特征，該特征指定線圈電流。

接下來，通過邊界上的積分目標 特征定義目標函數，如下面的屏幕截圖所示。請注意，沒有勾選乘以 2πr 。

設置目標函數確保沿一個邊界滿足所需的場。

我們在研究中包含優化 步驟，如下面的屏幕截圖所示。由于可以得到目標函數關于控制變量的解析梯度，因此我們可以使用 SNOPT 求解器。該求解器利用解析梯度，在幾秒鐘內求解優化問題。所有其他求解器設置都可以保留為默認設置。

優化研究步驟。

求解后，我們可以繪制場和結果。下圖顯示 Bz 場與目標值非常接近。

沿中心線優化磁通量目標值的結果。

通過場約束最小化功率

我們的第二個優化問題是最小化驅動線圈所需的總功率，并約束中心線上若干點上對場的最小值。這可以表示為：

其中 Po 是所有線圈中消耗的初始總功率，是第 k 個線圈中消耗的功率。

我們還希望將中心線上 M 個點處的場限制在 B0 值以上。

此問題的實現使用了與以前相同的“全局控制變量”特征。最小化線圈總功率的目標是通過全局目標 特征實現的，如下面的屏幕截圖所示。每個線圈特征中功率的內置變量（mf.PCoil_1,...,mf.PCoil5）可以直接使用。目標相對于初始總功率進行歸一化，使其接近統一。

實現將總功率降至最低的目標。

對場最小值的約束必須在模型中的一組離散點上實現。本例中，我們引入了優化區域上均勻分布的五個點。必須使用單獨的點總和不等式約束 特征引入每一個約束，如下所示。我們再次應用歸一化，使得此約束的大小為 1。請注意，不勾選乘以 2πr 選項，原因是這些點位于中心線上。

在某一點上實現對場最小值的約束。

我們可以使用與以前相同的方法解決這個問題，結果如下圖所示。值得注意的是，最小功率解下目標區域上常分布為非均勻的。

通過對場最小值的約束來優化最小功耗的結果。

通過場約束最小化梯度

最后，我們考慮最小化沿著優化區域的場梯度，在中心點對場進行約束。這可以表示為：

這里的約束線圈中心點處的場。盡管優化 接口確實有明確的等式約束，但我們可以使用具有相等上界和下界的不等式約束來實現相同的結果。我們再次應用歸一化，這樣我們的約束實際上為，如下圖所示。

實現等式約束。

最小化目標區域內場梯度的目標是通過“積分目標”特征實現的（如下所示）。Bz 場相對于 z 方向的梯度是用導數算子 d(mf.Bz,z) 計算的。

最小化場梯度的目標。

我們可以使用與以前相同的求解器設置。本例的結果如下所示。優化區域內的場非常均勻，并且與中心點的目標相匹配。

對某一點的場有約束的最小場梯度進行優化的結果。

雖然這里的場看起來與第一種情況幾乎相同，但線圈電流的解卻截然不同，這就引出了一個有趣的問題。線圈電流有多種組合，可以在最小化場差或梯度方面給出幾乎相同的解。另一種說法是，目標函數有多個局部最小點。

SNOPT 優化求解器使用一種基于梯度的方法，并針對線圈電流的不同初始條件接近不同的局部最小值。雖然基于梯度的求解器會收斂到局部最小值，但不能保證這實際上是全局最小值。一般來說（除非我們對設計空間進行徹底的搜索），永遠不可能保證優化的解是全局最小值。

此外，如果我們要增加這個問題中的線圈數量，我們可以得出線圈電流的多種組合幾乎等同于最優的情況。也就是說，設計空間（線圈電流的組合）中沒有單個最佳點，而是幾乎相等的“最佳線”或“最佳表面”。優化求解器不提供直接反饋，但在這種情況下往往會收斂得更慢。

結束語

本文我們介紹了三種不同的方法來優化流經不同匝線圈的電流。在這三種方法中，我們引入了不同類型的目標函數和約束，它們也可以適用于其他各種情況。根據線圈設計問題的整體目標和目的，您可以使用其中任何一個，甚至是完全不同的目標函數和約束集。這些示例表明了 COMSOL 優化模塊與 AC/DC 模塊結合使用的強大功能和靈活性。