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從技術(shù)層面解析CRC循環(huán)冗余算法原理

jf_35136247 ? 來(lái)源:jf_35136247 ? 作者:jf_35136247 ? 2023-05-06 14:33 ? 次閱讀

Cyclic Redundancy Check循環(huán)冗余檢驗(yàn),是基于數(shù)據(jù)計(jì)算一組效驗(yàn)碼,用于核對(duì)CRC循環(huán)冗余算法數(shù)據(jù)傳輸過(guò)程中是否被更改或傳輸錯(cuò)誤。

算法原理

假設(shè)數(shù)據(jù)傳輸過(guò)程中需要發(fā)送15位的二進(jìn)制信息g=101001110100001,這串二進(jìn)制碼可表示為代數(shù)多項(xiàng)式g(x) = x^14 + x^12 + x^9 + x^8 + x^7 + x^5 + 1,其中g(shù)中第k位的值,對(duì)應(yīng)g(x)中x^k的系數(shù)。將g(x)乘以x^m,既將g后加m個(gè)0,然后除以m階多項(xiàng)式h(x),得到的(m-1)階余項(xiàng)r(x)對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制碼r就是CRC編碼。

h(x)可以自由選擇或者使用國(guó)際通行標(biāo)準(zhǔn),一般按照h(x)的階數(shù)m,將CRC算法稱為CRC-m,比如CRC-32、CRC-64等。

g(x)和h(x)的除運(yùn)算,可以通過(guò)g和h做xor(異或)運(yùn)算。

比如將11001與10101做xor運(yùn)算:

明白了xor運(yùn)算法則后,舉一個(gè)例子使用CRC-8算法求101001110100001的效驗(yàn)碼。CRC-8標(biāo)準(zhǔn)的h(x) = x^8 + x^7 + x^6 + x^4 + x^2 + 1,既h是9位的二進(jìn)制串111010101。

經(jīng)過(guò)迭代運(yùn)算后,最終得到的r是10001100,這就是CRC效驗(yàn)碼。

通過(guò)示例,可以發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律,依據(jù)這些規(guī)律調(diào)整算法:

  1. 每次迭代,根據(jù)gk的首位決定b,b是與gk進(jìn)行運(yùn)算的二進(jìn)制碼。若gk的首位是1,則b=h;若gk的首位是0,則b=0,或者跳過(guò)此次迭代,上面的例子中就是碰到0后直接跳到后面的非零位。
  2. 每次迭代,gk的首位將會(huì)被移出,所以只需考慮第2位后計(jì)算即可。這樣就可以舍棄h的首位,將b取h的后m位。比如CRC-8的h是111010101,b只需是11010101。
  3. 每次迭代,受到影響的是gk的前m位,所以構(gòu)建一個(gè)m位的寄存器S,此寄存器儲(chǔ)存gk的前m位。每次迭代計(jì)算前先將S的首位拋棄,將寄存器左移一位,同時(shí)將g的后一位加入寄存器。若使用此種方法,計(jì)算步驟如下:

※藍(lán)色表示寄存器S的首位,是需要移出的,b根據(jù)S的首位選擇0或者h(yuǎn)。黃色是需要移入寄存器的位。S'是經(jīng)過(guò)位移后的S。

查表法

同樣是上面的那個(gè)例子,將數(shù)據(jù)按每4位組成1個(gè)block,這樣g就被分成6個(gè)block。

下面的表展示了4次迭代計(jì)算步驟,灰色背景的位是保存在寄存器中的。

經(jīng)4次迭代,B1被移出寄存器。被移出的部分,不我們關(guān)心的,我們關(guān)心的是這4次迭代對(duì)B2和B3產(chǎn)生了什么影響。注意表中紅色的部分,先作如下定義:

B23 = 00111010

b1 = 00000000

b2 = 01010100

b3 = 10101010

b4 = 11010101

b' = b1 xor b2 xor b3 xor b4

4次迭代對(duì)B2和B3來(lái)說(shuō),實(shí)際上就是讓它們與b1,b2,b3,b4做了xor計(jì)算,既:

B23 xor b1 xor b2 xor b3 xor b4

可以證明xor運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律,于是:

B23 xor b1 xor b2 xor b3 xor b4 = B23 xor (b1 xor b2 xor b3 xor b4) = B23 xor b'

b1是由B1的第1位決定的,b2是由B1迭代1次后的第2位決定(既是由B1的第1和第2位決定),同理,b3和b4都是由B1決定。通過(guò)B1就可以計(jì)算出b'。另外,B1由4位組成,其一共2^4有種可能值。于是我們就可以想到一種更快捷的算法,事先將b'所有可能的值,16個(gè)值可以看成一個(gè)表;這樣就可以不必進(jìn)行那4次迭代,而是用B1查表得到b'值,將B1移出,B3移入,與b'計(jì)算,然后是下一次迭代。

可看到每次迭代,寄存器中的數(shù)據(jù)以4位為單位移入和移出,關(guān)鍵是通過(guò)寄存器前4位查表獲得

,這樣的算法可以大大提高運(yùn)算速度。

上面的方法是半字節(jié)查表法,另外還有單字節(jié)和雙字節(jié)查表法,原理都是一樣的——事先計(jì)算出2^8或2^16個(gè)b'的可能值,迭代中使用寄存器前8位或16位查表獲得b'。

CRC循環(huán)冗余反向算法

之前討論的算法可以稱為正向CRC算法,意思是將g左邊的位看作是高位,右邊的位看作低位。G的右邊加m個(gè)0,然后迭代計(jì)算是從高位開(kāi)始,逐步將低位加入到寄存器中。在實(shí)際的數(shù)據(jù)傳送過(guò)程中,是一邊接收數(shù)據(jù),一邊計(jì)算CRC碼,正向算法將新接收的數(shù)據(jù)看作低位。

CRC循環(huán)冗余逆向算法顧名思義就是將左邊的數(shù)據(jù)看作低位,右邊的數(shù)據(jù)看作高位。這樣的話需要在g的左邊加m個(gè)0,h也要逆向,例如正向CRC-16算法h=0x4c11db8,逆向CRC-16算法h=0xedb88320。b的選擇0還是h,由寄存器中右邊第1位決定,而不是左邊第1位。寄存器仍舊是向左位移,就是說(shuō)迭代變成從低位到高位。

審核編輯:湯梓紅

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