隨著網格尺寸的增加，雅可比、高斯-賽德爾或 ILU（不完全 LU）等傳統迭代求解算法的收斂速度明顯降低。 反過來，收斂緩慢會導致計算時間呈二次性增加。為加速求解器收斂，采用代數多重網格 (AMG) 法。多重網格法的概念基于以下事實：迭代求解算法可有效減少其波長對應于網格單元尺寸（高頻誤差）的數值誤差分量。 但對于此類方法，長波長（低頻）誤差的降幅相當緩慢。

在連續粗糙化的線性系統的層次結構上，多重網格法通過迭代過程減少低頻誤差。代數多重網格衍生粗糙層方程組，而不參考基礎網格幾何。粗糙網格方程從精細網格系數的算術組合衍生得出。幾次迭代之后，多重網格算法將計算從精細線性系統傳遞到粗糙線性系統。 這些迭代也稱為平滑迭代，因為誤差函數稍后將會平滑（即不含誤差的高頻分量）。

由于求解過程傳遞到更粗糙的線性系統，因此誤差現在相對網格單元尺寸而言頻率增高并可有效減少。 在更粗糙的線性系統上，為減少精細線性系統求解的誤差，定義了缺陷方程。多重網格算法采用以下步驟：

1. 聚結網格單元，形成粗糙網格級別。
2. 將殘差從精細級別傳遞到更粗糙的級別（稱為限制）。
3. 將校正從粗糙級別傳遞回更精細的級別（稱為延長）。

• 多重網格循環

  多重網格方法支持通過在粗糙網格序列上使用簡單校正掃掠，顯著加速高斯-賽德爾等基本迭代格式的運行。粗糙級別訪問策略可能會對該算法的效率產生很大的影響。AMG中有兩個循環策略，即固定和可變：

• 固定循環

完整的多重網格循環表示遞歸應用由以下步驟組成的單一循環：

1. a) （預）平滑；
2. b) 限制；
3. c) 再循環；
4. d) 延長；
5. e) （后）平滑。

這些步驟將應用于一系列連續粗糙化的網格或方程組。平滑表示將任意數量的迭代松弛掃掠應用于當前精細級別上的方程，計算一組新校正。限制是指將現有殘差向下傳遞到應用了新循環的下一個最粗糙級別。隨后，結果校正將延長，即傳遞回同樣應用了平滑的當前精細級別。有以下三種類型的固定循環：

• F 固定循環
• V 固定循環
• W 固定循環
• 可變循環
  對于非剛性線性系統，此類循環是一種更經濟的循環策略。每次在給定網格級別上掃掠后都會監視殘差，而非按規則模式使用所有多重網格級別。如果殘差減少率超出給定閾值，會繼續在更粗糙的級別上求解。如果給定級別上的殘差降幅超過指定閾值，則求解將轉到更精細的級別。任何級別允許的掃掠數將進一步受到限制。

V 循環

V 循環是最簡單的固定循環類型，只有兩個分支。 在第一個分支中，用戶對最精細的級別執行大量松弛掃掠并將殘差傳遞到下一個級別。 然后，對粗糙級別相繼重復該操作，直至達到最粗糙的級別為止。粗糙“網格”通常僅包含幾個“網格單元”。在最粗糙的級別上完成掃掠之后，使用得到的解校正下一個更精細級別上的求解。先在該級別執行一些松弛掃掠，然后重復此過程，直至達到最精細的級別為止，圖 顯示了此過程。

W 循環

對于剛性方程組，V 循環有時不能滿足需要，進行更多粗糙迭代非常有用。W循環會增加粗糙松弛掃掠數，如圖 所示。

F 循環

F循環是W循環的一種變體，此循環如圖示，涉及的粗糙級別掃掠數少于W循環，但仍多于 V 循環。