一種常用的測量復雜正弦信號瞬時頻率的技術是計算信號瞬時 θ（ n ） 相位的導數，如下面的圖 13–60所示。

圖 13–60 使用反正切函數的頻率解調器。

這是傳統的離散信號調頻解調方法，效果很好。解調器的瞬時輸出頻率為下面的 Eq13-111：

其中f s 是以赫茲為單位的采樣率。

計算瞬時相位 θ（ n ） 需要反正切運算，如果沒有大量的計算資源，很難準確實現。這是用于計算等式Δθ（ n ）的方案。（13–111） 沒有中間 θ（ n ） 相位計算（及其討厭的反正切函數）。我們推導出 ？θ（ n ） 計算算法如下，初使用基于以下定義的連續時間變量：

i （ t ） = 同相信號，

q （ t ） = 正交相位信號，

θ（ t ） = tan –1 ［ q （ t ）/ i （ t ）］ = 瞬時相位，

Δθ（ t ） = 時間導數的 θ （ t ）。（13-112）

首先，我們讓r （ t ）= q （ t ）/ i （ t ） 成為我們試圖計算其反正切導數的信號。微積分恒等式tan –1 ［ r （ t ）］的時間導數是

因為 d［ r （ t ）］/dt = d［ q （ t ）/ i （ t ）］/dt，我們使用微積分恒等式對比率的導數來寫

堵塞方程 （13–114） 的結果進入 Eq. （13–113），我們有

替換等式中的r （ t ）。（13–115） 和q （ t ）/ i （ t ） 產量

我們到了那里。接下來我們將方程式中個比率的分子和分母相乘。（13–116） 乘以i 2 （ t ），并將t替換為我們的離散時間變量索引n以得出我們的終結果

圖 13–61。 無反正切頻率解調器：（a）標準過程； （b） 簡化程序。

圖 13–61（a） 顯示了該算法的實現，其中i （ n ） 和q （ n ） 的導數分別為i ‘（ n ） 和q ’（ n ）。Δφ（ n ） 輸出序列用于等式。（13–111） 計算瞬時頻率。

微分器是抽頭數為奇數的抽頭延遲線 FIR 微分濾波器。當微分器是一個系數為 1，0，–1 的 FIR 濾波器時，參考文獻 ［54］ 了可接受的結果。

圖 13–61 中的延遲元件用于將i （ n ） 和q （ n ） 與微分器的輸出進行時間對齊，以便在使用K抽頭微分器時延遲為 （ K –1）/2 個樣本。 實際上，可以通過關閉微分濾波器的中心抽頭來獲得延遲。

如果i （ n ）+ jq （ n ） 信號是純粹的 FM 和硬限制使得i 2 （ n ）+ q 2 （ n ） = 常數，則方程式中的分母計算。（13–117） 不需要執行。在這種情況下，使用 1，0，–1 系數微分器，FM 解調器被簡化為圖 13–61（b） 中所示的解調器，其中縮放操作是乘以常數的倒數。