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本文我們思考這樣一個問題：如何在一組逐點值的給定域上估計該域的一般函數(shù)？這種估計對于給定域上PDE數(shù)值的求解，根據(jù)掃描數(shù)據(jù)進行表面重建，或者理解采集到數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)都有所幫助。下面介紹幾種常見的最小二乘法：

一、全局最小二乘估計

為了解決多項式擬合中的未知系數(shù)，我們構(gòu)建如下的目標(biāo)函數(shù)：

然后我們可以寫個歸一化方程為：

用矩陣的形式表示為：

這個矩陣方程也可以直接用于計算系數(shù)向量：

或者在大型系統(tǒng)中使用迭代的方法。

圖1 全局最小二乘（實曲線）

二、全局加權(quán)最小二乘擬合

我們可以為每個數(shù)據(jù)值分配一個權(quán)重用于最小二乘擬合中，這樣我們將目標(biāo)函數(shù)最小化為：

歸一化方程的解為：

三、加權(quán)局部最小二乘

在全局最小二乘擬合中，我們假設(shè)整個域中都可以用一個單一的多項式精確地描述數(shù)據(jù)所代表的函數(shù)。但是，對于大型、復(fù)雜的數(shù)據(jù)集，這將要求我們擬合出一個不理想的高階多項式，即便如此，這也不能捕獲數(shù)據(jù)的所有特征。所以，為了替代全局解決方案，我們嘗試通過對每個數(shù)據(jù)點及其鄰域擬合出一個低階多項式來獲得更好的解決方案。因此，有個最小二乘擬合的值，每個值都是點的近似值并且每個點的系數(shù)向量都不同。注意：不同于其它討論的方法，這不是一種公認的方法并且也不常見。它僅僅是為了我們更好的理解下一部分將要介紹的移動最小二乘法。

用通用的方法就可解決。

圖2 加權(quán)局部最小二乘擬合

四、移動最小二乘法

總結(jié)

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