首先，FFT是離散傅立葉變換 (DFT) 的快速算法，那么說到FFT，我們自然要先講清楚傅立葉變換。先來看看傅立葉變換是從哪里來的？

傅立葉是一位法國數學家和物理學家的名字，英語原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830)，Fourier對熱傳遞很感興趣，于1807年在法國科學學會上發表了一篇論文，運用正弦曲線來描述溫度分布，論文里有個在當時頗具爭議性的命題：任何連續周期信號可以由一組適當的正弦曲線組合而成。當時審查這個論文的人，其中有兩位是歷史上著名的數學家拉格朗日 (Joseph Louis Lagrange, 1736-1813) 和拉普拉斯 (Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，當拉普拉斯和其他審查者投票通過并要發表這個論文時，拉格朗日堅決反對，在近50年的時間里，拉格朗日堅持認為傅立葉的方法無法表示帶有棱角的信號，如在方波中出現非連續變化斜率。法國科學學會屈服于拉格朗日的權威，拒絕了傅立葉的工作。幸運的是，傅立葉還有其它事情可忙，他參加了政治運動，隨拿破侖遠征埃及，法國大革命后因為怕被推上斷頭臺而一直在逃難，直到拉格朗日死后15年這個論文才被發表出來。

誰是對的呢？拉格朗日是對的：正弦曲線無法組合成一個帶有棱角的信號。但是，我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基于此，傅立葉是對的。

二、傅里葉變換的意義

為什么我們要用正弦曲線來代替原來的曲線呢？如果我們也還可以用方波或三角波來代替，分解信號的方法是無窮的，但分解信號的目的是為了更加簡單地處理原來的信號。用正余弦來表示原信號會更加簡單，因為正余弦擁有其他信號所不具備的性質：正弦曲線保真度。一個正弦曲線信號輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的，且只有正弦曲線才擁有這樣的性質，正因如此我們才不用方波或三角波來表示。

傅立葉變換的物理意義在哪里呢？

傅立葉原理表明：任何連續測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據該原理創立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。當然，這是從數學的角度去看傅立葉變換。

那么從物理的角度去看待傅立葉變換，它其實是幫助我們改變從傳統的時間域分析信號的方法轉到從頻率域分析問題的思維，下面的一幅立體圖形可以幫助我們更好得理解這種角度的轉換：

所以，最前面的時域信號在經過傅立葉變換的分解之后，變為了不同正弦波信號的疊加，我們再去分析這些正弦波的頻率，可以將一個信號變換到頻域。有些信號在時域上是很難看出什么特征的，但是如果變換到頻域之后，就很容易看出特征了。這就是很多信號分析采用FFT變換的原因。另外，FFT可以將一個信號的頻譜提取出來，這在頻譜分析方面也是經常用的。

傅立葉變換提供給我們這種換一個角度看問題的工具，看問題的角度不同了，問題也許就迎刃而解！

三、FFT是怎樣完成的

首先，按照被變換的輸入信號類型不同，傅立葉變換可以分為 4種類型：

• 非周期性連續信號傅立葉變換 (Fourier Transform)
• 周期性連續信號傅立葉級數 (Fourier Series)
• 非周期性離散信號離散時域傅立葉變換 (Discrete Time Fourier Transform)
• 周期性離散信號離散傅立葉變換 (Discrete Fourier Transform)

下面是四種原信號圖例：

這里我們要討的論是離散信號，對于連續信號我們不作討論，因為計算機只能處理離散的數值信號，我們的最終目的是運用計算機來處理信號的。所以對于離散信號的變換只有離散傅立葉變換 (DFT) 才能被適用，對于計算機來說只有離散的和有限長度的數據才能被處理，對于其它的變換類型只有在數學演算中才能用到，在計算機面前我們只能用DFT方法，我們要討論的FFT也只不過是DFT的一種快速的算法。

DFT的運算過程是這樣的：

可見，在計算機上進行的DFT，使用的輸入值是數字示波器經過ADC后采集到的采樣值，也就是時域的信號值，輸入采樣點的數量決定了轉換的計算規模。變換后的頻譜輸出包含同樣數量的采樣點，但是其中有一半的值是冗余的，通常不會顯示在頻譜中，所以真正有用的信息是N/2+1個點。

FFT的過程大大簡化了在計算機中進行DFT的過程。簡單來說，如果原來計算DFT的復雜度是NN 次運算（N 代表輸入采樣點的數量），進行FFT的運算復雜度是Nlg10( N )，因此，計算一個1000采樣點的DFT，使用FFT算法只需要計算3000次，而常規的DFT算法需要計算1000000次！

典型的時域2分裂算法圖示如下：

四、變換前后信號的對應關系

以一個實際的信號為例來說明：

示波器采樣得到的數字信號，就可以做FFT變換了。N個采樣點，經過FFT之后，就可以得到N個點的FFT結果。為了方便進行FFT運算，通常N取2的整數次方。

假設采樣頻率為Fs，信號頻率F，采樣點數為N。那么，FFT之后結果就是一個為N點的復數。每一個點就對應著一個頻率點。這個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性。

具體跟原始信號的幅度有什么關系呢？

假設原始信號的峰值為A，那么FFT的結果的每個點（除了第一個點直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一個點就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每個點的相位呢，就是在該頻率下的信號的相位。第一個點表示直流分量（即0Hz），而最后一個點N的再下一個點（實際上這個點是不存在的，這里是假設的第N+1個點，也可以看做是將第一個點分做兩半分，另一半移到最后）則表示采樣頻率Fs，這中間被N-1個點平均分成N等份，每個點的頻率依次增加。例如某點n所表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到頻率為為Fs/N，如果采樣頻率Fs為1024Hz，采樣點數為1024點，則可以分辨到1Hz。1024Hz的采樣率采樣1024點，剛好是1秒，也就是說，采樣1秒時間的信號并做FFT，則結果可以分析精確到1Hz，如果采樣2秒時間的信號并做FFT，則結果可以分析精確到0.5Hz。如果要提高頻率分辨率，則必須增加采樣點數，也即采樣時間。頻率分辨率和采樣時間是倒數關系。

下面這幅圖更能夠清晰地表示這種對應關系：

變換之后頻譜的寬度 (Frequency Span) 與原始信號也存在一定的對應關系。根據Nyquist采樣定理，FFT之后的頻譜寬度 (Frequency Span) 最大只能是原始信號采樣率的1/2，如果原始信號采樣率是4GS/s，那么，FFT之后的頻寬最多只能是2GHz。時域信號采樣周期 (Sample Period) 的倒數，即采樣率 (Sample Rate) 乘上一個固定的系數即是變換之后頻譜的寬度，即Frequency Span=K*(1/ΔT)，其中，ΔT為采樣周期，K值取決于我們在進行FFT之前是否對原始信號進行降采樣（抽點），因為這樣可以降低FFT的運算量。如下圖所示：

可見，更高的頻譜分辨率要求有更長的采樣時間，更寬的頻譜分布需要提高對于原始信號的采樣率。當然，我們希望頻譜更寬，分辨率更精確，那么示波器的長存儲就是必要的！它能提供在高采樣率下采集更長時間信號的能力！

五、幾種典型周期函數的頻譜圖

頻譜泄露：

所謂頻譜泄露，就是信號頻譜中各譜線之間相互干擾，使測量的結果偏離實際值，同時在真實譜線的兩側的其它頻率點上出現一些幅值較小的假譜。產生頻譜泄露的主要原因是采樣頻率和原始信號頻率不同步，造成周期的采樣信號相位在始端和終端不連續。簡單來說就是因為計算機的FFT運算能力有限，只能處理有限點數的FFT，所以在截取時域的周期信號時，沒有能夠截取整數倍的周期。信號分析時不可能取無限大的樣本。只要有截斷不同步就會有泄露，如下圖所示：

上圖的信號頻率為2.1MHz，采集時間內沒有截取整數倍周期的信號，FFT運算之后譜線的泄露現象嚴重，可以看到能量較低的譜線很容易被臨近的能量較高的譜線的泄露給淹沒住。

因此，避免頻譜泄露的方法除了盡量使采集速率與信號頻率同步之外，還可以采用適當的窗函數。

不同的窗函數對頻譜譜線的影響不同，基本形狀可以參看下圖：

可以看到，不同的窗函數的主瓣寬度和旁瓣的衰減速度都不一樣，所以對于不同信號的頻譜應該使用適當的窗函數進行處理。

• 矩形窗(Rectangular)： 加矩形窗等于不加窗，因為在截取時域信號時本身就是采用矩形截取，所以矩形窗適用于瞬態變化的信號，只要采集的時間足夠長，信號寬度基本可以覆蓋整個有效的瞬態部分。
• 漢寧窗(Von Hann)： 如果測試信號有多個頻率分量，頻譜表現的十分復雜，且測試的目的更多關注頻率點而非能量的大小。在這種情況下，需要選擇一個主瓣夠窄的窗函數，漢寧窗是一個很好的選擇。
• flattop窗： 如果測試的目的更多的關注某周期信號頻率點的能量值，比如，更關心其EUpeak,EUpeak-peak,EUrms，那么，其幅度的準確性則更加的重要，可以選擇一個主瓣稍寬的窗，flattop窗在這樣的情況下經常被使用。

六、總 結

FFT是離散傅立葉變換的快速算法，可以將一個信號變換到頻域。有些信號在時域上是很難看出什么特征的，但是如果變換到頻域之后，就很容易看出特征了。這就是很多信號分析采用FFT變換的原因。另外，FFT可以將一個信號的頻譜提取出來，這在頻譜分析方面也是經常用的。

雖然很多人都知道FFT是什么，可以用來做什么，怎么去做，但是卻不知道FFT之后的結果是什意思、如何決定要使用多少點來做FFT。

現在我就根據實際經驗來說說FFT結果的具體物理意義。一個模擬信號，經過ADC采樣之后，就變成了數字信號。采樣定理告訴我們，采樣頻率要大于信號最高頻率的兩倍，這些我就不在此啰嗦了。

采樣得到的數字信號，就可以做FFT變換了。N個采樣點，經過FFT之后，就可以得到N個點的FFT結果。為了方便進行FFT運算，通常N取2的整數次方（參見FFT原理）。FFT運算量：Nlog2N（2為對數的底）

假設采樣頻率為Fs，信號頻率F，采樣點數為N。那么FFT之后結果就是一個為N點的復數。每一個點就對應著一個頻率點。這個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始信號的幅度有什么關系呢？假設原始信號的峰值為A，那么FFT的結果的每個點（除了第一個點直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一個點就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每個點的相位呢，就是在該頻率下的信號的相位。第一個點表示直流分量（即0Hz），而最后一個點N的再下一個點（實際上這個點是不存在的，這里是假設的第N+1個點，也可以看做是將第一個點分做兩半，另一半移到最后）則表示采樣頻率Fs，這中間被N-1個點平均分成N等份，每個點的頻率依次增加。例如某點n所表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到頻率F0=Fs/N。假設頻率分辨率F0=Fs/N限定，采樣頻率Fs也給定，也已知信號最高頻率Fh，那么由采樣定理：Fs≥2Fh得到：N=Fs/F0≥2Fh/F0，即采樣點必須滿足這樣一個關系式。

如果采樣頻率Fs為1024Hz，采樣點數為1024點，則可以分辨到1Hz。1024Hz的采樣率采樣1024點，剛好是1秒。也就是說，采樣1秒時間的信號并做FFT，則結果可以分析到1Hz；如果采樣2秒時間的信號并做FFT，相應的采樣點也為原來2倍，則結果可以分析到0.5Hz。如果要提高頻率分辨力，則必須增加采樣點數，即延長采樣時間，所以頻率分辨率和采樣時間是倒數關系。就是說，要想分辨出頻率間隔越小的頻率（頻率分辨率越高），采樣時間越長越好。