數字芯片本質是0-1邏輯。我們將用系列文章來一起學習數字電路基礎。我們的目標不是求大求全，而是整理一些面試過程跟數字電路基礎相關的知識點，以及平時工作中經常用到的數字電路知識點，大家一起學有所用，學有所成！

上節我們主要講述了一個數值的表示方法，用進制來表示，各種進制之間的轉換關系。有符號數是怎么表示的，特別是負數的原碼、反碼、補碼表示方式。

我們說了數字電路的本質是0-1邏輯，就是通過各種邏輯操作來實現我們想要的功能。本節我們主要學習邏輯關系，以及卡諾圖。

內容概括

這次為大家講述的內容包括：

基本邏輯關系

邏輯函數及其化簡(卡諾圖)

0****1

基本邏輯關系

01

基本概念

邏輯常量與變量 ：邏輯常量只有兩個，即0和1，用來表示兩個對立的邏輯狀態。邏輯變量與普通代數一樣，也可以用字母、符號、數字及其組合來表示，但它們之間有著本質區別，因為邏輯變量的取值只有兩個，即0和1，而沒有中間值。

邏輯運算 ：在邏輯代數中，有與、或、非三種基本邏輯運算。表示邏輯運算的方法有多種，如語句描述、邏輯代數式、真值表、卡諾圖等。

邏輯函數 ：邏輯函數是由邏輯變量、常量通過運算符連接起來的代數式。同樣，邏輯函數也可以用表格和圖形的形式表示。

02

數字電路基本邏輯運算

與運算 : 只有當一件事情 的幾個條件全部具備之后，這件事情才會發生。這種關系稱與運算。邏輯表達式為 Y = AB

真值表：

或運算 : 當一件事情的幾個條件中只要有一個條件得到滿足，這件事就會發生，這種關系稱為或運算。邏輯表達式為 Y = A + B

真值表：

非運算 ：一件事情的發生是以其相反的條件為依據。這種邏輯關系為非運算。記作

異或運算 ：如果a、b兩個值不相同，則異或結果為1。如果a、b兩個值相同，異或結果為0。它的邏輯表達式為 Y = A ⊕ B =

真值表：

同或運算 ：如果a、b兩個值不相同，則異或結果為0。如果a、b兩個值相同，異或結果為1。它的邏輯表達式為 Y = A ⊙ B =

真值表：

03

常用邏輯運算律

接下來的這些常用的邏輯運算律會在日?；嗊壿嫳磉_式上有很大幫助。

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邏輯函數及其化簡(卡諾圖)

01

卡諾圖的構成

卡諾圖是一種包含一些小方塊的幾何圖形，圖中每個小方塊稱為一個單元，每個單元對應一個最小項。 兩個相鄰的最小項在卡諾圖中也必須是相鄰的。 卡諾圖中相鄰的含義:幾何相鄰性，即幾何位置上相鄰，世就是左右緊挨著或者上下相接；對稱相鄰性，即圖形中對稱位置的單元是相鄰的。

例如：

兩變量卡諾圖：

三變量卡諾圖:

四變量卡諾圖：

02

邏輯函數在卡諾圖上的表示

l 給定邏輯函數為標準“與-或”表達式

當邏輯函數為標準“與-或”表達式時，只需在卡諾圖上找出和表達式中最小項對應的小方格填上1，其余小方格填上0，即可得到該函數的卡諾圖。

例如，4變量函數F(A,B,C,D)=∑m(1,5,8,9,10,13)的卡諾圖如圖1所示。

圖1 函數F(A,B,C)=∑m(1,5,8,9,10,13)的卡諾圖

l 邏輯函數為一般“與-或”表達式

當邏輯函數為一般“與-或”表達式時，可根據“與”的公共性和“或”的疊加性作出相應卡諾圖。

例如，4變量函數F(A,B,C,D)=ABC’D+ABCD+AB’CD的卡諾圖如圖2所示。

圖2 函數F(A,B,C,D)= ABC'D+ABCD+AB'CD的卡諾圖

填寫該函數卡諾圖時，只需在4變量卡諾圖上依次找出和“與項”ABC'D、ABCD、AB'CD對應的小方格填上1，便可得到該函數的卡諾圖。當邏輯函數表達式為其他形式時，可將其變換成上述形式后再作卡諾圖。為了敘述的方便，通常將卡諾圖上填1的小方格稱為1方格，填0的小方格稱為0方格。0方格有時用空格表示。

03

******卡諾圖上最小項的合并規律

卡諾圖的一個重要特征是，它從圖形上直觀、清晰地反映了最小項的相鄰關系。當一個函數用卡諾圖表示后，究竟哪些最小項可以合并呢？下面以2、3、4變量卡諾圖為例予以說明。

l 兩個小方格相鄰, 或處于某行(列)兩端時，所代表的最小項可以合并，合并后可消去一個變量。

例如，圖3給出了2變量卡諾圖上兩個相鄰最小項合并的典型情況的。

圖3 兩個相鄰最小項合并的情況

l 四個小方格組成一個大方格、或組成一行（列）、或處于相鄰兩行（列）的兩端、或處于四角時，所的表的最小項可以合并，合并后可消去兩個變量。

例如，圖4給出了4變量卡諾圖上四個相鄰最小項合并的典型情況的。

圖4 四個相鄰最小項合并的情況

l 八個小方格組成一個大方格、或組成相鄰的兩行（列）、或處于兩個邊行（列）時，所代表的最小項可以合并，合并后可消去三個變量。

例如，圖5給出了4變量卡諾圖上八個相鄰最小項合并的典型情況的。

圖5 八個相鄰最小項合并的情況

至此，以3、4變量卡諾圖為例，討論了2，4，8個最小項的合并方法。依此類推，不難得出n個變量卡諾圖中最小項的合并規律。

歸納起來，n個變量卡諾圖中最小項的合并規律如下：

（1）卡諾圈中小方格的個數必須為2m個，m為小于或等于n的整數。

（2）卡諾圈中的2m個小方格有一定的排列規律，具體地說，它們 含有m個不同變量，(n-m)個相同變量 。

（3）卡諾圈中的 2m個小方格對應的最小項可用(n-m)個變量的“與”項表示 ，該“與”項由這些最小項中的相同變量構成。

（4） 當m=n時，卡諾圈包圍了整個卡諾圖，可用1表示 ，即n個變量的全部最小項之和為1。

04

******卡諾圖化簡邏輯函數

首先，有這么幾點需要明確：

l 列出邏輯函數的最小項表達式 ，由最小項表達式確定變量的個數（如果最小項中缺少變量，應按例的方法補齊）。

l 畫出最小項表達式對應的卡諾圖。

l 將卡諾圖中的1格畫圈。 一個也不能漏圈，否則最后得到的表達式就會與所給函數不等；1格允許被一個以上的圈所包圍。

l ** 圈的個數應盡可能得少。**即在保證1格一個也不漏圈的前提下，圈的個數越少越好。因為一個圈和一個與項相對應，圈數越少，與或表達式的與項就越少。

l 按照2k個方格來組合（即圈內的1格數必須為1，2，4，8等），圈的面積越大越好。 因為圈越大，可消去的變量就越多，與項中的變量就越少。

l 每個圈應至少包含一個新的1格，否則這個圈是多余的。

l 用卡諾圖化簡所得到的最簡與或式不是唯一的。

例子：

用卡諾圖化簡法化簡下式為最簡單與或邏輯式

Y = ABCD+ BCD + BD

首先可先把他化成最小項之和的形式：

Y = ABCD + (A + A’)BCD + (A + A’) B (C + C’) D

然后我們例如卡諾圖，將可能合并的最小項圈出，并按照前面所述的原則進行化簡后與或式中的乘積項，于是我們得到化簡后的表達式：

Y = BD